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1、第四节 有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例一、有理函数的积分 有理函数的形式当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 （1）分母中若有因式 ，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为则分解后为（2）分母中若有因式 , 其中特殊地：分解后为（3）真分式化为部分分式之和的方法(拼凑法,待定系数法, 赋值法)例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解:(1) 用拼凑法(2) 用赋值法故(2) 用待定

2、系数法四种典型部分分式的积分: 解 例1 例2 解 例3 求整理得解例4. 求解: 原式思考: 如何求提示:变形方法同例4, 并利用 P209 例9 . 注: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例5. 求解: 原式例6. 求解: 原式二 、可化为有理函数的积分举例1. 三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数.可记为 令（万能置换公式）三角函数有理式的积分可化为有理函数积分 解 例7 212sinuux+=, 2211cosuux+-=. 注: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 例8 例9. 求解: 2. 简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令 解 例10 设即xu32 则 例11. 求解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令例12. 求解: 令则原式 作业：p-218 习题4-4 3

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