《柱、锥、台和球的体积》教案

1、柱、锥、台和球的体积教案教学目标1、了解柱、锥、台的体积的计算方法。2、了解祖暅原理。3、棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。教学重难点重点：棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法以及祖暅原理。难点：祖暅原理的理解及棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用。教学过程一、导入1、祖暅原理：祖暅（音gQng）,名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504526年。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献。祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的缀术。他推导球体积公式的方法非常巧妙。2、祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间，条件二

2、是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面，条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.这个原理是非常浅显易懂的，例如取一摞纸张堆放在桌面上，将它们如下图的右图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞纸的体积与变形前3、祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”（Cavalierisches,Prinzip）.卡瓦列利米兰Milan（现意大利城市）人在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年相等，都等于S,咼都等

3、于h,它们的下底面都在同一平面上.因为它们的上底面和下底面平行，并且高相等，所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内.用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积都等于S,根据祖暅原理，它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到柱体的体积计算公式是V柱体=Sh.底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算公式是S圆柱=nR2h.三、棱锥和圆锥的体积1如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是h,那么它的体积是V锥体=3Sh.1如果圆锥的底面半径是R,高是，则它的体积是V圆锥=3nR2h.如何理解锥体体积的推导？在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分为三个三棱锥，

4、这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一，在这个过程中一是运用了等积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用.四、棱台和圆台的体积1V台体=S)h;其中S、S分别为台体上、下底面面积，h为台体的高.1V圆台二3n(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，咼为h.五、球的体积球=扌兀R3，其中R为球的半径.柱体、锥体、台体的体积公式间的关系六、多面体体积的求法多面体体积的常用求法有：1直接法；2换底法；3分割法；4补体法.七、例子：(1)长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为A.7B.8C.346D.675(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G,则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的C-24D.如果一个正四面体的体积为9dm3,贝康表面积S的值为A.18-73dm2B.18dm2C.1273dm2D.12dm2(4)如杲一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为JI3,那么这个三棱锥的体积是B.9(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积