强大导数知识点各种题型归纳方法

1、导数的基础知识一导数的定义：利用定义求导数的步骤：求函数的增量：yf(x0yf(x0 x)f(x0)x)f(x0)；求平均变化率：；xx取极限得导数：f(x0)limyxx0（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：nxn1；(1)mmC0(C为常数)；(xn)(xn)nxn1；(nxm)(xn1)mxnxn(ex)ex(ax)axlna(an(sinx)cosx；(cosx)sinx0,且a1)；(lnx)1(logax)1(a0,且a1)；xxlna法规1：f(x)g(x)f(x)g(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法规2：f(x)g(x

2、)f(x)g(x)f(x)g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法规3：f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)g(x)2(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数yf(g(x)的导数求法：换元，令ug(x)，则yf(u)分别求导再相乘yg(x)f(u)回代ug(x)题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知fxx22xsin，则f02、若fxexsinx，则fx3.f(x)=ax3+3x2+2，f(1)4，则a=（）三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻t0时的瞬时速度V0就是物体运动规律Sft在tt

3、0时的导数ft0，即有Vft0。02.Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。四导数的几何意义：函数fx在x0处导数的几何意义，曲线yfx在点Px0,fx0处切线的斜率是kfx0。于是相应的切线方程是：yy0fxxx。00题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线yfx在点Px0,fx0处切线：性质：k切线fx0。相应的切线方程是：yy0fx0 xx0（2）曲线yfx过点Px0,y0处切线：先设切点，切点为Q(a,b),则斜率k=f(a)，切点Q(a,b)在曲线yfx上，切点Q(a,b)在切线yy0faxx0上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定

4、切点，最后求斜率k=f(a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）ky|xx03x026x063(x01)23当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，（1）f(x)0f(x)该区间内为增函数；（2）f(x)0f(x)该区间内为减函数；注意：当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）f(x)在该区间内单调递增f(x)0在该区间内恒成立；（4）f(x)在该区间内单调递

5、减f(x)0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数yf(x)判断导函数yf(x)在区间上的符号下结论f(x)0f(x)该区间内为增函数；f(x)0f(x)该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数yf(x)单调区间的步骤为：（1）解析yf(x)的定义域；（2）求导数yf(x)3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转变为恒成立问题）思路一.（1）f(x)在该区间内单调递增f(x)0在该区间内恒成立；（2）f(x)在该区间内单调递减f

6、(x)0在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数f（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以f(c)0例题若函数lnxf(4),cf(5)则()f(x)，若af(3),bxA.abcB.cbaC.cabD.ba0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立.xxxxe-a0，即ae在R上恒成立.a（e）min，又e0，a0.（3）由题意知，x=

7、0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=2时，y=f(x）有极值.（1）求3a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0当x=2时，y=f(x)有极值，则f2=0,可得4a+3b+4=033由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2

8、-4x+5,f(x)=3x2+4x-4,令f(x)=0,得x=-2,x=2.3当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21y+0-0+y单调递增单调递减单调递增8134y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为95.27例3.当x0，证明不等式xx)x.1ln(1x证明：f(x)ln(x1)x，g(x)ln(x1)x，则f(x)x，1x)2x(1当x0时。f(x)在0,内是增函数，f(x)f(0)，即ln(1x)x，0 x1x又g(x)0时，g(x)0，g(x)在0,内是减函数，g(x)g(0)，即ln(1x)x0，因，当x1xx此，当x0时，不等式ln(1x)x成立

9、.1x点评：由题意构造出两个函数f(x)ln(x1)x，g(x)ln(x1)x.1x利用导数求函数的单调区间或求最值，进而导出是解决本题的重点.七定积分求值bnba1定积分的观点f(x)dxlimf设函数f(x)在区间a,b上连续，则ianni1：切割：n平分区间a,b；近似代替：取点in2.用定义求定积分的一般方法是xi1,xi；求和：i1bnba取极限：f(x)dxlimfianni13.曲边图形面积：fx0,Sb0,Sbfxdx；fxfxdxaa在x轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动行程St2变力做功Wbv(t)dt；F(r)drt1aaf(i)；n4定积分的性质bkb性质1kf(

10、x)dxf(x)dx（其中k是不为0的常数）aabbb性质2f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dxaaabcb性质3f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)（定积分对积分区间的可加性）aac5.定理b()()|b()()函数F(x)是a,b上f(x)的一个原函数，即f(x)F(x)则fdxxaxFaFbFa导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分别变量；2更改主元；3根散布；4鉴识式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和极点是最值所在（二）解析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立

11、问题”以及“充分应用数形结合思想”，创办不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找重点的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题倡导按以下三个步骤进行解决：第一步：令f(x)0获得两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常有办理方法有三种：第一种：分别变量求最值-用分别变量时要特别注意是否需分类议论（0,=0,0）第二种：更改主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，若

