数值计算课堂提问(含参考答案)

1、111课堂提问及参考答案第1章误差与误差分析1、在数值计算方法中，误差是如何分类的？答:误差按照来源可以分为4类:模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。其中，在本门课程中，前两种误差可称为固有误差，无法避免和改变；后两种误差可称为计算误差，是本门课程分析和研究的重点。另外，按照误差产生的过程，也分为过失误差和传播误差。2、求解方程xT-56x+1=0的根。（已知根号783约为27.982。）答：根据二项式的求根公式可得2ax=如冬土=56土562一4=28土.783即x二28+.783沁28+27.982二55.982为避免相近数相减，从而丧失大量的有效数字，另一个根的计算可写成如下形式：“

2、2-2i78328+丽3Q28+27.98255.982QmiS63第2章非线性方程的数值解法1、证明1-x-sin(x)=0在区间0,1内有一个根，若使用二分法求误差不大于0.5*10A(-4)的根要二分多少次?若取申(x)=1-sin(x)，能否用不动点迭代法求根？答：令f(x)=1-x-sin(x),显见f(x)为连续函数。f(x)=_1_cos(x),当x在区间0,1时，Ovcos(1)v=cos(x)v=1,则f(x)vO,表明其单调递减。同时f(0)=10,f(1)=-sin(1)0，即f(O)*f0,可得区间0,1内有且只有一个实根。根据题意:a=0,b=1,=0.5*10A(-

3、4)由公式(2.4):kln(b-a)-ln2*可得ln2kln1-ln1-4=沁13.3，取k=14，即需要二分14次。ln2ln2取迭代公式申(x)二1-sin(x)，则申(0)二1-sin(0)二1,申(1)二1-sin(1)1，即当x在区间(0,1时，申(x)u0,1，”(x)=|cosx|1，顾方程组是病态的。x|a|(0.5+3x105-3x105)A_i=(-105105丿所以cond(A)u6x105x8u4.8x1061，故方程组是病态的。方法(2)、cond(A)2:九(AtA)max九(AtA)min(824)ATA=12472.0001丿，cond(A)24、解线性方程

4、组的列主元消去法中选择主元的目的是（A）控制舍入误差C.防止计算时溢出减小方法误差D.简化计算5、线性方程组的数值直接法中，追赶法用于求解对角占优的三对角线性方程组；平方根法用于求解对称正定矩阵的线性方程组。6、已知x=l,2,.,n,a=2,3,.,n+l,y=ax，则使用matlab语句实现求yiii=1值的语句是y=a*x或者y=x*a。（不得使用循环语句）7、用杜利特尔分解法，笔算求解线性方程组2ll32答：对系数矩阵包括常数项进行杜利特尔分解（先横后竖，先上后下）ALALALU211U132U12-3ALALALU221111U132U12-3ALALALU221111U1=1/2=

5、0.532U1=1/2=0.52-3ALALALU221111U10.53=3-0.5*1=2.52=205*1=1.5U10.52-3ALALALU221111U10.53=305*1=2.52=205*1=1.5U10.52=(2-0.5*1)/2.5=0.6-3=-3-0.5*1-0.6*1.5=-4.4所以L二0.510,U二02.51.510012110.50.61L00-4.41001y121令Ly=b,即0.5101yo二3L0.50.612y311解出y=2,2,8.8h.则有11x11211.5x2二2-4.4x38.82102.500解出x=l,2,-28、判断：高斯赛德尔

6、迭代法在雅克比迭代法的基础上进行了某种程度的加速，故若雅克比迭代收敛，则高斯赛德尔迭代也必然收敛。答：前一句正确，后一句错误，总体错误。因为这种加速不能确定其加速的正确性，通俗的说，加速有可能过量。迭代的收敛性判定必须分析迭代矩阵的谱半径是否小于1。对于某些特定的矩阵，可以直接使用已经过证明的结论。9、对下面的线性方程组进行调整,使得用Guass-Seidel迭代法求解时收敛，若其Jacobi迭代也收敛，哪种方法收敛速度快。（分析思路及matlab语句）并求出解向量x。-18-10-1答：根据Jacobi迭代和Guass-Seidel迭代求解严格对角占优矩阵时均收敛的论断，可将上述方程组改写为

7、以下形式：-1-1-180该方程的Guass-Seidel迭代矩阵为：G=(D+L)-1U使用matalb语句D=diag(diag(A);G=-inv(tril(A)*(triu(A)-D);pG=max(abs(eig(G)可得p(G)二0.0262该方程的Jacobi迭代形式为：B二ID-1A使用matalb语句D=diag(diag(A);B=eye(length(A)-inv(D)*A;pB=max(abs(eig(B)可得p(B)二0.162p(G)A=9-1-1;-180;-109;b=778;x,k=Gaussseidel3(A,b)x=1.00001.00001.0000k=

