大一上数学系解几2009试卷答案

1、华南理工大学期末几何试卷 B与评分标准一. 解: 3(1)2(2)Aa + Bb +Cc 0 ,Aa + Bb +Cc = 0 且 Aa + Bb +Cc + D 01 1(3) ( ,0) .2 2y 2 z 2(4) x 2 0 .4(5) 2x y 5 0 , 2x y 2 0欲求直线的方向矢量为：1,1,1 1,1,0 1,1,2，(6)x 3 yz 5112所以，直线方程为：.(7) 1:1, (1):1; x+y=0, xy+40. 4 3 55 x 1 x (8) y3y 14 5 5 x 2y 22z1上，经过点 M (0 , 2 , 0) 的两条直母线方程.二 . 求单叶双曲

2、面 ：解： 上两族直母线：9416 ( x z ) y )( x z ) (1 y )(1 1212342342xzyxzy2 () 1 (1 ) 2 () 1 (1 ) 族： 族： 1 034234（6 分）22 0 ，M (0 , 2 , 0) 分别代入，将分别代入，所求直线方程： x z1 y2 0 0 34 xyz1 0 0 3244x 3z 04x 3z 0 y 2 0 y 2 0（12 分）即三. 设 L、M、N 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，证明：三中线矢量 AL , BM,CN 可 以一个三角形.111证明： Q AL 2 ( AB AC) ，BM (BA B

3、C) ，2CN (CA CB)（4 分）2 AL BM CN 1 ( AB AC BA BC CA CB) 02从而三中线矢量一个三角形。（8 分）四. 已知两条异面直线l1 和l2 , 试证连接l1 上任一点与l2 上任一点的线段的中点轨迹是公垂线段的垂直平面.证明：取l1 为 z 轴, l1 与l2 的公垂线为 x 轴, x 轴的正半轴与l2 相交于点 P(d , 0, 0) . 公垂线d段OP 的垂直平分面经过点(, 0, 0) 且与公垂线垂直, 因此(1, 0, 0) 为其法向量, 并且公垂2线段的垂直平分面的方程为 x d 0 . 设 l 的方向向量 v ( X ,Y , Z ) ,

4、 它满足1 X 222x dyz0 Y 0 Z 0 , 故 X 0 , 于是l 的方程为.20YZl2 上任一点 M 2 的坐标为(d ,Yt, Zt) . 又l1 上任一点 M1 的坐标为(0, 0, z) , 因此 M1M 2 的中点坐标为( d , Yt , Zt z ) . 由于t, z 可取任意实数, 所以中点轨迹方程为 x d 。222五、按参数 的值下述曲线的类型x 2 2xy y 2 2x 2 y 5 0 .解：先求旋转面的方程式：2任取母线上一点 M1 (x1, y1, z1 ) ，过 M1 的纬圆为：z z1(1)(2)x y z x y z222222111xy z又 1

5、11（3）01从（1）（3）消去 x1, y1, z1 ，得到：x2 y2 2 z2 2 0（8 分）此即为所求旋转面的方程。当 0, 0 时，旋转面为圆柱面（以 z 轴为轴）；（9 分）当 0, 0 时，旋转面为圆锥面（以 z 轴为轴，顶点在原点）；（10 分）当 , 0 时，旋转面变为 z 轴；（11 分）当 0, 0 时，旋转面为单叶旋转双曲面。（12 分）六、在直角坐标系中，将方程 x 2 2xy y 2示什么曲线. 4x 4 y 8 0 化成，说明原方程表cot 2 a11 a22 02a12 解：由4得a11 a11 a12 tan 0于是a22 a13 a23原方程化为： a22

6、 a12 tan 2 a13 cos a23 sin 2 2 a13 sin a23 cos 0y2 2 2x 4 0（7 分）y2 2 2 (x 2 ) 0配方x x 2 y yy 2 2 2x .作平移变换原方程化为所以原方程表示抛物线.（12 分）z 1x 1 y 1 z 1x七. 证明两直线l1 ： 1的公垂线.y与l2 ：为异面直线，并求l1 与l2 10110证明： l1 上一点 P1 (0 , 0 , 1) ， l1 的方向： S1 1 , 1 , 0 ，l2 上一点l2 的方向：P2 (1 , 1 , 1) ，S 2 1 , 1 , 0（4 分）11 11200rr, S1 , S2 ) 11 4 0( P1 P2由于，所以 l1 与 l2 为异面直线.公垂线的方向：（5 分）S S1 S 2 0 , 0 , 2z 1xy1 1 00200过 P1 点与 S1 ， S 2