北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

1、2017 年北京市海淀区 考数学二模试卷（理 科）（解析版）2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. TOC o 1-5 h z .若集合 A= -2, 0, 1, B=x|x0, M APB=（）A. -2 B. 1 C. -2, 1 D. -2, 0, 1.二项式&工尸的展开式的第二项是（）ISA. 6x4B. - 6x4 C. 12x4D. T2x4.已知实数x, y满足,让则2x+y的最小值为（）IA. 11 B. 3 C. 4 D. 2.圆x2+y2 - 2y=0与曲线y=| x| - 1的公共点个数为（）A. 4 B. 3 C. 2

2、D. 0.已知an为无穷等比数列，且公比q1,记Sn为时的前n项和，则下面结论正确的是（）A. a3a2B. a1+a20C. %2）是递增数列D. Sn存在最小值.已知f （x）是R上的奇函数，则“1+x2=0”是“f（x1）+f （x2）=0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（ ）A .B .C . D.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上 分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区

3、域，小圆盘上所写的实数分别记为xi, X2, X3, X4,大圆盘上所写的实数分别记为 yi, y2, y3, y4,如图所示.将小圆盘逆时针旋转i (i=1, 2, 3, 4)次，每次转动90,记Ti (i=1 , 2, 3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如 Ti=xiy2+x2y3+x3y4+x4yi.若 xi+X2+X3+X40, yi+y2+y3+y40,则以下结论正确的是（Ti, T2, T3, T4中至少有一个为正数Ti, T2, T3, T4中至少有一个为负数Ti, T2, T3, T4中至多有一个为正数Ti, T2, T3, T4中至多有一个为负数二、填空题共6小题，

4、每小题5分，共30分.在极坐标系中，极点到直线 p cos 9的距离为.已知复数 一冒，则|z尸.在 ABC 中，A=2B , 2a=3b,贝U cosB=.已知函数 f (x) =y-2x,则 f/)f (1)(填 4”或之)；f (x)在区间，士)上存在零点，则正整数n= . n n+1.在四边形ABCD中，AB=2.若苏=(贰十而)，则获+前=.22.已知椭圆G:工51的两个焦点分别为Fi和F2,短轴的两b b/1个端点分别为B1和B2,点P在椭圆G上，且满足| PB1|+| PB2| 二| PF1|+| PF2| .当b变化时,给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对称；存在b使得椭圆G

5、上满足条件的点P仅有两个；|OP|的最小值为2,其中，所有正确命题的序号是.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.37T37T. 已知函数 f (x) =sin2xcos r -cos2xsirrr-.(I )求f (x)的最小正周期和对称轴的方程；(H)求f (x)在区间0,上的最小值.为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见，某校计划 开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参 与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条 形图如下.图中，已知课程 A, B, C, D, E为人文类课程，课程F,

6、G, H为 自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法 从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称 组M ) .(I )在组MT中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(n )为参加某地举办的自然科学营活动，从 组M所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活 动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元.(i )设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X 的分布列；(ii)设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望.如图，三棱锥P-ABC

7、,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形，边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为 D,有ADLDB,且DB=1 .(I )求证：AC /平面PDB;(H)求二面角P-AB-C的余弦值；(m)线段PC上是否存在点E使得PC,平面ABE,如果存在，求岩的值；如果不存在，请说明理由.18.已知动点M到点N (1, 0)和直线1:x=- 1的距离相等.(I )求动点M的轨迹E的方程；(H )已知不与1垂直的直线1与曲线E有唯一公共点A,且与直线1的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论.已知函数 f (x) =eax-x.(I )若曲线y=f (x)在(0, f (0

8、)处的切线1与直线x+2y+3=0垂直，求a 的值；(H )当a* 1时，求证：存在实数xo使f (x0) 1.对于无穷数列an,记T=x|x=aj-a, ik),必有 刖+1 - ak+1=t ”，则称数歹!J an 具有性质P (t) .(I)若数列an满足/二h 3判断数列an是否具有性质P (2) ?是否具有性质P (4) ?(H)求证：“T是有限集”是 数列an具有性质P (0) ”的必要不充分条件；(m)已知an是各项为正整数的数列，且an既具有性质P (2),又具有性质P (5),求证：存在整数N,使得aN, aN+1, 8n+2,，aN+k,是等差数列.2017年北京市海淀区高

