数字信号处理-习题答案素材charpter6

1、2011/1北京大学出版社 违者必究1第6章FIR数字滤波器的设计与 MATLAB实现引言线性相位滤波器的特点窗函数法设计FIR数字滤波器频率采样法设计FIR滤波器利用等纹波最佳逼近法设计FIR滤波器2【本章教学目的与要求】掌握线性相位滤波器的特点及其零点位置的分布特点；学会应用窗函数法设计线性相位FIR滤波器；学会应用频率抽样法设计线性相位FIR滤波器；了解等波纹最佳逼近法设计线性相位FIR滤波器的方法；学会应用MATLAB软件设计线性相位FIR滤波器；了解IIR滤波器与FIR滤波器的不同特点及两种滤波器的选用原则。3【本章知识结构】46.1 引言【问题的引入】IIR数字滤波器优点：能借助模

2、拟滤波器已有成果设计； 简单方便缺点：相位非线性，FIR数字滤波器优点：严格线性相位；系统十分稳定（传输函数为全零点型）；进行滤波时可采用FFT缺点：幅度特性较差；设计繁琐5案例 滤波器在滤除图像高频噪声，增强图像中的应用。含有噪声的图像 滤波器滤波后图像 66.2线性相位滤波器的特点线性相位条件设FIR系统的单位采样响应为实序列 （长度为N），则其Z变换为：显然为关于 的 N-1阶多项式，它在Z平面上有N-1个零点、在原点有 N-1个重极点。若 满足下面的 “ 偶对称 ” 或 “ 奇对称 ” 条件：则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。7对于长度为N的单位采样响应h(n)，其频率响应为当h

3、(n)为实数序列时，可将频率响应表示为式中，H（w）称为幅度函数， 称为相位特性， 称为幅频特性， 称为相频特性。对于长度为N的单位采样响应h(n)，其频率响应为当h(n)为实数序列时，可将频率响应表示为式中，H（w）称为幅度函数， 称为相位特性， 称为幅频特性， 称为相频特性。 线性相位是指系统的相位特性是频率的线性函数，即84类线性相位滤波器9知识拓展（FIR滤波器具有线性相位的充要条件）把系统相位特性与频率的关系式代入频率响应表达式，得等式左右两侧实部、虚部分别相等两式相除，可得10整理，得即：要使上式成立，必须满足得到第一类线性相位滤波器的条件。11第二类线性相位滤波器，可作与第一类线

4、性相位同样的推导，得到第二类FIR滤波器是线性相位的充要条件 126.2.2线性相位FIR滤波器幅度函数特点1第I种类型，h(n)偶对称，N为奇数13其求和项全为实数则：显然：幅度函数是标量函数，可正可负；相位函数是 的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性。线性相位FIR滤波器幅度函数特点14线性相位FIR滤波器幅度函数特点的各项相对于 对称的项相等。15线性相位FIR滤波器幅度函数特点将相等项合并，因N为奇数，余中间项令 ，则：改换记法其中16线性相位FIR滤波器幅度函数特点 该类滤波器适合于设计任何关于 为偶对称特性频率的滤波器。 对 皆为偶对称，所以幅度函数 对 也是偶对称。2

5、第II种类型：h(n)偶对称，N取偶数与情形1推导相同N为偶数，余项令 ，得：17FIR数字滤波器幅度函数的特点改换记法其中因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波器，如高通滤波器、带阻滤波器 。特点：当 时， ，故 ，即 在 z = -1 为零点，且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。18FIR数字滤波器幅度函数的特点3第III种类型，h(n)奇对称，N为奇数19FIR数字滤波器幅度函数的特点显然：相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有 的截距。则：幅度特性相位特性20FIR数字滤波器幅度函数的特点上式表明，当 时， ，相当于 在 z =1和z = -1有两个零点，并且由于 对 呈奇

6、对称，因而 对 也呈奇对称。这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。推导方法与前面类似，可得： 对 为奇对称，21FIR数字滤波器幅度函数的特点4第III种类型，h(n)奇对称，N为偶数这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。上式表明：当 时， ，相当于 在z=1处有一个零点；并且由于 对 呈奇对称、对 呈偶对称，因而 也对 呈奇对称、对 呈偶对称。22FIR数字滤波器幅度函数的特点下表给出了上述4种类型的线性相位滤波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅度响应的示意图。23知识拓展I型滤波器适合于设计低通、高通、带通和带阻滤波器；II型适合于设计低通、带通滤波器

