小学课堂中的数学基本思想及案例分析（讲座汇报）

1、小学课堂中的数学基本思想及案例分析主讲：Z J主要内容什么是数学基本思想读出知识背后的数学思想课堂教学中落实数学基本思想的策略及课例分析一、什么是数学基本思想判断数学基本思想的原则（史宁中）1.数学产生和发展所必须依赖的那些思想。2.学习数学的人应当具有的基本思维特征。数学基本思想：抽象 推理 建模Z J一、什么是数学基本思想抽象：是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。最初的抽象都是直观的。人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理性结束。（康德）数学抽象数量与数量关系图形与图形关系现实数量抽象成数用09和数位自然数集自然数加法自

2、然数减法乘法除法数学内部大与小序多与少现实数量关系核心自然数逆运算简便运算四则运算数集扩张运算封闭性体三维面二维线、点一维经历两阶段第一阶段是基于现实抽象出基本概念（定义、术语、计算方法等），从感性具体到理性具体的思维过程；第二阶段是基于逻辑的抽象得到数学概念以及概念之间的关系（符号化、形式化、公理化等），从理性具体上升到理性一般的思维过程。点不分大小线没有粗细面不具厚薄（会观察）抽象意识：数感、量感、符号意识观察现实物体发现共同特征操作感知特征发展抽象意识一、什么是数学基本思想推理：按照人们的通常理解，主要有三种思维形式：形象思维、逻辑思维和辩证思维。数学主要依賴的是逻辑思维，具体体现就是逻

3、辑推理。人们通过逻辑推理，理解数学研究对象之间的因果关系，并且用抽象的术语和符号描述这种关系，形成数学的命题和运算结果，促进了数学内部的发展。数学推理归纳推理：由小到大，特殊到一般，不完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等。演绎推理：由大到小，一般到特殊，三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。义务教育数学课程标准（2022版）代数推理：1.a=b,b=c,则a=c; 2.a=b,则a+c=b+c.几何推理：两点之间线段最短.猜想推理意识运算能力几何直观34+40=7474+4=7830+40=704+4=870+8=78观察验证结论特殊一般任意性一、什么是数学基本思想模型：数学模型与人们

4、通常所说的数学应用是有所区别的：数学应用涉及的范围相当宽泛，可以泛指应用数学的方法解决实际问题的所有事情；数学模型更侧重用数学创造出来的概念、原理和方法，描述现实世界中的那些规律性的东西。通俗地说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。数学模型使数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁。 数学模型描述的是现实世界的故事，不仅研究的出发点不是数学本身，就连价值取向也不是数学本身，而是描述现实世界的作用。如：获得诺贝尔经济学奖的数学模型，人们更多的是关注模型是否能够很好的描述经济学中的某些规律，而非模型本身的数学价值。棵树=间隔数（+1或者-1）一、什么是数学基本

5、思想小结数学的三个显著特征：一般性、严谨性和应用的广泛性。三个显著特征的形成，依赖于数学的基本思想。抽象出来的东西必然要脱离具体的表象，因此数学是一般的，特别是经过了第二次抽象，数学的表达实现了符号化，走向了一般化的极致；（数字、符号、图形等）数学的推理是有逻辑的通过归纳推理预测结论、通过演绎推理验证结论，因此数学是严谨的，特别是近代数学的证明过程实现了公理体系下的形式化，使得数学的严谨走向极致；（性质、定律、定理等）模型思想的本质是站在现实的立场上，思考现实世界中规律性的问题、用数学的语言讲述现实世界的故事、用现实的效果评价模型的功效，这样的应用是与现实世界融合的，因此，数学的应用是广泛的。

6、Z J二、读出知识背后的数学基本思想数学思想关系图基本思想有限与无限变与不变03变换、代换数形结合逐步逼近05优化、随机统计抽象符号、分类集合、对应推理公理化、归纳类比、演绎、化归模型简化、量化方程、函数思想方法高位低阶高度概括具体可操作习惯策略方法二、读出知识背后的数学基本思想数学的真理，正如柏拉图所说，与知觉无关，这是一种非常奇特的真理，仅仅涉及符号。（罗素）罗素把数学的逻辑推到了极致，因此，不能也不应当用罗素的观点实施数学教育。虽然在现代数学中，结论的最终表述仅仅涉及符号和逻辑术语，平淡乏味，但在事实上，大多数数学结论的内涵是丰富多彩的，结论的形成过程是生机勃勃的。比如，在数量与数量关系

7、的研究中，最具创造力的数学工具微积分的产生与发展；在图形与图形关系的研究中，最具想象力的数学表达黎曼几何的产生与发展。因此，数学教育的过程中，不能过分沉迷于符号和逻辑术语，过分拘泥于数学的严谨性。完全基于符号化、形式化和公理化的数学教学，必然会掩盖数学命题的本质，淡化数学思维的活力，进而忘却了人的原本直觉。一个好的数学教师，不能让学生仅仅在形式上记住数学概念、在逻辑上理解数学道理、在技巧上会解数学习题。二、读出知识背后的数学基本思想案例：准备课 （一上）命名现实对应1自然数符号化2统一，价值尊重多样化3数学抽象1.从情境和直观图中抽象出数字符号09，关系符号“=”、“”、“b,bc,则ac.

