奥数知识点汇总(初一)

1、奥数知识点汇总（初一）第一章 整数一、整数得几种表示方法：选择适当得方法表示一个整数，就是解决整数问题得基本方法之一。它就是解决整数问题得前提。 1、整数得多项式表示法：任何一个十进制得正整数 N 都可表示为：N an 10n an 1 10n 1 L a2 102a1 10 a0 ，这里an、an 1、 a?、a1、a0各取于09这十个数字中得任何一个。如果 N就是个n+i位正整数，则anwo。为了方便，也可将 n简记作nanan 1L 31ao。这种表示法称为整数得多项式表示法。整数最左边得一位数字an 叫做整数N 得首位数字，最右边得一位数字a0 叫做整数 N 得末位数字。2、整数得质因

2、数连乘积表示法：（ 1）算术基本定理每一个大于 1 得整数都能分解成质因数得乘积得形式，并且如果把质因数按照由小到大得顺序排在一起（相同因数得积写成幂得形式） ，那么这种分解方 法就是唯一得。这就就是说，任何一个整数N （N1）,都能唯一地表示成下面得形式：Np11 p22L pnn其中i ,2, n为自然数，Pl,P2,L , Pn为质数，并且Pi P2 V1）,如果它得标准分解式为Npi 1 p2 2 LPn n ,那么它得约数个数为（1+ 1）（1 + 2）（1+ n）。另外，如果一个正整数N 得约数个数就是奇数，那么这个正整数 N 就是完全平方数。3、整数得带余式表示法：如果整数a除以

3、正整数m所得得商就是q,余数就是r,那么a=mq+r,其中q、r都为 整数，并且owrwm1。这种表示法称为整数得带余式表示法。如果整数a、b分别除以正整数 m所得得余数都就是r,即a=mP+r, b=mq+r（P、q为整数），那么称a, b对于模m同余，记作a三b（mod m）。容易推知对于模m而言，与a同余得一切整数可以表示为mt+r （t为整数），这里r=0, 1,，m 1。把所有这样得整数作为一类，称为以 m 为模得一个同余类。一般地，对于模 m 而言，应当有m 个同余类存在，可分别表示为：mt,mt+1,mt+2, , mt+（m - 1） （t 为整数）。任何一个整数必定属于并且也

4、仅属于其中一个同余类。这样一切整数就可以按照模 m 进行同余分类， 把无数个整数分成有限个同余类， 为我们解决问题带来方便。特别地， 按模 2 分类，就得奇数与偶数两类；例如按模 3 分类，就有三个同余类：3t,3t+1,3t+2 (t 为整数)。有时将3t+2写成3t-1o二、数得整除特性：任意两个整数相加、减、乘得结果都就是整数，但两个整数相除，它们得商就不一定 就是整数了，也就就是说，整数对加、减、乘得运算就是封闭得，而对于除法并不就是封闭 得。这样就出现了整除与余数得两个概念。1、整除得定义：对于整数a、b (bw 0),如果a除以b得到得商就是一个整数 q,即a+ b=q或a=bq,

5、则称a能被b整除，或称b能整除a,记作b a ,此时a叫做b得倍数，b就是a得因数；如果b不能整除a,记作ba2、数得整除得若干性质：根据整除得定义，有如下性质：(1)如果a b , a c , m, n为整数，那么a (mb nc)、(2)如果a b , b c,那么a c。(3)如果a bc,且a、b互质，那么ac。(4)如果a b , c b ,且a, c互质，那么ac b。(5) n个连续整数得连乘积，一定能被1X2X3x n整除。3、数得整除特征：(1)能被2 (或5)整除得数得特征：个位数字能被 2 (或5)整除。(2)能被4 (或25)整除得数得特征：末两位数能被4 (或25)整

