高中数学必修二 9. 用样本估计总体（精讲）(含答案)

1、9.2 用样本估计总体(精讲)思维导图常见考法考点一 频率分布直方图【例1-1】(2021全国高一课时练习)有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：，4；，5；，10；，11；，9；，8；，3(1)求出样本中各组的频率；(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】(1)解：由所给的数据，可得下表：分组频数频率40.0850.10100.20110.2290.1880.1630.06(2)解：频率分布直方图如图所示，频率折线图如图所示【例1-2】(2021吉林长春十一高)某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份

2、试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图(如图所示)，其中成绩在的学生人数为6.(1)求直方图中的值；(2)求的值；(3)试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由频率分布直方图的性质得：，解得.(2)成绩在的学生人数为6，由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，.(3)根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率：.【一隅三反】1(2021全国高一单元测试)某制造商生产一批直径为40的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：，保留两位小数)如下：40.03 40.00 39.98 40.00 39

3、.99 40.00 39.9840.01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.0140.02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02为合格品.若这批乒乓球的总数为10000，试根据抽样调查结果估计这批产品的合格个数.【答案】(1)频率分布表见解析，频率分布直方图见解析；(2)8500.【解析】(1)频率分布表如下：分组频数频率20.1040.20100.5040.20合计201.00频率分布直方图如图.(2)抽样的20个产品中直径(单位：)

4、在范围内的有17个，合格品频率为.故根据抽样调查结果，可以估计这批产品的合格个数为8500.2(2021四川省南充市李渡中学 )对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加“社区志愿者”活动的次数据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：分组频数频率50.251210.05合计1(1)求出表中，及图中的值；(2)若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在内的人数.【答案】(1)；(2)人.【解析】解：(1)根据频率分布表，得；，样本容量为；，对应的频率为，；(2)参加“社区志愿者”活动的次数在，内的频率为0.6，估计

5、参加“社区志愿者”活动的次数在，内的人数为(人).3(2021陕西富平高一期末)为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间(1)求x值；(2)若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数【答案】(1)0.019；(2)2700【解析】(1)由题意，解得；(2)由频率分布直方图求出每分钟跳绳不超过120次的频率为，需要增加平时体育锻炼时间的人数为考点二 常见统计图表【例2-1】(2021黑龙江齐齐哈尔)某商

6、场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示下列说法正确的是( )A总体中对平台一满意的消费人数约为B样本中对平台二满意的消费人数为C样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为D若样本中对平台三满意的消费人数为，则【答案】C【解析】对于A：总体中对平台一满意的人数为，故选项错误；对于B：样本中对平台二满意的人数约为，故选项错误；对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项正确；对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项错误故选：.【例2-2】(2021湖南永州 )“

7、直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则( )A该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍B该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的C该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的D该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和【答案】B【解析】对于选项A，因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的倍，故A错误；对于选项B，设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为，

8、第二季度的化妆品收入为，第三季度的化妆品收入为，所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故B正确；对于选项C，第一季度的化妆品收入为，所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故C错误；对于选项D，第一、二季度服装收入和为，第三季度服装收入为，故D错误.故选：B【一隅三反】1(2021内蒙古赤峰 )汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB甲车以km/h的速度行驶1h消耗8L汽油C以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D若机动车最高限速km/h，在

9、相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比较【答案】B【解析】由题可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错误；甲车以km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L,则行驶1h消耗8L汽油，B正确；以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C错误；在机动车最高限速km/h在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D错误.故选：B2(2021全国高一课时练习)(多选)如图所示的两个扇形统计图分别统计了某地2010年和2020年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2020年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2010年当地小学生参

10、加课外兴趣班的总人数的4倍，则下列说法正确的是( )A2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是2010年参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍B这10年间，参加编程兴趣班的小学生人数变化最大C2020年参加美术兴趣班的小学生人数少于2010年参加美术兴趣班的小学生人数D相对于2010年，2020年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均【答案】ABD【解析】设2010年参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2020年参加课外兴趣班的小学生总人数是；由统计图可知，2010年参加音乐兴趣班的小学生人数是，2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是，故A正确.这10年间参加编程兴趣班的小学生人数变化量为，这10年间参加

11、语言表演的小学生人数变化量为，这10年间参加音乐的小学生人数变化量为，这10年间参加美术的小学生人数变化量为，所以这10年间参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大，故B正确.2020年参加美术兴趣班的小学生人数为，2010年参加美术兴趣班的小学生人数为，故C不正确，根据扇形统计图中的比例分布，可知D正确故选：ABD3(2021全国高一课时练习)现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图

12、，如图解答下列问题：(1)图中D所在扇形的圆心角度数为_；(2)若2019年全市共有30000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生有_名【答案】54 16000 【解析】(1)根据题意得(2)因为，所以估计视力在4.9以下的学生有16000名故答案为：54；16000.考点三 百位分数【例3】(2021广东仲元中学高一期末)已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是( )A8B7C8.5D7.5【答案】D【解析】因为从小到大排列为4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10个数据，所以这组数据的第40百分位数是第4项

13、与第5项数据的平均数，即，故选：D.【一隅三反】1(2021安徽省涡阳第一中学 )高二年级一名学生一年以来7次考试数学成绩(满分150分)依次为100，120，117，98，135，124，89.则这名学生7次月考数学成绩的第70百分位数为( )A100B117C120D122【答案】C【解析】将成绩按从小到大的顺序排列，又因，所以这名学生7次月考数学成绩的第70百分位数为第5个数据，即.故选：C.2(2021云南 )通过抽样调查得到某栋居民楼24户居民的月均用水量数量(单位：)，将其按从小到大排序如下：2.1 3.2 3.2 4.3 4.3 5.5 6.7 8.9 9.4 9.5 9.5 9