7、;III型适合于设计带通滤波器；IV型适合于设计高通、带通滤波器。但在实际应用中，低通、高通、带通和带阻滤波器的设计一般选择I,II两种类型，III,IV两种线性相位FIR滤波器常在微分器和希尔伯特变换器中使用。 24线性相位FIR滤波器的零点特性6.2.3线性FIR数字滤波器零点分布特点 偶对称取“” 奇对称取“”设 是 的零点，则 也是 的零点。当 为实数时， 为实系数的多项式，此时 应是共轭成对的，则 也是零点。对于一个实线性相位FIR滤波器，其零点相对于单位圆镜像共轭成对。25线性相位FIR数字滤波器零点分布266.3窗函数法设计FIR滤波器设滤波器要求的理想频响特性为 , 则FIR滤

8、波器的设计问题就在于：寻求某一系统函数 ，使该系统频响特性 逼近 ；若要求FIR滤波器具有线性相位特性，则 必须满足上节所述的奇对称或偶对称条件。线性相位FIR滤波器的常用设计方法窗函数法、频率采样法、等波纹最佳逼近法窗函数法设计的基本思想是设计一个有限长滤波器频率响应来逼近理想滤波器的频率响应。 27设计方法以低通线性相位滤波器为例,一般选择选择 为线性理想低通滤波器理想低通滤波器单位采样响应为：一般先给定理想滤波器的频率响应 ，设计一个FIR滤波器的频率响应来逼近28设计方法要得到有限长的 ，最简单的方法是用一长为 的矩形窗 截断 。按照线性相位滤波器的要求， 必须偶对称，如下图。对称中心

9、必须等于滤波器的延时常数 是中心点在a的偶对称无限长非因果序列。 所以有：29理想矩形幅频特性和矩形窗函数序列幅度函数 30设计方法下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应设矩形窗的频率响应为 为矩形窗的幅度响应。如下图31设计方法主瓣旁瓣旁瓣32设计方法将理想低通滤波器的频率响应 表示为：若用代表所设计的低通滤波器的幅度函数，则:可见：设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积（过程如下图所示）33设计方法矩形窗对理想低通滤波幅度特性的影响 34设计方法加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了以下两点影响： 使理想频率特性不连续点=c 处，形成

10、了一个过渡带，过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应WR()的主瓣宽度= 4/N 在截止频率c的两边=c 2/N 处（即过渡带 的两边），H()出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于WR()波动的快慢。若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为： 随着x加大，函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。 这个相对比例由sinx/x决定, 即由矩形窗函数的形状决定。 35设计方法因而，当长度N增加时，只会减小过渡带宽(4/N )，而不会改变肩峰的相对值。 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%

11、，N增加时，4/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是8.95%，这就是吉布斯(Gibbs)效应。 由于窗谱肩峰的存在，影响到H()通带的平坦和阻带的衰减，使阻带最小衰减只有21dB左右，因此在实际中，矩形窗很少采用。 为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其他类型的窗函数 ，对 进行加窗处理。 366.3.2窗函数矩形窗（Rectangle window） 其频率响应为37三角形窗(Bartlett Window)其频率响应为：主瓣宽度为：38其频率响应 和幅度响应 分别为： 是三项矩形窗的幅度响应 的移位加权和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩形窗的主瓣加宽了一倍

12、，为汉宁(Hanning window)窗，又称升余弦窗39其幅度响应为：同汉宁窗的主瓣宽度 相同，但旁瓣幅度更小，结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内 。汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗40其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量，幅度响应为：通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣，但其主瓣宽度变为布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗41下图为N=31时，矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这5种窗口函数的包络曲线窗函数42窗函数下图为N=311时矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼5种窗口函数的幅度响应43窗函数凯塞尔(Kaiser)窗I0()是第

13、一类修正零阶贝塞尔函数一般取1525项就可满足精度要求。是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来， 越大,过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。44窗函数零阶贝塞尔曲线凯塞尔窗函数曲线 窗函数基本参数比较456.3.3窗函数法设计FIR滤波器的步骤求理想滤波器的单位采样响应 由过渡带带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗函数，估计窗口长度N；求得所设计的FIR滤波器的单位采样响应h(n);求FIR滤波器的系统函数首先是给定所要求的频率响应函数 46例 题（2）求得：解:(1)设理想线性相位滤波器的频率特性为 由阻带截止频率与通带截止频率近似求得 ，即一线性相位高通滤波器设计指标为：通带截止频率 通带衰减，阻带截止频率阻带最小衰减。试应用窗函数设计法设计该滤波器。47例 题（4）加窗处理得 （3）已知阻带最小衰减 ，查表