8、ab,bc,则ac.学生用语言或者文字进行表达二、读出知识背后的数学基本思想案例：表内乘法（二）（二上）数学模型函数思想在一列乘法算式中，一个乘数不变，积随着另一个乘数的变化而变化，可表示为y=kx的形式，渗透函数思想。案例：表内除法（二）（二下）在一列除法算式中，除数不变，商随着被除数的变化而变化，可表示为y=x/k的形式，渗透函数思想。发现规律二、读出知识背后的数学基本思想案例：分数除法之问题解决（六上）数学模型方程思想教学时要让学生理解分数除法与乘法的互逆关系，有些逆向思考的分数除法问题可以用方程，转化为分数乘法问题来解决，让学生养成用方程解决问题的习惯，渗透方程思想。三、课堂教学中落实

9、数学基本思想的策略及案例分析思考什么样的数学教育才有利于真正理解、有利于独立思考、有利于获取真正的知识呢？这就是突出数学基本思想的数学教育，其理由至少体现在数学内部和数学外部两个方面。（史宁中）三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析体现在数学教育内部。数学教育不应当让教师和学生都沉迷于符号的世界：概念靠记忆、计算靠程式、证明靠形式。为了改变这种现状，一个好的数学教学，教师需要理解数学的本质，创设出合适的教学情境，让学生在情境中理解数学概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本原和数学表达的意义。虽然为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却

10、应当反其道而行之：虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的：虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的。案例：抽屉原理发现、归纳、提炼、总结的过程很重要，学生的表达、理解更为重要。能够在数学三种语言：文字语言、图形语言、符号语言（模型化：除法）之间来回转换是达到理解、思维提升的重要标志。三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析在数学教育的过程中，体现数学基本思想是极为重要的。情境的创设问题的提出思维的引导都应当源于数学的本质，这个本质就是数学基本思想。抓住本质就能找到解决问题的办法，突出解决问题的分析过程，最后

11、解决问题，渗透思维、形成解决问题的策略、办法。 有序思考、不重不漏问题串追问启发思考思维习惯巧妙设疑启发思考三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析体现在数学教育外部。基础教育阶段的数学教育必须重视这样一个基本事实，就是学生中的大多数，将来所从事的工作很可能不需要研究数学，因此，这些学生从事工作后，会把辛辛苦苦记住的那些数学概念、证明方法以及解题技能逐渐忘掉。这个现实，给基础教育阶段的数学教育提出了一个非常本质的问题：是否应当在知识和技能的基础上，还能让学生感悟一些东西、积累一些经验，让学生终生受益呢？对于数学教育，“过程教育”所说的”过程”，不是数学知识产生的过程，也不是数学家所描述的

12、数学思维过程，而是学生自已理解数学的思维过程。一个人会想问题，不是学习的结果，而是经验的积累，是学生在独立思考的过程中逐渐形成的思维习惯。十进制位值制计数单位关键课淡化形式结果加强直观突出关联理解算理三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析培养数学基本思想的核心在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯：会在错综复杂的事物中把握本质，进而抽象能力强；会在杂乱无章的事物中理清头绪，进而推理能力强；会在千头万绪的事物中发现规律，进而建模能力强。案例：三角形的特性（人教四下）高前测是个好东西，学生的困难一目了然！怎么理解？生活中的高（身高、树高等能否帮助理解）图形

13、中的高如何打通联系？能否迁移？怎么迁移？抽象的数学概念可否具体化？值得研究。三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析（一）课堂教学中落实数学基本思想的策略1.教学设计：备充分、见学生情境的创设要基于现实，不绕弯子，避免浮夸，体现数学本质；问题的提出要具有思维的空间，突出数学的本质；教师要进行合理干预和适时的引导，同学生一起思考，抓住数学的本质。Z J 案例：三位数乘两位数前期推理经验关键问题：三位数乘两位数与前面学过的计算有什么相同和不同点呢？相同：经验（推理基础）1.乘的经验：表内乘法2.记录的经验：计数单位与位值制算理生成新算法（可迁移）优化、创造数学思维培养本质一样推理意识形成三位

