高中数学求函数解析式精讲精练

1、求函数分析式常用的方法（一）待定系数法它适用于已知所求函数种类（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特色求其分析式的题目。其方法：已知所求函数种类，可早先设出所求函数的分析式，再根据题意列出方程组求出系数。已知f(x)是二次函数，若f(0)0,且f(x1)f(x)x1试求f(x)的表达式。分析：设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0,得c=0，由f(x1)f(x)x1得，a(x1)2b(x1)cax2bxcx1，整理得ax2(2ab)xabcax2(bc)xc1a122abb1得1abcc1b2c0c0f(x)121x2x2小结：我们只要明确所求函数分析式的种类，即可设出其

2、函数分析式，想法求出其系数即可获取结果。近似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a0)；f(x)为反比率函数时，k(k0)；f(x)为二次函数时，依据条件可设可设f(x)=x一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)极点式：f(x)=a(x-h)2+k(a0)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)设f(x)是一次函数，且ff(x)4x3，求f(x)解：设f(x)axb(a0)，则ff(x)af(x)ba(axb)ba2xabba24a2或a2f(x)2x1或f(x)2x3abb3b1b3第1页共15页（二）换元法用来办理不知道所求函数的种类，且函数的变量易于用另一

3、个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的分析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。已知f(x1)x2x1,求f(x)的分析式。分析：假如把x1视为t，那左侧就是一个关于t的函数f(t),只要在等式x1t中，用t表示x,将右侧化为t的表达式，问题即可解决。令Qx0 x1tt11)21)1t2小结：已知fg(x)是关于x的函数，f(t)(t2(tf(x)x2(x1)即fg(x)=F(x)，求f(x)的分析式，平季节g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入fg(x)=F(x)中，求得f(t)的分析式，再用x代替t，便得f(x)的分析式。(三)配凑法

4、已知复合函数fg(x)的表达式，要求f(x)的分析式时，若fg(x)表达式右侧易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。已知f(x1)x2x,求f(x)的分析式。分析：Qx2x可配凑成可用配凑法，解：由f(x1)x2x(x)21，令tx1，Qx0t1则f(t)t21，即f(x)x21(x1)，自然，上例也可直接使用换元法，令tx1，则tx1得x(t1)21)2t21，即f(x)x21(x1)，由此可知，求函数分析式时，f(t)(t2(t1)可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。第2页共15页已知f(x1)x21xx2,求f(x).分析：由f(x1x2

5、1(x121x2tx10，由0即t240得)x2)2，令txxxxtRf(t)t22即：f(x)x22(xR)实质上，配凑法和换元法相同，最后结果要注明定义域。已知f(x1)x21(x0)，求f(x)的分析式xx2解：f(x1)(x1)22，x12f(x)x22(x2)xxx(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。条件中，有若干复合函数与原函数f(x)混杂运算，则要充分利用变量代换，而后联立方程组消去其他部分。f(x)满足f(x)12f()xx11f()2f(x)xx消去f(1)，得f(x)1x2x33x1设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x),试求f(x)和g(x)的分析

6、式x1解f(x)f(x),g(x)g(x)，又f(x)g(x)1，用x代替x得：x111f(x)g(x)，即f(x)g(x)，解联立的方程组，得x1x1f(x)11，g(x)1x2x2x小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f(1)；互为相反数，如xf(x)、f(-x)，经过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的分析式。（五）赋值法其方法：将合适变量取特别值，使问题详尽化、简单化，依照构造特色，从而找出一般第3页共15页规律，求出分析式。例5：已知f(0)1,f(ab)f(a)b(2ab1),求f(x)。分析：令a0,则f(b)f(0)b(1b)b2b1bx则f

7、(x)x2x1小结：所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特别值代入，或使这个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特别值，依据题目特色而定。经过取某些特别值代入题设中等式，可使问题详尽化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的分析式。六、代入法：求已知函数关于某点也许某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数yx2x与ygx的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的分析式()解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点则xx，解得：xx4，点M(x,y)在yg(x)上，yx2x，22yyy6y23把xx4代入得

8、：y6y6y(x4)2(x4)，整理得yx27x6，g(x)x27x6七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，而后经过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数分析式。例8设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b都有f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)解f(a)f(b)f(ab)ab，a,bN，不如令ax,b1，得：第4页共15页f(x)f(1)f(x1)x，又f(1)1,故f(x1)f(x)x1分别令式中的x1,2Ln1得：f(2)f(1)2,f(3)f(2)3,，将上述各式相加得：f(n)f(1)23n，LLf(n)f(n1)n,f(n)

9、123nn(n1)f(x)1x21x,xN222五、待定系数法例5.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为（1，3），方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的分析式。解：由于f(x)2x0的解集为（1，3），设f(x)2xa(x1)(x3),且a0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a，由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0，由于方程有两个相等的实根，(24a)24a9a0，即5a24a10,解得a1或a1所以5，又a0,所以a1a1f(x)1x26x35，将5得555。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函

10、数分析式的方法。例6.已知函数yf(x)是R上的奇函数，当x时3x1,求f(x)的分析式。0,f(x)分析：由于f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x),即f(x)f(x)，当f(x)3x1,x0f(x)(3x1)3x3x1,x0 x0时,x0，f(x)1，所以七、反函数法第5页共15页利用反函数的定义求反函数的分析式的方法。例7.已知函数ylnx1(x0)，求它的反函数。ylnx1R由ylnx1,得lnxy1,解：由于x0，所以xey1反函数为yex1(xR)八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，依据这个定义求函数分析式的方法。例8.对定义域分别是Df、Dg的函数yf(x),yg(

