高中数学高考全国卷解析几何试题的命题特点分析及备考策略参考13经典例题

1、几何复习经典例题x2y2【例题 1】椭圆4 3 1 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B.当FAB 的周长最大时，FAB 的面积是：，设椭圆右焦点为 F，直线 xm 与 x 轴相交于点 C.由椭圆的定义，得|AF|AF|BF|BF|2a4.而|AB|AC|BC|AF|BF|，所以当且仅当 AB 过点 F时，FAB 的周长最大331此时，由 c1，得 A1， ，B1， ，即|AB|3. 所以 SFAB|AB|FF|3.222【规律与总结】利用椭圆与双曲线的定义是解椭圆与双曲线上的点到两焦点距离及焦点三角形问题的常用方法；对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的

2、定义中要求 PF1P，2PF1P双曲线的定义中要求， 抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.x2y2【变式】已知椭圆 C： 9 4 1，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN的中点在 C 上，则|AN|BN|x2y2：椭圆9 4 1 中，a3.如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点，|BN|2|DF2|，|AN| 2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.x2y2【例题 2】设 F1，F2 是双曲线 C： 2 21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上

3、一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2a b的最小内角为 30，则 C 的离心率为：不妨设点 P 在双曲线 C 的右支上，由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又因为|PF1|PF2|6a，由得|PF1|4a，|PF2|2a，因为 ca，在PF1F2 中，PF1F2 为最小内角，PF1F230，在PF1F2 中，由余弦定理可知，222222|PF2| |PF1| |F1F2| 2|PF1|F1F2|cos 30，即 4a 16a 4c 8 3ac.c22 3ac3a20，两边同除以 a2 得，e22 3e30.解得 e 3.【规律与总结】求椭圆或双曲线的离心率（取值范围）：直接求出a 和c

4、 ；建立a,b, c 的方程或不等式转化为 b或ac a求解；研究圆锥曲线的几何性质，注意数形结合，画出合理草图，实质是建立a,b, c 或 p 的关系式结合概念探讨性质x2y2【变式】已知椭圆 C： 2 21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，a bP 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是解： 点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，c21，cb，c2a2c2，00，b0，a 2，故所求双曲线的渐近线方程为 y 2x.【例题

5、4】1998 年 12 月 19 日，太原发射中心为摩托罗拉公司（）发射了两颗“铱星”系统通信卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为 m km，远地点为 n km，地球的半径为 R km，则通信运行轨道的短轴长等于（A）A. Rm)(nR) 2B ()(nR) .C. 2mnD. mnn nm2R c m R ， c解：由题意，22 ，m n2 m cb )(n R)(22(222【变式】如图，一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为(0 90 ) 的平面所截，截面是一个椭圆，当为30 时，这个椭圆的离心率为（ A ）32331223A.B.C.D.【】由椭圆的性质得，椭圆的

6、短半轴b R ，因为截面与底面所成角为 ，所以椭圆的长轴长2a 2R ，得a 23 Rcos3(23 R)2 R2 3 R ，所以椭圆的离心率e c 1c a2 b2 33a2【例题 5】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 M (2,1) ，平行于OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m ，直线 l 与椭圆相交于 A, B 两个不同点()求实数 m 的取值范围；()证明：直线MA, MB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形x2y2a2 b21(a b 0) ，解：()设椭圆方程为a 2ba2 8x2y2 椭圆方程为 1. 4 1由题意得 1b

7、2 282a2b21由题意直线 l 的方程为 y x m(m 0) ，设 A(x , y ) ， B(x , y )，21122 y 1 x m则点 A, B 的坐标是方程组2 x2的两组解y2 1 82消去 y 得 x2 2mx 2m2 4 0 . 4m2 4(2m2 4) 0 ， 2 m 2 .又 m 0 ， 实数 m 的取值范围为(2,0) (0, 2) ()证明：由题意可设直线 MA, MB 的斜率分别为k1, k2 ，只需证明 k1 k2 0 即可，由()得 x2 2mx 2m2 4 0 ， x x 2m ， x x 2m2 4 ，1212y1 1y2 1x1 y2 x2 y1 2y

8、1 y2 x1 x2 4 (m 2)(1 x2 4(1 m) k k 12 2)(x 2)(x 2)212 (m 2)(2m) 2m2 4 4(1 m)0，(x1 2)(x2 2) 直线 MA, MB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形m0,的直线l 与椭圆C 相切m 23，直线l 与 y 轴交于x2 y2 1，过点 M 【例题 6】已知椭圆C 的方程为129点 N ，当m 为何值时OMN 的面积有最小值？并求出最小值. x2y 2x ，1 由对称性不妨设k 0解：设直线l 的方程为 y km129y k(x m) x2y 2由 1 消 y 得： (3 4k 2 )x2 8k 2mx 4k 2

9、m2 36 129y k(x m)依题意 64k 4m2 43 4k 2 4k 2m2 36 0 ，得： m2 9 12k 2由 y k(x m)，令 x 0，得 y km，即 N(0,km) 1 k12 1 9 12k 9 12k 6 3S 1 m km 1 km292 kOMN222k2k93当且仅当 12k 即k 时取等号.此时 m2 24又因为m 0k2故 m 2 6 时， OMN 的面积有最小值6 3 .x2y23【例题 7】在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C： 1(a b 0) 的离心率为，左右焦点分别是 F1, F2 ，22ab2以 F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以