14、数乘两位数学生是否会自主类比计算是检验运算能力及推理意识等核心素养的重要指标。核心素养发展不同：新经验（新发展）1.乘数多一数位2.记录的经验：单位变学习单一（温故）4322= 3212= 学习单二（知新）43212= 关键问题：引导学生思考。已经学习了哪些笔算乘法？三位数乘两位数与它们有什么相同和不同的地方？你能不能自己试着计算？你遇到什么困难了吗？ 关键活动：自主关联 在学习了三位数乘一位数、两位数乘两位数的基础上，三位数乘两位数的教学可以放手引导学生与已学知识进行类比、比较差异，把新知识转化为旧知识。自己直接会计算、说清楚算理，具备了核心素养在教师的引导启发下，结合几何直观，理解了算理，

15、会计算新的题目，培养了核心素养。案例：三位数乘两位数 432 2 32 12 432 12思考：复习什么？思考：如何迁移？核心理解：表内乘法+计数单位三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析2.教学过程：真问题、真活动要让真观察、真发现、真归纳在课堂中真正发生；要重视学生参与，让真合作、真探究、真交流真正发生；要注重过程，让独立思考经常发生，帮助学生积累思维的经验。好的问题是能激发学生思考并能踊跃的表达自己想法的，常态课堂几个关键问题的恰当引领往往是最有价值和最有效的，改进和培养学生数学日常思维的最有效办法就是通过问题的引领与启发，让学生经常经历思维的过程，并能进行充分的表达。【教学片段

16、】师：（出示方格图上的松树）这幅松树图是轴对称图形吗？生：是师：你能画出它的对称轴吗？（学生指出，课件演示）师：你怎么知道它是一个轴对称图形的？生：对折能重合师：可是我们没有对折，你怎么知道它的左右两边能完全重合？1.认识对称点师：（出示方格图上的松树）这幅松树图是轴对称图形吗？生：是师：你能画出它的对称轴吗？（学生指出，课件演示）师：你怎么知道它是一个轴对称图形的？生：对折能重合师：沿着对称轴对折，两边能完全重合的图形，我们把他称为对称图形，这是我们以前学习过的知识。老师现在有一个问题，你能找到跟A点重合的点吗？在哪里，把他标出来？生：能。（可动画演示对折后重合的情形）师：你能发现他们之间的

17、关系吗？（请学生上台在图上指一指）第一种问法，学生思维只能停留于表面，用已经学过的对折重合来解释重合。改进后的第二种问法，思维空间增大，通过已经学过的对折重合，引导学生认真仔细观察，展开想象，去寻找与A点重合的点。突出“找”，找的过程中启发学生去思考，为什么会重合？寻找原因，直抵对称的本质，突出对称点的认识，也为后续进一步认识对称点、补全图形做好充分的铺垫。问题的一个小小改变，其实改变的更多的是老师的课前思考与充分准备。如何真正的基于学生经验，立足学生发展进行有效的教学。着力点是引导学生去真观察、真想象、真思考、真发现、真归纳，以促进学生空间观念的有效发展，学生的学习能力才能真正得到有效的发展

18、。案例：轴对称（二）（四下）（一）课堂教学中落实数学基本思想的策略三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析（二）案例分析倒数的认识（六上）(概念教学)数学概念是“双基”教学的核心内容，是基础知识的起点，是逻辑推理的依据，是正确、合理、迅速运算的保证。为了让学生更好地理解倒数的意义、掌握倒数的本质，围绕概念教学要解决的3个基本问题进行教学实践，逐步探索出概念教学的一般策略。（1）为什么要学习数学概念？它的作用是什么？（2）该概念的本质特征是什么？来龙去脉是什么？它与其他概念有什么联系？能否构建相应的知识结构图？（3）如何利用概念解决相关的问题，逐步形成解决问题的基本策略？充分感知建立表象抽

19、象概念形成概念。三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析（二）案例分析平行四边形的面积（五上）总评联系生活，架设知识间的桥梁，为渗透转化思想做铺垫。紧扣教材，沟通知识间的联系，初步渗透转化思想。重视过程，打通知识间的脉络，突出转化思想的培养。人教三下（面积）关键课关键支架关键问题关键活动关键能力推理基础：已有知识经验数学思想：推理思想方法：转换化归思维习惯：化未知为已知能力发展：创新意识 辩证思维 积累经验 促进发展引导：能用学过的方法加以解决吗？习惯经验：动手操作、尝试解决问题三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析（二）案例分析长方形、正方形的周长和面积的练习（三下）（教学实录）总评深入思考，把握数学知识本质，有效渗透数学思维，帮助学生积累探究经验。关注学生，体现以学为本理念，有效发展学习能力，帮助学生养成良好习惯。灵动课堂，学生快乐参与其中，有效激发学