极限部分练习题答案

1、k 2. 极限部分练习题参考答案1.24解1J 2攻 x 16 x 4 x 4 4 x3lix 16 Jx 4x x 16 4 x324 x244 x 844 x 8 x 424 x244 x 8.x4441lim x 164 x3 24x244x 8 8 888 4lim 4 1,1x 16 4 x2 2 24解 2 lim 学2limX 2一x 16 . x 4 x 16 4 x 2 4 x 2【注】解1中是分子、分母同乘分子Vx 2的共轲根式？x324/x244 x 8,解2中是分子、分母同乘分母4的共轲根式 小 4 ,显然解2比解1简单.2.求a的值，使得lim 1 xlim 1 xl

2、imxlimx，即4,取对数得a ln4 21n 2.3.limx一1xsin 一 x1一 sin x x解limx_1 xsin 一x/sin/lim xsin11x1:一lim sinx lim x lim sin xxxx xx 1 x x1 sin x x110 1.x【注】解题中求极限limx1xsin1时应用了第一个重要极限,x而求极限1lim sin x时则应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）4.当n等价，则kD， 2 1 = 1时，sin 一与f n n时 sin2-n. 2 1 sin lim-n n 11,而 limn.k1 sin 一 nlimn.

3、1 sin n1nlimn.1 sin n1n1, 5.limxx2x 12x 12xlim2x 12x2x 1lim2x2xlim 1limlim2x 12xlim2x6.limlimlim 12x2xlim2xe2e.7.解在f x 22xlim2x2x2x2xlim2xlim2x 13232limlim2x 3,2xx2 2x 3 中令 x 0 ,得 f 2e.2x 12f x 2 x 2x 3 中令 x 1,得 f3 2,即 f f 22.8. lim x 0 sin 3x即 11 x斛 1 lim x 0 sin 3x1 . 1 x 11 xlim x 0 sin3x 1 、1 xx

4、sin 3x1 x 13xsin3x131 J xlim lim 1 -x 0 sin3x x 0311 x 6解2注意，当x0 时，sin3x3x,且 dC x1寸1 x 1,所以当x20时,16 9.limx,1 xlimx于是由无穷小量替换法得lim 1 xsin3xlimxlimxlimxlimxlimxlimx2 e -1 elimxlimx10. limo1xsin 一 x1-sin x x解limx 01 xsin 一x1- sin x xlimx 0.1 sin 一x.sinxlim 0 x 0 x1.【注】解题中求极限limx 0.1sin 一 x时应用了无穷小量的性质（无穷

5、小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）11.limx 23 c 2x 3x2x612.limx 23 c 2x 3xlim (xh)32x6limxlimx TOC o 1-5 h z .33_ 22. 3x h x3x h 3xh h八 2 c ,. 2-2斛 1 lim lim lim 3x 3xh h 3x .h 0 hh 0hh 0解2 hm0-h x h lim h 02lim x hh 0,2- 2x h x x 3x . 33. 33【汪】解1中分子是直接将一项式x h展开再减x3,而解2中分子是直接对x h x3应用立方差公式13.limx 3.1x2x 3limx 31x2lim

6、x 31x21x21x2limlim X 3 114.limx,(x 1)(x 2)limx(x 1)(x 2)limx【注】lim x . x 1 x仿上步骤可知,limx3x 23xlimx221xlimxlimx(x 1)(x 2)limx.(x 1)(x 2)15.limx2x x e ex3ec 2x2elimx2x ex3ex ec 2x2e则当limx,(x1)(x 2)limxlimx不存在,所以3x3xlimxlimx3x ex3e 2limxx221x. (x 1)(x 2) x也不存在，故将原题改为时,故由无穷小量分出法，有limx2x e3ex 2e2xlimu3u 2

7、u2lim uI u3 13 2 2 u16. 0, 2 tan x . 2 sin x.3 sin x解limx 02 tanx 2 sinx3sin xlimx 0.2 tanx 2 sinx . 2 tanx ,2 sinxsin3 x 2 tanx . 2 sin xlim , x 0 sintan xsin xtan x2 sin x，1limc0sx _,x 0 sin2 x . 2 tan x .2 sin xcosx原式limx2 sincosx. 2 sin2 tanx2 sinx（以下分3种作法）cosx1. 2 tan x . 2 sin x一 2 xsin 一22 x

8、T -一2- sin x2- xlim x 0lim x (原式limx 0limx 0sinx2sin xcos xlim x 0cos x2cos x2sin x1 cosx cosx11lim 1 cosx x 0 cosx1,2 tan x 2 sin xlim x 0 . 21 cosxlimx 0 当x 0时，1 cos x 1 tan x 2 sin x1 cosx 2 tanx1tanx 2 sinx14. 2sin x2且 sin x sin x2.24.2由无穷小量替换法,原式2 x 万 2 xcosx 2 tanx 2 sin x1 lim17.18.cosx2 tanx

9、 2 sin xlimxlimxxim0cosx2xx2 12xx2 1lim 1 xlimx 0In 12xsin 3x.ln 1 2x lim x 0 sin3x21n 网1limx 0 2 tan x12.214.2limx1x1xlimxlimxx11xlimx1.limx 011n13 sin3x lim x 0 3xln 1 2x limx 0 sin3x2x lim x 0 3x2x2x19. limx解 lim xlimx2a e9 ,两边取对数,sin3x 小3x3x2 Ine 22alimxln92lim3x 00时,2ln3In 12x 2xsin3x3xln(1xim0ln12x五sin 3x limx 0 3x2x) 2x ,lim 1 xlimxln3.且 sin3x 3x).ae 2aa ee20. lim .x2 100 x x解 limx2 100 xxlimx2x2 100 xx2 100 x x【注】解题过程中要特别注意的是,x210