6、除。(3)能被8 (或125)整除得数得特征：末三位数能被8 (或125)整除。(4)能被3 (或9)整除得数得特征：各位数字之后能被3 (或9)整除。(5)能被11整除得数得特征：奇数位上数字之与与偶数位上数字之与得差能被11整除。(6)能被7、11、13整除得数得特征：奇位千进位数段之与与偶位千进位数段之与得差能 被7、11、13整除。例如，判别34425391能否被7、11、13整除，先从后往前分节，得 34, 425, 391。奇 位千进位数段之与为 34+391=425 ,偶位前进位数段之与为 425,两者之差为425425=0。 因为0能被7、11、13整除，所以34425391能

7、被7、11、13整除。上述性质与特征就是解决整除问题得重要理论依据。解决整除问题常用得方法有：利用数得整除特征，凑连续整数乘积法，整数得多项式表示法，按同余分类整数表示法、考虑余数法、奇偶性分析法等等。4、质数与合数：一个大于1得正整数a,如果只有1与a这两个约数，那么 a叫做质数，也叫做素数；如果除了 1与a这两个约数外，还有其她正约数，那么a叫做合数。这样，自然数按约数得个数可分为0、1、质数与合数四类。在关于质数与合数得问题中，除了广泛运用它们得定义外，还要运用如下关于质数与 合数得性质：质数有无穷多个，最小得质数就是2,不存在最大得质数。除2以外得全体偶数就是合数，除 2以外得全体质数

8、就是奇数。12n.任何大于1得自然数都可以分解成质因数得乘积，即N= P1 p2 L pn (N为大于1得自然数，Pi,P2,L Pn为质数，1, 2,L n为正整数)。如果不考虑这些质因数得顺序，这种分解方法就是唯一得。质数与合数问题就是数论中得另一个基本问题，解决得常用方法有质数分析法、分解 质因数法、余数法、因式分解法等等。5、最大公约数与最小公倍数：若a1,a2,L an就是不全为零得整数，并且d a,d a2,L d an，则d叫做a1,a2,L an得公约数。公约数中最大得数叫做这n个数得最大公约数，记作(a1,a2,L an) = d。若a1,a2,L an都就是正整数，且(a1

9、,a2,L an) =1,则称a1，a2,L an这n个数互质或互素。互质得数不一定都就是质数，但几个不同得质数一定互质。若a1,a2,L an与m均为正整数，且 a1 m,a2 m,L an m ,则称 m就是a1，a2,L an得公倍数。公倍数中最小得数叫做这n个数得最小公倍数，记作a,a2,L anm。有关最大公约数与最小公倍数得性质如下：b,-)1 (k为正整数)。 d(1)如果 b a ,那么(a,b) =b,a,b = a。,1一，a(2)如果(a,b) =d,那么(ka,kb) =kd,(m,m m、，一,(一,) 1 (k为正整数，c为a,b得公约c a bd,ea b(3)如

10、果a,b=m,那么ka,kb=km, ,c c数)。ab , abm= 一，d (4)如果(a,b) =1,那么(a,bc) =(a,c)(5)如果(a,b) =d,a,b=m ,则 ab=md,或者6、整数问题：整数有三种表示方法：多项式表示法、质因数表示法与带余式表示法。要会灵活运用整数各种表示法解题。解决整数问题，余数法、反证法、奇偶性分析、抽屉原理就是常用方法。7、奇数与偶数：在整数中，能被 2整除得数叫做偶数，不能被 2整除得数叫做奇数。通常把奇数记为 2n+1,把偶数记为2n,这里n为整数。要注意 0也就是偶数。一切整数分成两大部分：奇数与偶数。一个奇数与一个偶数不会相等，这种数得

11、奇偶性就是整数最基本得性质。奇数与偶数有以下一些重要性质：奇数加奇数，其与就是偶数；奇数加偶数，其与就是奇数；偶数加偶数，其与就是偶数。一般地奇数个奇数得与就是奇数，偶数个奇数得与就是偶数，任意个偶数得 与总就是偶数。奇数减奇数，其差就是偶数；奇数减偶数或偶数减奇数，其差都就是奇数；偶数减 偶数，其差就是偶数。奇数乘奇数，其积就是奇数；奇数乘偶数，其积就是偶数；偶数乘偶数，其积就是 偶数。一般地，N个奇数得积就是奇数；几个整数相乘，如果其中有偶数，那么乘 积就是偶数。如果一个偶数被奇数整除，则其商就是偶数；如果一个奇数能被一个奇数整除，则 其商就是奇数。对于奇数、偶数得上述四条性质，通常称为奇