14、.910.1 10.5 11.1 11.2 12.5 14.8 15.2 15.3 18.4 19.0 20.8 22.4则估计这24户居民的月均用水量的第25百分位数为( )A4.3B5.5C6.1D6.7【答案】C【解析】，因为第6个和第7个数据分别为5.5和6.7，所以估计这24户居民的月均用水量的第25百分位数为.故选：C3(2021黑龙江大庆实验中学高 )某公园对“十一”黄金周天假期的游客人数进行了统计，如下表：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日旅游人数(万)则该公园“十一”黄金周天假期游客人数的平均数和第百分位数分别是( )A万万B万万C万万

15、D万万【答案】D【解析】游客人数的平均数为，将数据由小到大排列0.6，1.4，1.5，2.2，2.2，2.3，3.8，这组数据的第75百分位数是2.3，故选：考点四 特征数【例4-1】(2021云南玉溪市江川区第二中学)某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速()分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图下列结论错误的是( )A这辆小型车辆车速的众数的估计值为B这辆小型车辆车速的中位数的估计值为C这辆小型车辆车速的平均数的估计值为D在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为【答案】C【解析】对于A：由图可知，众数

16、的估计值为最高矩形的中点对应的值，故A正确对于B：，所对应的矩形的面积分别为，其和为，而对应的矩形面积为，因此中位数的估计值为，故B正确对于C：平均数的估计值为，故C错误对于D：估计车速超过的概率为，故D正确故选：C【例4-2】(2021黑龙江大庆中学 )如果数据，的平均数为，方差为，则，的平均数和方差分别为( )A，B，C，D，【答案】C【解析】，的平均数为，的平均数是：.，的方差为，的方差是：，.故选 ：C.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10

17、天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，众数为0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为1，中位数为1【答案】D【解析】对A：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，4，4，4，4，6，8，A不正确；对B：平均数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，B不正确；对C：中位数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，2，2，3，3，3，8，C不正确；对D：假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x，x8，而总体平均数为1，则过去10天新增疑

18、似病例数据中至少有7个0，故中位数不可能为1，所以假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确；故选：D.2(2021云南师大附中 )袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数(单位：颗)得到如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，则下列说法错误的是( )Aa=0.01B这100株水稻的稻穗数平均值在区间280，300)中C这100株水稻的稻穗数的

19、众数是250D这100株水稻的稻穗数的中位数在区间240，260)中【答案】B【解析】根据频率分布直方图知：组距为20，所以，故A选项正确；这100株水稻的稻穗数平均值，可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间中，故B选项错误；由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株水稻的稻穗数的众数是250，故C选项正确；前两个矩形的面积是，前三个矩形的面积是，所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间中，故选项D正确，故选：B.3(2021湖北省直辖县级单位)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之

20、一，则可能的对应关系是( )A为中位数，为平均数，为平均数，为中位数B为平均数，为中位数，为平均数，为中位数C为中位数，为平均数，为中位数，为平均数D为平均数，为中位数，为中位数，为平均数【答案】A【解析】解：在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，结合两个频率分布直方图得：为中位数，为平均数，为平均数，为中位数故选：A4(2021辽宁丹东)高三(1)班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球(毽子)比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已

21、知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为( )A，B，C，D，【答案】D【解析】设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，设男同学为，女同学为，则，所以男同学的方差，女同学的方差；由可得，即，由可得，即，所以全班同学的方差为即故选：D5(2021广西浦北中学 )若个样本、的平均数是，方差为，则对于样本、的平均数与方差分别是( )A、B、C、D、【答案】D【解析】设、的平均数为，方差为，则，由题意可得，则，所以， 样本、的平均数为，方差为.故选：D.考点五 综合运用【例5】(2021全国高一专题练习)

22、某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩(满分200分)，按成绩分组，得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第1组160，165)50.05第2组165，170)0.35第3组170，175)30第4组175，180)200.20第5组180，185100.10合计1001.00(1)请先求出频率分布表中处应填写的数据，并完成如图所示的频率直方图；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试【答案】(1)处应填35，处应填0.30；直方图见解析；

23、(2)3，2，1.【解析】(1)由题意可知，第2组的频数为0.3510035，第3组的频率为，故处应填35，处应填0.30.频率直方图如图(2)因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为，故第3组应抽取名学生，第4组应抽取名学生，第5组应抽取名学生，所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.【一隅三反】1(2021广西河池高一月考)下图是某班高三摸底考试数学成绩不低于90分的人数的频率分布直方图，为激励学生的学习热情，学校决定对数学成绩高于110分的同学进行奖励(1)若图中成绩在分数段的人数为10人，求此次考试应奖励的人数;(2)用统计学知识估计数学成绩在90分及以上的学生成绩的中位数和平均数(结果保留整数)【答案】(1)26(2)113；113【解析】(1)由频率分布直方图可知成绩在分数段的频率为： ，所以可得成绩不低于90分的人数为人.由频率分布直方图可知成绩高于110分的频率为，所以此次考试应奖励的人数为人；(2)(2)设中位数为，则，解得，平均数为：2(2021广西玉林高一期中(文)某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照，分组，得到如下频率分布直方图：(1)求图中的值；(2)求全体应聘者笔试成