12、在区间D上，g(x)0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数x4mx33x2m是常数，f(x)62（1）若yf(x)在区间0,312上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对知足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.解:由函数f(x)x4mx33x2x3mx21262得f(x)3x32（1）Qyf(x)在区间0,3上为“凸函数”，则g(x)x2mx30在区间0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值下手：等价于gmax(x)0解法二：分别变量法：当x0时,g(x)x2mx330恒成立,当0 x3时,g(x)x2mx30恒成立等价于m

13、x2330 x3）恒成立，xx的最大值（x而h(x)3x3）是增函数，则hmax(x)h(3)2x（0 x(2)当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g(x)x2mx30恒成立更改主元法再等价于F(m)mxx230在m2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）F(2)02xx230F(2)02xx231x10例2：设函数f(x)1x32ax232xb(0a1,)3abR-22（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的xa1,a2,不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（）f(x)x24ax3a2x3axa令f(x)a0,得f(x)令f

14、(x)0,得f(x)3aa3a的单调递增区间为（a,3a）的单调递减区间为（，a）和（3a，+）当x=a时，f(x)极小值=33;当x=3a时，极大值=b.af(x)b4x24ax3a2（）由|f(x)|a，得：对任意的xa1,a2,aa恒成立则等价于g(x)这个二次函数gmax(x)ag(x)x24ax3a2的对称轴x2aQ0a1,gmin(x)aa1aa2a（放缩法）即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)x24ax3a2在a1,a2上是增函数.（9g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.于是，对任意xa1,a2，不等式

15、恒成立，等价于又0a1,4a1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特点：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；进而转变为第一、二种题型例3；已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，（）求a,b的值；（）当x1,4时，求f(x)的值域；（）当x1,4时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。/a3解：（）f/(x)3x22axf(1)3，解得b1ab2（）由（）知，又f(1)4,f(0)f(x)在0,f(2)1,0上单调递增，在4,f(4)160,2上单调递减，在2,4上单调递减

16、f(x)的值域是4,16（）令h(x)f(x)g(x)tx2(t1)x3x1,420，即t(x2思路1：要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)2x)2x6分别变量思路2：二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转变为f(x)0或f(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知aR，函数f(x)1x3a1x2(4a1)x122（）如果函数g(x)

17、f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；（）如果函数f(x)是(,)上的单调函数，求a的取值范围解：f(x)1x2(a1)x(4a1).411（）f(x)是偶函数，a1.此时f(x)x33x，f(x)x23，124令f(x)0，解得：x23.列表如下：(,23)23(23,23)23(23,+)+00+递增极大值递减极小值递增可知：f(x)的极大值为f(23)43，f(x)的极小值为f(23)43.（）函数f(x)是(,)上的单调函数，f(x)1x2(a1)x(4a1)0，在给定区间R上恒成立鉴识式法4则(a1)241(4a1)a22a0，解得：0a2.4综上，a的取值范围是a0a2.例

18、5、已知函数f(x)1x31(2a)x2(1a)x(a0).2I）求f(x)的单调区间；II）若f(x)在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I）f(x)x2(2a)x1a(x1)(x1a).1、当a0时,f(x)(x1)20恒成立,当且仅当x1时取“=”号，f(x)在(,)单调递增。2、当a0时,由f(x)0,得x11,x2a1,且x1x2,单调增区间：(,1),(a1,)单调增区间：(1,a1)（II）当Qf(x)在0,1上单调递增,则0,1是上述增区间的子集：-1a-11、a0时，f(x)在(,)单调递增符合题意2、0,1a1,，a10a1综上，a的取值范围是0，1。三、根的个数

19、问题提型一函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大体趋势“是先增后减再增”仍是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数f(x)1x3(k1)x2，g(x)1kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数323（1）求实数k的取值范围；k的取值范围（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数解：（1）由题意f(x)x2(k1)xf(x)在区间(2,)上为增函数，f(x)x2(k1

20、)x0在区间(2,)上恒成立（分别变量法）即k1x恒成立，又x2，k12，故k1k的取值范围为k1（2）设h(x)f(x)g(x)x3(k1)x2kx1，323令h(x)0得xk或x1由（1）知k1，当当k1时，h(x)(x1)20，h(x)在R上递增，显然不合题意k1时，h(x)，h(x)随x的变化情况如下表：极大值极小值k3k21623由于k10，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)0有三个不同的实根，故需2k132kk10，即(k1)(k22k2)0，解得k13k22k26230综上，所求k的取值范围为k13根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数f(x)a

21、x31x22xc2（1）若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；（2）若g(x)1bx2xd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒有含2x1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明原因。3ax2解：（1）f(x)的图像过原点，则f(0)0c0f(x)x2，又x1是f(x)的极值点，则f(1)3a120a1f(x)3x2x2(3x2)(x1)0（2）设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x1的三个不同交点，等价于f(x)g(x)有含x1的三个根，即：f(1)g(1)d1(b1)2-11x22x1bx2x1