9、考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项.若集合 A= -2, 0, 1, B=x|x0, M APB=（）A. -2 B. 1 C. -2, 1 D. -2, 0, 1【考点】1E:交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：二.集合 A=-2, 0, 1, B=x|x0,.AnB= -2, 1.故选：C.二项式（k一尸的展开式的第二项是（）A. 6x4B. - 6x4 C. 12x4D. - 12x4【考点】DB:二项式系数的性质.【分析】利用通项公式即可得出.【解答】解：二项式（冗一”的展开式的第二项=

10、；x=q）= 段乂4.故选：D.已知实数x, y满足，工+L30则2x+y的最小值为（）A. 11 B. 3 C. 4 D. 2【考点】7C:简单线性规划.【分析】画出可行域，设z=2x+y,利用目标函数的几何意义其最小值.【解答】解：由已知得到平面区域如图：设 z=2x+y,贝 y=-2x+z,由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A (0, 3)时，z最小，所以最小值为3;.圆x2+y2-2y=0与曲线y=|x| - 1的公共点个数为()A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】求出圆心到直线的距离，即可得出结论.【解答】解：圆x2+y2

11、2y=0,可得x2+ (y-1) 2=1,圆心为(0, 1)1,2 L圆心(0, 1)到直线y=xT的距离d=y=/21, 2圆心(0, 1)到直线y= - x - 1的距离毛力=历1,圆x2+y2-2y=0与曲线y=| x| - 1的公共点个数为0,故选D.5.已知an为无穷等比数列，且公比q1,记Sn为时的前n项和，则下面结 论正确的是()A. a3a2B. ai+a20C. 是递增数列D- Sn存在最小值【考点】88:等比数列的通项公式.【分析】 在A中，当ai0时，a3a2；在B中，当ai 0时，ai+a20;在C中，是递增数列；在D中，当aii,记Sn为an的前n项和， 知：在A中，

12、当ai 0时，a3 a2,故A错误；在B中，当ai0时，ai+a20,故B错误；在C中，%?=(%)旅2,是递增数列，故C正确；在D中，当ai0时，Sn不存在最小值，故D错误.故选：C.已知f (x)是R上的奇函数，则 +X2=0”是“f(xi) +f (x2)=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解：二函数f (x)是奇函数，.,若 xi+x2=0,贝U X1= - X2,则 f（X1）=f （ X2）= f（X2

13、）,即f（X1）+f（X2）=0成立，即充分性成立，若f（X）=0,满足f（X）是奇函数，当X1=X2=2时，满足 f（Xl） =f（X2）=0,此时满足 f（Xl） +f（X2）=0,但X1+X2=4W0,即必要性不成立，故1+X2=0”是“f（X1） +f（X2）=0”的充分不必要条件，故选：A.现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )图1图2图3A.B . C. D.【考点】L7:简单空间图形的三视图.【分析】根据题意，画出编号为、的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可.【解答

14、】解：编号为的三棱锥，其直观图可能是，其侧棱VC，底面ABC, 侧面VAC，底面ABC,满足条件;编号为的三棱锥，其直观图可能是其侧面PBC，平面ABC,满足条件；编号为的三棱锥，其直观图可能为,其中不存在侧面与底面互相垂直的情况.综上，满足题意的序号是.故选：B.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为xi, X2, X3, X4,大圆盘上所写的实数分别记为 yi, y2, y3, y4,如图所示.将 小圆盘逆时针旋转i (i=1, 2, 3, 4)次，每次转动90,记Ti (i=1 , 2, 3,

