专题线性系统的频域分析法

1、专题线性系统的频域分析法第1页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日第一节系统频率特性的基本概念 频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，可避免繁琐复杂的运算。是一种工程上广泛采用的成熟实用的分析方法。频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。第2页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日一、基本概念1.频率特性的定义 系统结构图如图: G(S)R(s)C(s)r(t)t0c(t)AAG(j)r(t)=AsintG(j) 系统输入输出曲线 稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅

2、和相位不同。第3页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日定义频率特性为: (1)线性系统在正弦输入信号作用下，系统的输出稳态输出幅值与输入幅值之比称为系统的幅频特性。用A()表示 (2)稳态输出相位与输入相位之差称系统的相频特性，用()表示。 (3)幅频A()和相频()统称为频率特性，因此频率特性又称幅相频率特性。第4页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日 频率特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。 频率特性G(j)是的复变函数，有3种表示方式：指数表示式 极坐标表示式 直角坐标表示式 上式中：U（）称为实频特性；V（）称为虚频特

3、性。 它们之间的关系如图和下式所示。第5页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日2. 频率特性与传递函数之间的关系 频率特性是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此，频率特性和系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 三者的关系如图所示。第6页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日例 求图所示RC电路的频率特性，并求该 电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解: 传递函数为 G(s)=Ts+11T=RC频率特性 电路的稳态输出: +-ucur+-CiRur(t)=AsintT+11)=G(jj=1+(T)2-j11+(T)2TT)t-tg-1 A sin(

4、 cs(t)= 1+(T)2幅频特性和相频特性 )=|G(j)|A(=1+(T)21G(j)()=T =-tg-1 第7页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日0-80-60-40-200()12345TTTTTRC电路的频率特性曲线 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT 频率特性可表示为：)G(j)e j()=A(=P()+jQ()=tg-1 (Q(P()+Q2()=A(P2()第8页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日二、频率特性的性质(1) 频率特性也是一种数学模型。(2) 频率特性是一种稳态响应。(3) 系统的稳态输出量

5、与输入量具有相同的频率，且G(j)、A()、()都是频率的复变函数，都随频率的改变而改变，而与输入幅值无关。(4) 频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特性提出不同的要求。反之，由系统的频率特性也可确定系统的性能指标。(5) 实际的自动控制系统都具有升高，幅频特性A()衰减的特性，该特性称为低通滤波器的特性。(6) 频率特性一般适用于线性元件或系统的分析，也可推广应用到某些非线性系统的分析。 第9页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日三、频率特性的图形表示方法在控制工程中，频率分析法是一促图解分析法，是利用图解法进行分析和设计的，常用的频率特性图（曲线）有两种。

6、 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图）第10页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日0ReIm=0 1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线 将幅频特性和相频特性表示在复平面上，复平面上的模代表幅频值、幅角代表相频值，实轴正方向为相角零度线，逆时针旋转的角度为正，顺时针旋转的角度为负。在复平面上取0之间的特殊点如：0，1/T，分别计算这些点的幅频值和相频值。进行逐点描绘得到幅相频率特性曲线。 也称极坐标图第11页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-

7、202040-1800-901100.11100.12对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德图. 对数幅频特性十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为： dB L()=20lgA() lg-101dec 为方便只表示L()=20lgA()单位为 dB 斜率 对数相频特性) (第12页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日使用对数坐标图的优点：1.可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。2.可以将乘法运算转化为加法运算。第13页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日3.所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线

8、(渐近线)近似表示。4.对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。第14页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日5.2典型环节的频率特性 频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.第15页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日1比例环节（P）0KReIm (1) 奈氏图 G(s)=K=K)G(jK)= A(0o()= (2) 伯德图 对数幅频特性：=20lgKL()=20lgA()20lgK010.1dB L()对数

9、相频特性：0o)= (010.1) (第16页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日对数幅频特性： 相频特性： 伯德图 K1，K=1，K1第17页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日 2积分环节 (1) 奈氏图 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j1)= A(-90o()= (2) 伯德图 对数幅频特性： =-20lgL()=20lgA() 对数相频特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90o()=1L()=-20lg1=0dB=0.1L()=-20lg0.1=20dB) (dB L()020-20第18页，共53页，2022年，

10、5月20日，17点59分，星期日 3微分环节 (1) 奈氏图 G(s)=s)= A(90o()=j)=G(jReIm0=0 (2) 伯德图 对数幅频特性： L()=20lgA() =20lg 对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90o()=1L()=20lg1=0dB=0.1L()=20lg0.1=-20dB) (dB L()020-20090第19页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日 一阶微分环节G(s)=1+Ts(1) 奈氏图 1=0=1)= A(0o()=)= A(90o()=T)21+()= A(T tg-1 ()=T+1j)=G(jReIm0=