12、偶性原理。在解决一些有关整数问题时， 灵活而巧妙地运用这些性质，再加上正确得推理分析，在解题中会收到较好得效果。第二章整式1、有理数及其运算技巧：在自然数、正分数得基础上引入负数后，数集就扩大到了有理数范围。也就就是说，整数与分数统称为有理数。有理数通常可表示成分数形式，这里 m,n都就是整数，且 mmw 0。四则运算对有理数就是封闭得，即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除(除数不为零)结果得与、差、积、商仍为有理数。有理数可以作以下两种分类：正整数整数零L负整数有理数 正有限小数了正分数 i正无限循环小数1分数1负分数X负有限小数L负无限循环小数(-正整数正有理数F正分数壬 令有理数负有理

13、数负整数I负分数有理/可以比较大小，任意两个有理数之间都有无穷府哦个有理数，有理数得巧算就是一种基本得运算技巧。 巧算得关键就是从整体上观察算式与其中每个数得特点，寻求一定得规律，以简化计算工作量。常用方法有：1、分组计算(凑整法、应用运算定律、应用添(去)括号)；2、拆项法1n(n 1)1111,11-(-n n 1 n(nk) k n n k)】；3、11111n(n 1)(n 2) 2(n(n 1) (n 1)(n 2) (n a)(n b)换元计算；4、倒写相加或叫反序求与法； 5、错位相减法；6、探索规律法；7、应用募得性 质；7、逆向思维法。2、乘法公式：般常用得乘法公式有: TO

14、C o 1-5 h z ,.、22(1) (a b)(a b) a b ； HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 222(ab)a2abb ；(ab)3a33a2b3ab2b3 ；(ab)3a33a2b3ab2b3；(ab)(a2abb2)a3b3 ；(ab)(a2abb2)a3b3 ；22.22_ ._(ab c)abc2ab2bc 2ac在熟练掌握上述基本公式得基础上，将这些公式变形逆用可得下面得重要公式：,.、222_.222_ab(ab)2ab ,或者a b (a b) 2ab ；，一、22(ab)(ab)4ab ；a3 b3 c3 3ab

15、c (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac)；a3b3(ab)(a2abb2)；a3b3(ab)(a2abb2)；，一 2221222a b c ab bc ac - (a b) (b c) (c a)3、整式得运算与求值：整式得运算就就是将一个整式通过恒等变形变换成另一个与之恒等得式子。它包括代数式得化简、求代数式得值等。在初中数学竞赛中，代数式得运算与求值就是两个基本内容， 其方法灵活多变，技巧性强。所以进行整式得运算与求值除了掌握一些基本方法外，还应掌握一些典型得技巧与特殊得方法。常用方法有：(1)、观察找规律；(2)、整体代入法；(3)、拆添项法；(4)、套用公式法等等。4

16、、整式得恒等变形：恒等式分为两类：一般恒等式与条件恒等式。例如(a b)2 a2 2ab b2,不论a、b取任何实数，等式总能成立，称这类等式为一般恒等式。又如， 当a+b = 0时，a2 b2 0,这个等式对任意a、b得值并不成立，仅当?黄足a+b=0时才成立，称这类等式为条件恒等式。所谓恒等变形就是指在字母允许得恒等变形方法灵活多变，技巧性也 (3)代入法；(4)差、商比较法(作在初中数学竞赛中，恒等变形就是重要得基本内容之一。 范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等得代数式。 很强。常用方法与技巧有：(1)配方法；(2)换元法;差法、作商法)；(5)消元法；5、有理数得表示法及其应用：