15、 4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如Ti=xiy2+X2y3+X3y4+X4yi.若Xi+X2+X3+X40, yi+y2+y3+y40 即可得至U Ti,T2, T3, T4中至少有一个为正数.【解答】解：由题意可知：(Xi+X2+X3+X4)(yi+y2+y3+y4)0,贝U (Xi+X2+X3+X4) (yi+y2+y3+y4)=Xiyi+Xiy2+Xi y3 +Xi y4+X2yi +X 2y2+X 2y3+X2y4+X3y i+X3y2 +X3y3+X4y4+X4yi +X4y2+X4y3+X4y4,=Ti+T2+T3+T40.Ti, T2, T3, T4中至少有一个为正数，

16、故选A.、填空题共6小题，每小题5分，共30分.在极坐标系中，极点到直线 p cos 9 =1距离为 1 .【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线p cos 8 =1距离.【解答】解：直线pcos8=x=1,极点的直角坐标为（0, 0）,故极点到直线p cos 0 =1距离为1 ,故答案为1.已知复数工，则| z尸血 .【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共腕复数的定义、模的计算公式即可得出.【解答】解：复数二/二？；）二 -i 1,贝u |z| H） 2.故答案为：.二3.在 ABC 中，A=

17、2B, 2a=3b, M cosB二 0 .【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理.【分析】利用正弦定理化简2a=3b,将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinB不为0,确定出cosB的值即可.【解答】解：由正弦定理化简2a=3b得：2sinA=3sinB,把 A=2B 代入得：2sin2B=3sinB,即 4sinBcosB=3sinB,sinBW0, .4cosB=3,即 cosB=, 4故答案为:12.已知函数f (x) =-2x,则蜴) f (1)(填+或之)；f (x)在区间(区二，枭)上存在零点，则正整数n= 2 . n n+1【考点】55:二分法的定义.【分析】根

18、据函数的单调性即可判断，再根据函数的零点存在定理即可求出【解答】解：易知函数f (x) 域为减函数， K则 f (y) f (1),- f (1) =1 -2=- 1, f (土)=2-720, f (1) f 心 ,2二二， I .二 * 二 _/ 耳13.在四边形 ABCD 中，AB=2.若 DA=y (CA+CB),则研，DC= 2 .【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】根据条件画出图形，并取 AB中点E,连接CE,从而得出四边形ADCE为平行四边形，进而得出 前与正，进行数量积的运算即可求出 靛天的化【解答】解：如图，取AB的中点E,连接CE,则:CE%(CA+CB);,匚；工

19、；四边形ADCE是平行四边形;:DC=AEq心，且AB=2;* -1 &* 2AB-DCAD =214.已知椭圆G：1（。6返）的两个焦点分别为Fi和F2,短轴的两匕b个端点分别为Bi和B2,点P在椭圆G上，且满足| PBi|+| PB2| 二| PFi|+| PF2| .当b变化时,给出下列三个命题：点P的轨迹关于y轴对称；存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；| OP|的最小值为2,其中，所有正确命题的序号是.【考点】K4:椭圆的简单性质.r 22【分析】运用椭圆的定义可得P也在椭圆二17=1上，分别画出两个椭圆的6 | 6-小图形，即可判断正确；通过b的变化，可得不正确；由图象可得当

20、 P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断.【解答】解：椭圆G:亚；）的两个焦点分别为 6 b2Fi（&-f，0）和 F2（-。百-2， 0）,短轴的两个端点分别为Bi （0, - b）和B2 （0, b）,设 P (x, V)，点 P在椭圆 G上,且满足 |PBi|+| PB2|=|PFi|+| PF2| ,由椭圆定义可得，|PBi|+| PB2| =2a=2/2b,即有P在椭圆之1+6 6-b=1上.对于，将x换为-x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称, 故正确；对于，由图象可得轨迹关于x, y轴对称，且0Vb捉,则椭圆G上满足条件的点P有4个， 不存在b使得椭圆G

21、上满足条件的点P仅有两个，故不正确；对于，由图象可得，当P满足x2=y2,即有6-b2=b2,即b小时，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2,即有|OP|的最小值为2,故正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.已知函数 f (x) =sin2xcos-cos2xsirrr- - 55(I )求f (x)的最小正周期和对称轴的方程；(n)求f (x)在区间0, 1-1上的最小化【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H2:正弦函数的图象.【分析】(I)根据差角公式化简f (x),利用正弦函数的性质求出对称轴和周期;(II)根据x的范围得出2x-1