8、5所以解向量x=(1,1,1)T.若用Jacobi迭代，迭代次数为8，符合分析。第4章矩阵特征值与特征向量的数值解法1、已知方阵A的按模最大的特征值为10,则A的逆矩阵按模最小特征值是1。分析：反幂法的推导使用的矩阵和逆矩阵特征值关系的特点，教材p124。2、下面不属于Jacobi旋转法的特点的是(A)可求矩阵的所有特征值和特征向量；通过Givens变换对所求矩阵实施正交相似变换；变换矩阵相乘得到矩阵的各列为对应的特征向量；对于实对称矩阵，Jacobi旋转法必然收敛于对角矩阵分析：Jacobi旋转法针对的是实对称矩阵，构造一系列正交矩阵对矩阵A实施正交相似变换,必然可求得所有的特征值和特征向量

9、,即除对角线元素外,其他元素收敛于零。3、下面不属于QR分解法求特征值的特点的是(B)对任何方阵均可以进行QR分解；可以求出任何方阵的特征值；无法求出对应的特征向量；Q是正交矩阵，R是上三角矩阵分析：QR分解法要求方阵A的特征值满足非零、实数、无重根的条件，则QR分解法收敛于上三角矩阵，其中对角线元素为该方阵的所有特征值。第5章插值方法1、利用100、121和144的平方根，使用抛物线插值求根号115。x100121144y101112(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)L(x)=yi2+yo2+yo120(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)2(x-x)(x-x)

10、010210122021(x-121)(x-144)(x-100)(x-144)(x-100)(x-121)=10 x+11x+12x(100-121)(100-144)(121-100)(121-144)(144-100)(144-121)令x=115,代入上式，约为10.72。分析：拉格朗日插值基函数的写法是重点。2、判断：牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。对3、已知f(-l)=2,f(0)=4,f(1)=10,f(2)=26则二次Newton插值多项式中总的系数为?三次Newton插值多项式为？答：差商计算表如下xfx)一阶差商二阶差商三阶差商-1

11、2042110622261651N(x)=f(x)+fx,x(x一x)+fx,x,x(x一x)(x一x)=2+2(x+1)+2(x+1)(x一0)2001001201=2x2+4x+4所以二次Newton插值多项式中x2的系数为2；三次Newton插值多项式即是在二次Newton插值多项式基础上增加一项：N(x)=N(x)+fx,x,x,x(x一x)(x一x)(x一x)=2x2+4x+4+1(x+1)(x一0)(x一1)320123012=2x2+4x+4+x3一x=x3+2x2+3x+4分析：本题如果仅仅是求二次Newton插值多项式中x2的系数，可以通过列线性方程组的形式来求系数更加简便。

12、4、给定3个插值节点的Hermite插值多项式不超过（B）次A.2B.5C.7D.95、判断：插值方法中，给定插值节点，则无论用何种方法得到的插值多项式均是相同的。对6、判断：插值方法中，给定插值节点数目越多，则插值多项式方程越逼近原方程。错第5章曲线拟合的最小二乘法1、如何找到合适的数据拟合公式？答:两种方法:由专门知识和经验公式确定;根据数据点画图分析其形状和特点来确定数据拟合公式。2、以下不属于可线性化函数的是(D)A.指数函数B.幂函数C.y=l/(a+b*exp(x)D.抛物线函数分析：指数函数y=abx，可改写为lny=Ina+xInb，令二lny,a二lna,a二lnb,则Y二a

13、+ax，可线性化；0l0l幂函数y二axb，可改写为lny=lna+blnx，令二lny,a二lna,a二b,X二lnx,则Y二a+aX；可线性化0l0l3、对一物体称重，有测量值x1,x2,x3,.,xn,可以用平均值公式x=(x1+x2+.+xn)/n作为该物体的重量。用最小二乘法说明该公式成立的理由。答：该物体的重量，依经验应是不变的，即拟合公式为y=a。数据点如下表所示:i=1丿yi=1i丿淇中m=n;y=x+xHx,代入，则得i12ni=1x123nyx23.xn1则根据最小二乘法原理推导出的正则方程组为x+xHx12nn第7章数值积分1、牛顿-柯特斯求积公式的系数的规律有哪些？答：有3点,C1a）柯特斯系数之和为1,即Ck；k0b）柯特斯系数具有对称性，即CkCn_k