22、(b1)整理得：x3222即：x31(b1)x2x1(b1)0恒有含x1的三个不等实根22（计算难点来了：）h(x)x31(b1)x2x1(b1)0有含x1的根，22则h(x)必可分解为(x1)(二次式)0，故用添项配凑法因式分解，十字相乘法分解：x2(x1)1(b1)x(b1)x10 x31(b1(b21)x2x1)0恒有含x1的三个不等实根22等价于x21(b1)x1(b1)0有两个不等于-1的不等实根。22题型二：切线的条数问题=以切点x0为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值4，使其导数f(x)0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)

23、2P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围的解析式；（）若过点（1）由题意得：f(x)3ax22bxc3a(x1)(x3),(a0)在(,1)上f(x)0；在(1,3)上f(x)0；在(3,)上f(x)0因此f(x)在x01处取得极小值4abc4，f(1)3a2bc0，f(3)27a6bc0a1由联立得：b6，f(x)x36x29xc9（2）设切点Q(t,f(t)，yf(t)f,(t)(xt)y(3t212t9)(xt)(t36t29t)(3t212t9)xt(3t212t9)t(t26t9)(3t212t9)xt(2t26t)过(1,m)g(t)2t32t212t9m0令

24、g(t)6t26t126(t2t2)0，求得：t1,t2，方程g(t)0有三个根。需：g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m11故：11m16；因此所求实数m的范围为：(11,16)题型三：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根散布或鉴识式法例8、解：函数的定义域为R（）当m4时，f(x)173x3x210 x，2f(x)x27x10，令f(x)0，解得x5,或x2.令f(x)0，解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和（5，），单调递减区间为2,5（）f(x)x2(m3)xm6,要使函数yf(x)在（1，）有两个极值点,f(x)

25、x2(m3)xm6=0的根在（1，）根散布问题：(m3)24(m6)0;则f(1)1(m3)m60;，解得m31m31.2ax31x2例9、已知函数f(x)，(aR,a0)（1）求f(x)的单调区间；32（2）令g(x)1x4f（x）（xR）有且仅有3个极值点，求a的取值范围4解：（1）f(x)ax2xx(ax1)当a0时，令f(x)0解得x1或x0，令f(x)0解得1x0，aa所以f(x)的递增区间为(,1)(0,)，递减区间为(1,0).aa当时，同理可得的递增区间为1)，递减区间为1a0f(x)，(,0)(,).(0a1x4ax31x2有且仅有a（2）g(x)3个极值点432g(x)x3

26、ax2xx(x2ax1)=0有3个根，则x0或x2ax10，a2方程x2ax10有两个非零实根，所以a240,a2或a2而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有3个极值点其余例题：（一）最值问题与主元更改法的例子.已知定义在R上的函数32a02,1f(x)ax2axb上的最大值是5，最小值是11.（）在区间（）求函数f(x)的解析式；（）若t1,1时，f(x）tx0恒成立，求实数x的取值范围.解：（）Qf(x)ax32ax2b,f(x)3ax24axax(3x4)令f(x)=0,得x10,x242,1因为a0，所以可得下表：30+0-极大因此f(0)必为最大值,f（0）5因此b5，Qf(2)

27、16a5,f(1)a5,f(1)f(2)，即f(2)16a511，a1，f(x）x32x25.（）f(x)3x24x，f(x）tx0等价于3x24xtx0，令g(t)xt3x24x，则问题就是g(t)0在t1,1上恒建马上，求实数x的取值范围，为此只需g(1)0，即3x25x0，g（0 x2x01)解得0 x1，所以所求实数x的取值范围是0，1.（二）根散布与线性规划例子例：已知函数f(x)2x3ax2bxc3()若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行,求f(x)的解析式；()当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时,设点M(b

28、2,a1)所在平面地域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：().由f(x)2x22axb,函数f(x)在x1时有极值,2ab20f(0)1c1又f(x)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行,f(0)b3故a12f(x)2x31x23x1.7分32()解法一:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,f(0)0b0 xb2f(1)0即2ab20令M(x,y),则ya1f(2)04ab80ay1x202yx20故点M所在平面地域S为如图ABC,x2b4yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1

29、),E(0,3SABC2),2同时DE为ABC的中位线,SDEC1S四边形ABED3所求一条直线L的方程为:x0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为ykx,它与AC,BC分别交于F、G,则k0,S四边形DEGF1由由ykx得点F的横坐标为:22yx2xF102kykx64yx6得点G的横坐标为:xG104kS四边形DEGFSOGESOFD13611121即16k22k50224k22k1解得:k1或k5(舍去)故这时直线方程为:y128x2综上,所求直线方程为:x0或1yx.12分.2()解法二:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,f(0)0b0 xb2f(1)0即2ab20令M(x,y),则ya1f(2)04ab80ay1x202yx20故点M所在平面地域S为如图ABC,x2b4yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,3),SABC22同时DE为ABC的中位线,SDEC1L的方程为:x0S四边形ABED所求一条直线3另一种情况由于直线BO方程为:y1x,设直线BO与AC交于H,2y1x得直线L与AC交点为:H(1,1)由22yx202SABC2,SDEC1121,SABHSABOSAOH1