22、的范围，再利用正弦函数的性质得出f (x)的gTU彳nT JC【解答】解：(I) fWin2xco-cosZirry-in(2x-r所以f (x)的最小正周期二冗，TT 711 1 IT 1令2x 一 工二门+k九，解得x=门口 fk tt.所以f (x)的对称轴方程为x= ! +冗,kCZ.(n)因为笈E o,所以2xC 0,可，g、，r 3兀3吓 27T所以 23二，=1Q JT TTTT1T所以，当2万二二下即耳三新时，f (x)在区间0,上的最小值为-1.为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，

23、每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.图中，已知课程 A, B, C, D, E为人文类课程，课程F, G, H为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称 组M).(I )在组MT中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(n )为参加某地举办的自然科学营活动，从 组M所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元.(i )设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人

24、数，求随机变量X 的分布列；(ii)设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望.【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差；CG:离散型随机变量及其分布 列.【分析】(I )根据频率分布直方图的性质即可得出.(H) ( i)依题意，随机变量X可取0, 1, 2.利用 超几何分布列的计算公 式与性质”即可得出.(ii)法1:依题意，随机变量 Y=2000X+1500 (4 X),可得随机变量 Y的数学期望为E (Y)=6000+500E (X).(ii)法2:依题意，随机变量 Y可取6000, 6500, 7000.求出随机变量 Y的分布列，进而得出数学期望.【解答】解

25、：(I)选择人文类课程的人数为X1%=12 (人)；选择自然科学类课程的人数为X 1%=8 (人)(H ) ( i )依题意，随机变量X可取0,1,2做烂0)二p(x4 二 4L8故随机变量X的分布列为 TOC o 1-5 h z X 012p 二14714(ii)法 1:依题意，随机变量 Y=2000X+1500 (4 X) =6000+500X,所以随机变量Y的数学期望为E (Y) =6000+500E (X)343=6000+500 (0X十1乂:+2X)=6500.(ii)法2:依题意，随机变量 Y可取6000, 6500, 7000.所以随机变量Y的分布列为Y 6000 6500 7

26、000 TOC o 1-5 h z p 二二二14714所以随机变量Y的数学期望为E (Y) =6000 X-4-65CJ0X 4+7000X -=6500. IQr1417.如图，三棱锥P-ABC,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形，边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为 D,有ADLDB,且DB=1 .（I ）求证：AC /平面PDB;（H）求二面角P-AB-C的余弦值；（m）线段PC上是否存在点E使得PC,平面ABE,如果存在，求甯的值； 如果不存在，请说明理由.【考点】MT:二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定.【分析】（I ）推导出/ DBA=/CAB=60 , A

27、CBD为平面四边形，从而DB / AC.由此能证明AC/平面PDB.（n）由点P在平面ABC上的射影为D可得PDL平面ACBD ,以D为原点， DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 二面角P- AB-C的余弦值.（m）求出靛XL -Vs-。），奇（2, % T）,由正彘W0,求出在线段 PC上不存在点E使得PC，平面ABE.【解答】（本小题满分14分）证明：（I ）因为AD1DB,且DB=1 ,AB=2,所以AD二仃，所以/ DBA=60 .因为 ABC为正三角形，所以/ CAB=60 ,又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB/AC.因为AC?平面PDB

28、, DB?平面PDB,所以AC /平面PDB.解：（H ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD,平面ACBD ,所以 PDXDA, PDXDB.如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标则由已知可知 B （1, 0, 0） , ACO,旧，。），P （0, 0, 1）,。瓜。）.平面ABC的法向量I产（0, 0, 1）,设2（x, y, z）为平面PAB的一个法向量，则BA* n = 0-f- , I即m二口-s+V3V=0-s+s=O,令y=1,则乂/，所以平面PAB的一个法向量!T= （*73 1，炎）,缶/f 一、 V3 v 21 所以 cos=：-= _V

