八年级数学直角三角形(学生讲义)

1、直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到

2、这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，OE是AOB的平分线，F是OE上一点，且CFOA于点C，DFOB于点D，DBFECFDF.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：O图4CAA三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、ABC、ACB的平分线，那么：RFIQEAP、BQ、CR相交于一点I；B图6PDC若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI

3、EIFI.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯

4、定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：正方形EFGHS，4ab(ba)2c2，化简可证方法一：4SS正方形ABCD12方法二：DCH四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积

5、个直角三角形的面积与小正方形面EFbGaAcB积的和为S4abc22abc2大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2方法三：S(ab)(ab)，S2abc2，化简得证22212梯形梯形ADEABE1112SSbabccccaba.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则aAaccBbbDbEaCca2b2，bc2a2，ac2b2知道直角三角形一边，可得

6、另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满

7、足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；22n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决

8、直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆

9、定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：CCC30ABADBBDA10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在eqoac(,Rt)ABC中，C=90(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求

10、c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。CBDA举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求：BC的长.3举一反三【变式1】如图，已知：，于P.求证：.【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了50

11、0m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。4举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆

12、柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：5类型四：利用勾股定理作长为5、作长为、的线段。的线段举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）（3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确）7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只

13、有从该条件入手，解决问题。6举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【答案】：连结AC【变式2】已知eqoac(,:)ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=请问FE与DE是否垂直?请说明。AB。勾股定理经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。举一

14、反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。7【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受

15、影响的时间为多少秒？举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。8【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角

16、形问题来解决eqoac(,3)、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。（二）方程的思想方法eqoac(,4)、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。9举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。直角三角形的性质经典例题透析例eqoac(,1)：已知：如图ABC中，BDAC，CEAB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.例2：已知：eqoac(,Rt)ABC中，ACB是直角，D是AB

17、上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE。例eqoac(,3)：已知ABC中，CDAB于D，过D作DEAC，F为BC中点，过F作FGDC求证：DG=EG。10例4：已知如图，ACBC，ADBD，AD=BC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F求证：CE=DF.例5：已知：如图ABBD，CDBD，AB=DC求证：AD/BC.例6：已知，如图eqoac(,5)，在ABC中，BAC90，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：FED=FDE。例7：（2015年上海市中考题）已知：如图eqoac(,6)，在ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DGCE，G为

18、垂足。11例8：（2015年呼和浩特市中考）如图eqoac(,7)，在ABC中，C=2B，D是BC上的一点，且ADAB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）AEC=C；（2）求证：BD=2AC。例9：（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。12例10：如图9，在四边形ABCD中，ACBC，BDAD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。求证：MNDC。经典习题精讲1、如图所示，已知BEAC，DFAC，垂足分别为E，F，O是AC与BD的交点且是BD的中点，求证BE=DF。2、如图所示，AD是ABC中BAC的

19、平分线，ABC=2C，求证：AB+BD=AC。ABCDEeqoac(,3)、如图所示，在ABC中，B=900，CAE和ACF的平分线相交于D，求D的度数。13DABCF4、如图所示，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=900，D为AB的中点，DEBC于E，求证CDE=A。6、如图所示，AB/CD，AD=AB=BC，DC=2AB，求证BDBC。7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形的顶角的度数。eqoac(,8)、如图所示，在ABC中，AB=AC，DAAC，BAC=1200，求证BD=12DC。9、如图所示，在四边形ABCD中，AD/BC，BD=BC，AB=AC，BAC=9

20、00，求ABD的度数。C10、如图所示，Deqoac(,是)ABC的边BC的中点，DEAC,DFAB，垂足分别为E,F,且BF=CE,求证AD平分BAC。1411、如图所示，AD是BAC的平分线，DE,DF分别是ABD,ACD的高，求证AD垂直平分EF。12、如图所示，B=900,AD=AB=BC,DEAC,求证BE=DC.13、如图所示，AD/BC,DCAD,AE平分BAD，且点E是CD的中点，则AD,BC与AB之间有何数量关系？14、如图所示，POMN,PDOA,PEOB，垂足分别为O,D,E,且PD=PE，求证AOM=BON.15、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.1516、如图所示，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上一点，且PB=3，PC=7，求AB2-AP2的值。ABPDC17、如图所示，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，ABBC，求四边形ABCD的面积。D18、如图所示，有一块边长为24cm的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，BC=1