10、F2 为圆心，以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上。()求椭圆 C 的方程x2y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于 A, B 两点，射()设椭圆 E：4a2线 PO 交椭圆 E 于点 Q .()求()求ABQ 面积的最大值的值； 3， MF21 ， 2a MF1MF2 4解：（1）设两圆交点为 M， MF13x2再利用e ，解得，所以椭圆 C 的方程 y 1224（2）()设 Px , y ， 求得Q 的坐标分别代入椭圆 C，E 的方程，化简整理，即到 200()设 A(x , y ), B(x , y ) ，将直线代入椭圆 C，利用

11、判别式得m2 1 4k 21122椭圆 E 的方程得1 4k 2 x2 8kmx 4m2 16 0 4m2 168km由 0 ，m 4 16k2 ，则有 x x 221 4k 2 , x1 x21 4k 212m2m21S SABO 2 m x1 x2 24 1 4k 2 1 4k 2所以1 4k 2m21 4k 2得 S 2 4 tt 其中0 t 1,所以当t 1即 m2 1 4k 2 时取到最大值2 3令t 由()可知ABQ 面积的最大值为6 3【规律与总结】：解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立

12、目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等m16k 2 4 m2OQOPOQOP【例题 8】已知P 为抛物线 x2 4y 准线上任意一点，过 P 作抛物线的切线，切点分别为 A、B.（1）求证：直线 AB 过一定点；（2）A，P，B 三点的横坐标成等差数列；（3）求直线 AB 与该抛物线所围成图形的面积的最小值。：（1）设点 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 )， P (m,1) .则过

13、 A、B 的切线的斜率分别为k 1 x ， k 1 x112222方程分别为 xx1 2( y y1) 和 xx2 2( y y2 )由于切线过P (m,1) 点，所以mx1 2(1 y1) ， mx2 2(1 y2 )说明 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) 都在直线mx 2(1 y) 上，即 AB 所在的直线方程为mx 2(1 y) ，此直线显然过定点（0,1）（2）将mx 2(1 y) 与 x2 4y 联立整理得 x2 2mx 4 0所以 x1 x2 2m, x1x2 4即 A，P，B 三点的横坐标成等差数列；2 x xx（3）不妨设 x x ，所求的面积为 S,则 S

14、(121244x13(x x )3= 21 24=因为 x1 0 x2 ， (x 1 )x 2 4)3(248所以 S ，243当 x 1, x 1时，所围成图形的面积的最小，且为 8 .231【例题 9】已知抛物线C : x2 2y ，在直线l : y 2 上任取点Q 作抛物线切线，切点为 M , N ，求证：直线 MN过定点：解：设 M (x , y ), N(x , y ) ，直线 MN : y kx t 联立C : x2 2y 得到1122x2 2kx 2t 0 得到 xx 2t, x x 2k1 212x2C : x 2y 即为 f (x) 则 f (x) x2/21在 M (x ,

15、 y ) 处切线为 y f / () f (x令 y 2 得到21111211在 N(x , y ) 处切线为 y f / () f (x令 y 2 得到2222222x2x依题得到 1 2 化简得到 xx 42所以2t 4 所以t 21 22x2x12所以直线 MN : y kx 2 恒过（0,2）【规律与总结】处理圆锥曲线的切线问题时，一般方法是结合直线与圆锥曲线，联立方程的判别式为 0，若为抛物线，可结合导数。1【例题 10】已知椭圆C 两焦点坐标分别为 F ( 3,0) , F ( 3,0) ，且经过点 P( 3, ) 212（）求椭圆C 的标准方程；11AFBF（）若直线 l 经过左

16、焦点 F ，且与椭圆相交于 A、B 两点，判断是否为定值？若是求出此定值；111x2y22a：将 y1x 代入 1，得(ba)x 2ax(aab)0.设 P(x ，y )，Q(x ，y )，则 x x 2，ab112212abaab2a2ab 2a x x1 2 ab .OPOQx1x2y1y2x1x2(1x1)(1 x2)2x1x2(x1x2)1，所以 b10，aba1 1即 2a2ab2aab0，即 ba2ab，所以 2.abx2：a2y22C1) 的离心率为，点 (2, 2) 在C【例题 11】已知椭圆上.2b2求C 的方程；直线 l 不经过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交

17、点 A, B ，线段 AB 中点为 M ，证明：直线OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.a2 b2242， 1，b2解答：(1)解 由题意得a2a2x2y2解得 a 8,b 4 .所以C 的方程为1.2284(2)证明 设直线 l ： y kx b(k 0,b 0) ， A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ， M (xM , yM ) .2将 y kx b 代入 xy21得(2k21)x24kbx2b280.84 x1 x2 2kb b2k2 1， y kx b 故 x.M2k2 1MM2 yM1 ，于是直线OM 的斜率 kOMx2kM即kk 1 .所以直线OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.OM2x 2y 2【例题 12】(1)已知过点 M(2 ,0)的直线与椭圆+=1 交于 A、B 两点，张同学探究发现 x 轴上总存在点一定 N54（n ,0） 使ANM =BNM 。若存在，求出 n 的值；否则，请说明理由。解设直线 AB 方程为：x=ty+2 ，将它代入椭圆方程中并整理得：（4t2+5）y2+16ty-4=0（ 1)设 A（x1 y1）、 B（x2,y2），则 y1 和y