向量代数与空间解析几何17964317

1、向量代数与空间解析几何17964317 向量概念向量：既有大小，又有方向的量. 向量表示：ABA为起点，B为终点自由向量：只考虑大小和方向，而不考虑起点位置的向量向量的模：向量的大小. 记作或例如位移、加速度图单位向量：零向量：相等向量：大小相等且方向一样的向量.记作平行向量：两个非零向量如果它们的方向一样或者相反，记作模等于 1 的向量，记作模等于零的向量，记作 向量的线性运算三角形法那么与任取一点A，作再以B为起点，作连接AC那么向量称为向量的和，记作即图6-7如图,设有两个向量平行四边形法那么与不平行时，作以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC图6-6，等于向量与的和向量

2、加法的运算规律：1交换律2结合律n 个向量 相加可写成图6-6当向量显然向量负向量：与的模一样而方向相反的向量，记我们规定两个向量的差为图6-8=0，2、向量与数的乘法向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它的模它的方向当时与一样，当时与相反.为零向量，即当=0时，arlarl这时它的方向可以是任意的.向量与数的乘积运算规律：1结合律2交换律非零向量同方向的单位向量为例1在ABC中,D、E是BC边上的三等分点(见图6.12),设ABAEADAC试用 表示、A BECD由三角形法那么,有 解BC再由数与向量乘积定义,有BDBCECCEBC从ABD及AEC中可得 AD=AB+BDAE=AC+=AC

3、-EC例2 用向量的运算来证明:三角形两腰中点的连线平行于底边且其长度为底边的一半.BACDE解如图.设ABAC那么ADABAEACBCDE=AE-ADBC ，那么，向量平行于必要条件是：存在唯一的实数，使的充分证明 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性.设.取当与同向时取正值，当与反向时取负值，即有这时因为此时与同向，且再证数的唯一性.两式相减，便得设向量 定理6.1是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴.图6-8于是由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，故给定一个点及一个单位向量就确定了一条轴.设点O及单位向量 向量的坐标表示式任给

4、向量为对角线、三条坐标轴为棱作长方体RHMK-OPNQ，如图6-14所示，设那么坐标分解式，沿三个坐标轴方向的分向量，那么有图6-14有OA定义：有序数设向量AB的起点为A(x1, y1, z1),终点为B(x2, y2, z2),三个向量OB、及AB构成一个三角形(见图6.15).由向量的加减法运算可得ABAB=OB-OA设即那么即向量例3设求及向量的模解：=5 6.2.4 方向余弦空间两向量的夹角的概念：图6-16类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.图6-17从图7-13可见，从而解例4 ABAB同方向的单位向量.AB同方向的单位向量例5设向量与x 轴、y 轴的夹角余弦为且求向量解由

5、2，2所求的向量有两个，分别为及例6一向量的终点在B(2,1,7),轴和z 轴上的投影依次为4、4和7,求这向量起点A的坐标.它在x 轴、y解设A点的坐标为(x, y, z),那么AB=(2x,1y,7z),又由条件知AB=(4,4,7),所以有(2x, 1y, 7z) =(4, 4, 7),因此得x =2, y =3, z =0,即所求点的坐标为(2, 3, 0). 向在轴上的投影 设向量AB及一轴u,过A点作一与u轴垂直的平面,该平面与u轴的交点称A点在u轴上的投影点(见图6.19).设点A、B在u轴上的投影点分别为(见图6.20) ,是与u轴同向的单位向量,如果有,那么数称为向量AB在u轴上的投影,记称u轴为投影轴，称为向量AB在u轴上的分向量 .向量的投影具有与坐标一样的性质：性质1性质2性质3练习1 在平行四边形ABCD中，设试用与表示向量和，这里M是平行四边形对角线的交点.图6-7练习2 求解以向量为未知元的线性方程组练习3 两点图6-11特别地，练习4 设点练习5 设立方体的一条对角线为 由于平行四边形得对角线互相平分，所以即于是因为所以又因故由于所以图7-5解解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样， 可解得