3.1.1直线的倾斜角与斜率-教学教案解析

1、PAGE14PAGE14直线的倾斜角与斜率三维目标1知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式2过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想3情感、态度与价值观(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能

2、力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验猜想操作定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教

3、学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点(教师用书独具)教学建议 鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法教学流程创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？eq x(引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线

4、位置的几何要素.)eq x(通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.)eq x(通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.)eq x(通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.)eq x(借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.)eq x(归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.)eq x(完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.)课标解读1.理解直线的倾斜角与斜率的概念(重点)2掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3掌握过两点的直线的斜率公式(重点)直线的倾斜角【问题导思】1在平

5、面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？【提示】不能2在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】不同1倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.2倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为0180.3确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”1上图(1)(2)

6、中的坡度相同吗？【提示】不同，因为eq f(3,2)eq f(2,2).2上图中的“坡度”与角，存在等量关系吗？【提示】存在，图(1)中，坡度tan ，图(2)中坡度tan .1直线的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率keq f(y2y1,x2x1)(x1x2).直线的倾斜角的理解设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B

7、135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾角为135【思路探究】画出图象辅助理解，由于条件中未指明的范围，所以需综合考虑的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0而小于180的范围内【自主解答】根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.【答案】D 1解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答2求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论一条直线l与

8、x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(01时，keq f(1,m1)0，所以直线的倾斜角的取值范围是090.当m1时，keq f(1,m1)0，所以直线的倾斜角的取值范围是901时，keq f(1,m1)0，所以直线的倾斜角的取值范围是090.当m1时，keq f(1,m1)0，所以直线的倾斜角的取值范围是90180.1倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度2直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系3运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率keq f(y2y1,x2x

9、1)应注意的问题：(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2x1，y2y1中x2与y2对应，x1与y1对应)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90，斜率不存在.1下图中能表示直线l的倾斜角的是()图311ABCD【解析】结合直线l的倾斜角的概念可知可以，选C.【答案】C2已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A.eq f(r(3),3) B.eq r(3) C1 D.eq f(r(2),2)【解析】由题意可知，ktan 30eq f(r(3),3).【答案】A3已知A(2,3)

10、、B(1,4)，则直线AB的斜率是_【解析】直线AB的斜率keq f(43,12)eq f(1,3).【答案】eq f(1,3)4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，求实数a的值【解】A、B、C三点共线，且32，BC的斜率存在，AB的斜率存在，且kABkBC，kABeq f(72,3a)eq f(5,3a)，kBCeq f(9a7,23)eq f(9a7,5)，eq f(5,3a)eq f(9a7,5)，2527a219a27a，即9a220a40，解得a2或aeq f(2,9).一、选择题图3121如图312，直线l的倾斜角为()A45B135C0 D不存在【解

11、析】由图可知，直线l的倾斜角为4590135.【答案】B2若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A45，1 B135，1C90，不存在 D180，不存在【解析】由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90，斜率不存在故选C.【答案】C3(2013周口高一检测)过点M(eq r(3)，eq r(2)、N(eq r(2)，eq r(3)的直线的斜率是()A1 B1 C2 D.eq f(r(3),2)【解析】过点M、N的直线的斜率keq f(r(3)r(2),r(2)r(3)1.【答案】B4若图313中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有()

12、图313Ak1k2k3 Bk2k3k1Ck1k3k2 Dk2k1k3【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，由图可知32901，故相应斜率的关系为k10k3k2.【答案】C5下列各组中的三点共线的是()A(1,4)，(1,2)，(3,5)B(2，5)，(7,6)，(5,3)C(1,0)，(0，eq f(1,3)，(7,2)D(0,0)，(2,4)，(1,3)【解析】对于A，eq f(42,11)eq f(52,31)，故三点不共线；对于B，eq f(65,72)eq f(36,57)，故三点不共线；对于C，eq f(f(1,3)0,01)eq f(2f(1,3),7)，故三点共

13、线；对于D，eq f(40,20)eq f(30,10)，故三点不共线【答案】C二、填空题6斜率的绝对值等于eq r(3)的直线的倾斜角为_【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知tan eq r(3)，60或120.【答案】60或1207已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为_【解析】由题意知kPA1，若P点在x轴上，则设P( m,0)，则eq f(02,m1)1，若P点在y轴上，则设P(0，n)，则eq f(n2,01)1，解得mn3，故P点坐标为(3,0)或(0,3)【答案】(3,0)或(0,3)8在下列叙述中：若一条直线的倾斜角为，则它的斜率k

14、tan ；若直线斜率k1，则它的倾斜角为135；若A(1，3)、B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90；若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45，则这条直线必过(3,4)点；若直线的斜率为eq f(3,4)，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点所有正确命题的序号是_【解析】当90时，斜率k不存在，故错误；当倾斜角的正切值为1时，倾斜角为135，故正确；直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90，故正确；直线过定点(1,2)，斜率为1，又eq f(42,31)1，所以直线必过(3,4)，故正确；斜率为eq f(3,4)的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误【答案

15、】三、解答题9如图314所示，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，求l1，l2的斜率图314【解】l1的斜率k1tan 1tan 30eq f(r(3),3).l2的倾斜角29030120，l2的斜率为k2tan 120tan 60eq r(3).10在同一坐标系下，画出满足下列条件的直线：(1)直线l1过原点，斜率为1；(2)直线l2过点(3,0)，斜率为eq f(2,3)；(3)直线l3过点(3,0)，斜率为eq f(2,3)；(4)直线l4过点(3,0)，斜率为eq f(2,3).【解】(1)设A(x1，y1)是直线l1上一点，根据斜率公式有1eq f(y10,x10)，即x1y1，令

16、x1y11，则直线l1过原点及点A(1,1)两点(2)同理，设B(x2，y2)是直线l2上一点，则eq f(2,3)eq f(0y2,3x2)，即y22eq f(2,3)x2，令x20，得y22，所以直线l2过点(3,0)及点B(0,2)(3)同理可知，直线l3过点(3,0)及(0，2)(4)同理可知，直线l4过点(3,0)及(0,2)四条直线的图象如图所示11已知A(1,1)，B(1,1)，C(2，eq r(3)1)，(1)求直线AB和AC的斜率(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围【解】(1)由斜率公式得kABeq f(11,11)0.kBCeq f(r(3

17、)11,21)eq r(3).kACeq f(r(3)11,21)eq f(r(3),3).(2)如图所示设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为eq f(r(3),3)，eq r(3).(教师用书独具)过点M(0，3)的直线l与以点A(3,0)，B(4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围【思路探究】eq x(画图)eq o(,sup7(斜率公式),sdo5(kf(y2y1,x2x1)eq x(倾斜角的取值范围)eq o(,su

18、p7(斜率定义),sdo5(ktan )eq x(斜率k的取值范围)【自主解答】如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角1为最小值，tan 1eq f(03,30)1，145.(2)直线l过点B(4,1)时，即为直线MB，倾斜角2为最大值，tan 2eq f(13,40)1，2135.所以直线l倾斜角的取值范围是45135.当90时，直线l的斜率不存在；当4590时，直线l的斜率ktan 1；当90135时，直线l的斜率ktan 1.所以直线l的斜率k的取值范围是(，11，)1直线l过点M，斜率变化时，可以理解为直线l绕定点M旋转，使直线l与线段AB的公共点P从端点A运动到端点B，直线l的倾斜角就由最小值1变到最大值2.这是数形结合的思想方法2当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大