17、有限小数或无限循环小数叫做有理数。有理数总可以表示成既约分数_p (其p、q就是q没有公因数得整数，且 qw。)。例如，1=0、5, - 0.&,。23第三章一次方程与一次不等式一元一次方程得一般表达式：ax=b(a、b均为常数)当aw。时，方程ax=b有唯一得解x= b ；a当a=0,b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程得解为任何实数；当a=0,bw0时，方程ax=b无解。一元一次不等式有四种类型，即ax b, ax b,ax b, ax b。这里aw0,且a、b均为常数。不等式得基本性质：ab,bca c;(2)a ba+c b+c;(3)a ba-c b-c;(4)ab,c0ac

18、bc;(5)ab,cv0acv bc、比较两数得大小，常用求差法：a-b0a b;ab=0 a=ba-b这样得一种基本形式。由不等式得性质知：当a0时，不等式得解为x b 。a当a0时，不等式得解为xa当a=0时，若b0,不等式无解；若 bv 0,不等式得解为任意实数。对于一般由两个不等式组成得不等式组，可分别解出每一个不等式，而两个不等式得解总可归纳成如下四种情况（设a a不等式组得解集为 x b、：x b,情形2：xva,不等式组彳导解集为 xva。x a不等式组得解集为 a x bxb,4、含绝对值得一次方程与一次不等式：带有绝对值符号得方程与不等式，可以利用绝对值得定义脱去绝对值符号而

19、化为普通 得方程与不等式进行求解，关键时不要忽视去绝对值符号得条件。一般常利用分类讨论法。 在进行分类讨论时，要注意所划分得类别之间不重复、不遗漏。常用方法有：零点分段法；逐层去绝对值法。5、应用问题：列方程解应用题，一般有审题、设出未知数、列方程、解方程、检验、作出结论等步骤。 常见题型：（1）水电费问题；（2）顺流、逆流问题；（3）钟表问题；（4）扶梯问题；（5）追 击相遇问题（如环形跑道问题）；（6）浓度问题；（7）工程问题；（8）面积、体积问题；第四章简单几何图计数问题时数学竞赛中得热门课题。对于简单得几何图形得计数常用得有枚举法、分 类计数法与分步计数法。先将要计数得所有对象一一列举

20、出来，最后计算总数，这种方法称为枚举法。如果完成一件事有n类方法，在第一类方法中有 3种不同方法，在第二类方法中有 m2种不同方法在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有mi m2 L mn种不同得方法。这种方法称为分类计数法。如果完成一件事需分 k个步骤，依次完成各步后，整件事也就完成了。若完成其中各步得方法分别有 , n2,以种，那么完成这件事共有 n1n2 L 1种不同得方法。这种方法称为分类计数法。1、线段、角：一条直线上有n个分点，则以这 n个点为端点得线段共有 n(n 1)条。当这n个点不2共线时，此算式也成立。一般地，如果一条线段上有 n+1个点(包括两个端点)，那么这

21、n+1个点把这条线段一 共分成n(n 1)条线段。2(3)平面上四个点，可确定1条或4条或6条直线。一条直线上任取n个互不重合得点，共有 2n条射线。(5)射线上任取n个互不重合得点，共有 n条射线、(6)线段上任取n个互不重合得点，共有 (n 2)(n 1)条线段。2(7)平面上有n (n2)条互不重合得直线，那么最多有n(n 1)个交点;2(8)平面上有n (n3)条互不重合得直线，由交点组成得线段得条数最多有n(n 1)条2线段。 n(n 1)n2 n 2(9)平面上有n条互不重合得直线，可以把平面最多分成n(n 1) 1 =-一n2部分。222、垂线、平行线：平面内两条不同直线有两种位

22、置关系：相交与平行。两条不同直线，若它们有一个公共点，我么说它们相交，这个公共点叫做它们得交点。两条不同直线不能有两个或更多得公共点。相交关系中最重要得就是垂直。与垂直相关得知识：(1)过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；(2)直线外一点与直线上各点得连线中，垂线段最短。在同一平面内，不相交得两条直线叫做平行线。关于平行线最重要得就是平行公理，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。设两条直线被第三条直线所截，则有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行。3、趣味角得求与：“三角形得内角与等于180。”就是一个非常重要得性质，它就是解决许多角度求与问题得基础