29、 7 -L f由图象知二面角P-AB - C是钝二面角，所以二面角 P-AB-C的余弦值为返（田）由（H）可得靛=（L -V3i。），PC=2S 近.-D 因为宜彘=（2, 瓜 -l）-（b -V5，0）=7卢0,所以PC与AB不垂直, 所以在线段PC上不存在点E使得PC，平面ABE.18.已知动点M到点N (1, 0)和直线1: x=- 1的距离相等.(I )求动点M的轨迹E的方程;(H)已知不与l垂直的直线1与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论.【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】(I )利用抛物线的定义，即可求动点

30、 M的轨迹E的方程;(H )由题意可设直线1: x=my+n,由可得y2 - 4my - 4n=0,求出A, P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论.【解答】解：(I )设动点M (x由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N (1, 0)为焦点，直线1: x=-1为准线的抛物线,所以轨迹E的方程为y2=4x.(H)点N在以PA为直径的圆C上.理由：由题意可设直线1: x=my+n,r 2叩弓。一 一一，一由 2 可得 y 4my 4n=0 (*),_y -4x因为直线l与曲线E有唯一公共点A,所以 =16m2+16n=0,即门=-m2.所以(*)可化简为y2 - 4my+4m2=0,所以 A (m

31、2, 2m),令 x= - 1 得 F t T , -1+门), ID因为n= m2,所以 二 7T -一 ：n - 一 .，二一： 1rID所以NAXNP,所以点N在以PA为直径的圆C上.19.已知函数 f (x) =eax- x.(I )若曲线y=f (x)在(0, f (0)处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a 的值；(H )当aw 1时，求证：存在实数x0使f (x。) 1.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函 数的最值.【分析】(I )求出原函数的导函数，结合曲线 y=f (x)在(0, f (0)处的 切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a

32、的值；(H)当 a0 0 时，有 f (1) ea- 101,即存在实数 x0使 f (x0)0, a* 1时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由单调性 求出函数的极小值，再由导数求出极小值的最大值得答案.【解答】(I )解：f (x) =aeax- 1,.曲线y=f (x)在(0, f (0)处的切线与直线x+2y+3=0垂直,切线l的斜率为2,.叶(0) =a- 1=2,a=3;(II)证明：当a 0时，显然有f (1) ea-101,即存在实数X0使f(X0)0, a* 1 时，由 f (x) =0可得 a a在正8, 时，f (x) 0, .,.函数f (x)在X)上递增

33、.fC、lJ) = - i,是f (x) 的极小值. a a a设式,贝U一1X)二用,令 g (x) =0,得 x=1. TOC o 1-5 h z *Xx(0, 1)1(1, +oo)g (x)+0-g (x)/极大值当 x*1 时 g (x) g (1) =1 ,综上，若a* 1,存在实数x0使f (x0) 1.20.对于无穷数列an,记T=x x=aj - a, ik),必有 am+i - ak+i=t ”，则称数列an 具有性质P (t) .(I )若数列a满足，二口判断数列an是否具有性质P (2) ?是 (Zn.-5. rijs o否具有性质P (4) ?(H)求证：“T是有限集

34、”是 数列an具有性质P (0) ”的必要不充分条件；(田)已知an是各项为正整数的数列，且an既具有性质P(2),又具有性质P (5),求证：存在整数 N,使得aN, aN+i, aN+2,aN+k,是等差数列.【考点】8H:数列递推式；2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】可得 a2-a1二2,但 a3-a2=-1*2,数列an不具有性质P (2);同理可判断数列an具有性质P (4)(H)举例周期数列1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2,，T= - 1, 0, 1是有限集，利用新定义可证数列an不具有性质P (0),即不充分性成立；再证明其 必要性即可.(田)依题意，数列an是各项为正整数的数列，且an既具有性质P (2), 又具有性质P (5),可证得存在整数N,使得aN, aN+1, aN+2,，aN+k,是 等差数列