组合专题讲义04恒等式_第1页
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文档简介

1、组合专题：组合恒等式知识点组合恒等式: 表示组合数之间的关系的恒等式.1972年, H.W.Gould 教授在 CombinatoriaiIdentities一书中列举了九种证明组合恒等式的方法,它们是:(1)数展开式中的系数;(2)微积分方法;(3)有限差分法;(4)差分方程或递推关系法;(5)数学归纳法;(6)数格点法;(7)排列组合理论(组合解释);(8)级数变换;(9)多项式的有限几Taylor展开,共收集了 500 多个组合恒等式.竞赛中常用的方法有：(1) 利用基本组合恒等式及二项式定理.下：基本组合恒等式如(1.1) Cr = Cnr;nn(1.2) Cr+1 = Cr+1 +

2、Cr;n+1nn(1.3) Cr = n Cr1;nn1r(1.4) CrCm = Cm;n rn(1.5) C C + C + + (1) C = 0;012n nnnnn(1.6) Cr + Cr+ Cr+ + C= Cr+1rr+1 C.nn+1n+2n+kn+k1nP广义二项式定理： 对任意实数 6= 0, 有 (1 + x) =C x (n n 1), 其|xn=0中 C0 = 1, C =(1)(n+1)(n 1)n.n!Pn(2) 利用组合互逆公式：设是给定的数列, 如果 bn =(1) C a , n =k kkk=0nPn0, 1, 2, a =(1) C b , n = 0

3、, 1, 2, . . ., . . . , 那么k knkk=0n(3) 母函数方法; (4) 递推方法; (5) 数学归纳法; (6) 组合模型法; (7) 复数方法; (8) 微积分法; (9) 概率方法.经典例题选讲例1. 求 C 3C + 5C 7C + .1357nnnn1例2.设 Pn(k) 是集 1, 2, . . . , n 的保持 k 个点不动的排列的个数. 求证:nXkP (k) = n!.nk=02例3.定义数列数是组合数学中一类经常出现的数列, 它的通项公式为 Cn = 1 Cn .现2nn+1P, 满足 a =试求 limcn .na 的值. (2015赛试题)n4nnii=13P例4. 求证： S=n(1) C C= (1) (). 这里k k mmm nm,nm,n

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