23、。解决一类有趣得角度求与问题：折多边形得顶角求与。如下图：BA4、两点间线段最短：两点间线段最短就是一个很重要得结论，在现实生活中它得应用也十分广泛。它有一个直接得推论就是：三角形两边之与大于第三边；两边之差小于第三边。由此可解决许多几 何中得趣题。解决几何中有关最短与最小得问题，常用到轴对称这一几何工具。对于平面上两个图形，如果将其中一个图形沿某条直线L折叠，可使这两个图形叠合在一起，我么就说这两个图形关于直线L对称，叫直线 L为对称轴。两个图形上互相重合得点，叫做关于对称轴得对称点。两个对称图形具有下面得性质：对称点得连线段被对称轴垂直平分；对称图形就是全等形；对称轴上得点到两个对称点得距

24、离相等。5、图形计数：常用得方法有：枚举法；分类计数法；分步计数法、树形图、染色法等。在计数中要做到不 重复、不遗漏。第五章趣味数学问题1、简单得计数问题：计数就就是数一数或算一算某类确定对象得个数，比如：某一给定得几何图形中有多少个正方形；某次篮球单循环赛多少场。解答这些问题需要掌握一定得计数方法。如枚举法、分类法、加法原理与乘法原理、染色法等数学方法。2、观察、归纳与猜想：观察、归纳与猜想就是数学竞赛中常用得方法之一，当我们碰到一些较为复杂得问题，涉及到相当多乃至无穷多得情形时，常常通过对若干简单得、特殊得情况进行分析观察，从中发现一般规律或作出某一种猜想，探索出解决问题得途径，再通过对作

25、出得结论得证明， 最后得出命题得正确性，这种研究问题得方法叫做归纳法。3、最大与最小：在日常生活中经常碰到一些在一定条件下求最大值与最小值问题，从一个地方到另一个地方，如何走可以使所走得路程尽可能地短，车费最省；一件工程如何安排工期最短；发运货物如何调运才能使费用最少？这类问题有很强得实际应用价值。在各类数学竞赛中也常出现这种最大值与最小值问题。如“将军饮马”问题用得就是“对称原理”。a b 2另若两个数得与为定值，则当两数相等时，乘积最大；(ab (二厂)2，当且仅当a=b 时等号成立)。这种情况可以推广为：如果a1 a2 L an为定值，则当a1 a2 L an时, a1，a2,L ,an

26、得乘积最大。在周长相等得长方形中，正方形得面积最大；在周长相等边数也相等得多边形中，正多边形得面积最大； 周长相等得正多边形中， 边数愈多得正多边形面积最大， 当边数无限地增多时，多边形愈来愈接近圆。因此，在周长一定得条件下，有正三角形面积正方形面积正五边形面积vv圆面积。再如：把 14 分拆成若干个自然数得与，如何分拆可以使这些自然数得乘积最大？本例就是自然数分拆得典型例子，本例得解法可推出一般得结论。解：考虑到以下几步：步 1 ：分拆成得自然数中不应含有1，因为 1 与任何数得乘积仍为原数，而将1 加到其她任一个加数上，将使乘积更大。步 2 ：分拆得加数不应超过4 ，否则可以将这个加数拆成两个大于 1 得加数，从而使乘积更大；步 3 ：分拆出得数中如果有4 ，可以用 2 2代替；步4:分拆得加数中2至多只有2个，否则，可用两个 3替换3个2,因为3X32X2 X 2,替换后乘积更大。通过以上分析可以知道，应将14 拆成若干个2 与 3 得与， 2 至多出现两次，此时这些加数得乘积最大。将14拆写成14 = 3+3+3+3+2,即将14分拆成4个3与1个2得与时，这些加数得乘积最大，最大值为342