11、0第20页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日(2) 伯德图20dB/decT110TdB L()-20020) (对数幅频特性： T)21+()=20lg L(渐近线相频特性曲线：T tg-1 ()= 450 90=00o()=1=T45o()=90o()=低频段渐近线：高频段渐近线：（用渐近线近似）：第21页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日一阶微分环节的波德图第22页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日幅频和相频特性为： 二阶微分环节：低频渐近线：高频渐近线：相角：可见，相角的变化范围从0180度。转折频率为： ，高频段的斜率

12、+40dB/Dec。第23页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日二阶微分环节的波德图第24页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日4惯性环节G(s)=1Ts+11T+1j)=G(jT)211+()= A(T -tg-1 ()=(1) 奈氏图 根据幅频特性和相频特性求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点： =0)=1 A(0o()=-90o()=-0)= A(1=T)=0.707 A(-45o()=绘制奈氏图近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以证明： 惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。第25页，共53页

13、，2022年，5月20日，17点59分，星期日(2) 伯德图对数幅频特性： 转折频率-20dB/decT110TdB L()T)211+()=20lgL( 1T(T)21=0dB20lg1 L() (T)2120lg T1L()=-20lgT 1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两渐近线相交点的为转折频率=1/T。 渐近线渐近线渐近线产生的最 大误差值为：21L=20lg =-3.03dB 精确曲线为精确曲线相频特性曲线：T -tg-1 ()=0-45-90) (=00o()=1=T-90o()=-45o()=第26页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日图中，红

14、、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。第27页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日当 时，误差为：当 时，误差为：wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：最大误差发生在 处， 为第28页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日 5振荡环节 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n2

15、2nn n22)=G(j- 2+j2 )2(nn n22)=A(- 2)2+(2 (1) 奈氏图1=01)= A(0o()=ReIm0-90o()=21)= A(=n=0)= A(-180o()=0 =n 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。=0.4 幅相频率特性曲线因值的不同而异。=0.6=0.8n n22- 2 ()=-tg-1第29页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日(2) 伯德图 对数幅频特性： )2(nn n22- 2)2+(2 )=20lg L(nn=0dBL()20lg1dB L()n(2L()20lg) n=-40lgn-20020-40n10

16、 精确曲线与渐近线之间存在的误差与值有关，较小，幅值出现了峰值。d=0) dA(可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n谐振频率谐振峰值精确曲线=0.1=0.3=0.5相频特性曲线：0-90-180) (n n22- 2 ()=-tg-1=00o()=-90o()=n=-180o()=不同，相频特性曲线的形状有所不同：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第30页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日右图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。当0.40，称为正相角裕度；当系统不稳定时，1或20lgKg0，称为正幅值裕度；当系统不稳定时，Kg1或2

17、0lgKg0称为负幅值裕度，如图所示。在实际工程中，通常要求相角裕度在3060之间，幅值裕度Kg大于6dB。为了确定系统的相对稳定性，应同时给出相角裕度和幅值裕度，若仅用或Kg，有时不足以说明系统的稳定程度。第43页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日(a) 稳定系统 (b) 不稳定系统第44页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日 开环频率特性的低、中、高三个频段。分析开环频率特性与系统性能的关系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低频段高频段中频段0dB L()c12 三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。三、动态性能的频域

18、分析第45页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日1低频段低频段由积分环节和比例环节构成： G(s)=sK对数幅频特性为：0KKK=0=1=2-20KG(j )= )(jL( )=20lgA()K=20lg=20lgK-v20lg根据分析可得如图所示的结果： 可知： 曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。因此,低频段反映了系统的稳态性能。dB L()第46页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日 2. 中频段 穿越频率c附近的区段为中频段。它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 (1) 穿越频率c与动态性能的关系 可近似认

19、为整个曲线是一条斜率为 -20dB/dec的直线。设系统如图:-20dB/dec0+20-20开环传递 函数：G(s) sK闭环传递函数为： ts3T穿越频率c 反映了系统响应的快速性。s= css1+c(s)=c1s+11= c=3cdB L()c第47页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日(2) 中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图:-40dB/dec0+20-20开环传递 函数：G(s) s2K闭环传递 函数为： 处于临界稳定状态 中频段斜率为-40dB/dec ，系统处于临界稳定状态，若 -40dB/dec将不稳定。通常，取中频段斜率为-20dB/dec 。 可近

20、似认为整个曲线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。s2= 2c1+(s)=s22cs22cs2+ = c2c2dB L()c中频段的斜率反映了系统的平稳性第48页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日3 高频段 高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。一般指10c 的频段，其特性主要由系统中的小时间常环节组成，距c 较远，特性斜率大，对系统的动态性能影响不大。 第49页，共53页，2022年，5月20日，17点59分，星期日开环传递函数： dB L()020-20-20dB/decn2-40dB/dec0-90-180) (平稳性:%快速性: ts G(s)=2s(s+2)nn)=(jjn2G