11、x)，规定：函数f(x)g(x),当xDf且xDgh(x)f(x),当xDf且xDg,g(x),当xDf且xdgf(x)1,g(x)x2函数h(x)的若x1，写出分析式。解：h(x)x2,x(,1)(1,),x11,x1九、建模法9.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，而后把四边翻转90角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的容积为V(x)cm3,则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24320 x(0 x24)。求V(x)的导第6页共15页V(x)12x2552

12、x432012(x246x360)12(x10)(x36)数，得令V(x)0,得x110,x236(舍去)，当0 x10时,V(x)0，那么V(x)为增函数；当10 x24时,V(x)0，那么V(x)为减函数；所以，在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x10时获得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600(cm3)函数专题之分析式问题待定系数法例题：设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)且图象在y轴上的截距为1，在x轴截得的线段长为22，求f(x)的分析式。解法一、设f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(x2)得4ab0 x1x2a22b24ac8a2又

13、c1解得a1,b2,c12f(x)1x22x12解法二、由f(x2)f(x2)x2得yf(x)的对称轴为设f(x)a(x2)2kQf(0)14ak1Qx1x2222k22a1a,k121(xf(x)2)2121x22x12第7页共15页换元法例题：依据条件，分别求出函数f(x)的分析式(1)f(11)11xx2(2)f(x1)x21xx2三【配凑法（整体代换法）】若已知f(g(x)的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，（如g(x)不存在反函数）可把g(x)看作一个整体，把右侧变成由g(x)构成的式子，再换元求出f(x)的式子。换元法1凑配法1)1)2（1）解：令1t（2）解：f(x

14、(x21xxx1t1且t1用x代替式中的x则x1xf(t)(t1)21t22t又考虑到x2x即f(x)x22x(x1)f(x)x22(x2)【例题】已知f(x-1)=x2-4x，解方程f(x+1)=0解1：f(x-1)=(x1)2-2(x-1)-3，f(x)=x2-2x-3f(x+1)=(x1)2-2(x+1)-3=x2-4，x2-4=0，x=2解2：f(x-1)=x2-4x，f(x+1)=f（x+2)-1=(x2)2-4(x+2)=x2-4，x2-4=0，x=2解3：令x-1=t+1，则x=t+2，f(t+1)=(t2)2-4(t+2)=t2-4解函数方程组法例题：已知3f(x)2f(1)x

15、(x0)，代入法求f(x)x1f(x)xC1，例题：设函数的图象为1x3f(x)2f(x)解：由1x1C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，3f()2f(x)x求C2对应的函数g(x)的表达式。x解得f(x)3x2(x0)55x第8页共15页解：设yg(x)图象上任一点(x,y)，则关于A(2,1)对称点为(4x,2y)在yf(x)上，即2y4x14x即yx21x41故g(x)x2(x4)x4题5若f(xy)f(x)f(y)，且f(1)2f(2)f(3)f(4)f(2005)，求值f(2)f(3).f(1)f(2004)练习5设f(x)是定义在N上的函数，且f(1)f(x)12，f(x1)，

16、求f(x)的分析2式.六利用给定的特征求分析式.题6设f(x)是偶函数，当x0时，f(x)ex2ex，求当x0时，f(x)的表达式.练习6对xR，f(x)满足f(x)f(x1)，且当x1，0时，f(x)x22x求当x9，10时f(x)的表达式.七归纳递推法x1fff(x)，求f2004(x).题7设f(x)，记fn(x)x1八相关点法题8已知函数f(x)2x1，当点P(x，y)在y=f(x)的图象上运动时，点Q(y,x)在23y=g(x)的图象上，求函数g(x).九构造函数法k题9若f(x)表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，n时，f(k)，求f(x).k1训练例题（4）已知f(x1)x3

17、1，求f(x)；（5）已知f(21)lgx，求f(x)；xx3x解：（4）f(x1)x31(x1)33(x1)，xx3xxf(x)x33x（x2或x2）第9页共15页（5）令21），则x2221t（t，f(t)lg，f(x)lg(x1)xt1t1x1甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里小时的速度从甲地到乙地，写出汽车走开甲地的距离S(公里)表示成时间t(小时)的函数。解：汽车在甲乙两地匀速行驶，S100t，汽车行驶速度为100公里小时，两地距1500离为1500公里，从甲地到乙地所用时间为t小时答：所求函数为：S100tt1000，15(9)某乡镇此刻人均一年据有粮食3

18、60千克，假如该乡镇人口均匀每年增加1.2，粮食总产量均匀每年增加4%，那么x年后若人均一年据有y千克粮食.求出函数y关于x的分析式。解：设此刻某乡镇人口为A，则1年后此乡镇的人口数为A(11.2)，2年后的此乡镇人口数为A（11.2）2经过x年后此乡镇人口数为A(11.2)x。再设此刻某乡镇粮食产量为B，则1年后此乡镇的粮食产量为B(14),2年后的此乡镇粮食产量为B（14）2，经过x年后此乡镇粮食产量为B（14）x，因某乡镇此刻人均一年据有粮食为360kg，即B360，所以x年后的人均一年据有粮食AB(14%)x360(14%)x（xN*)为y，即y1.2%)x(11.2%)xA(110）

19、我国是水资源比较困穷的国家之一，各地采纳价风格控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费消耗费若每个月用水量不超出最低限量am3时，只付基本费8元和每个月每户的定额消耗费c元；若用水量超出am3时，除了付同上的基本费和定额消耗费外，超出部分每m3付b元的超额费。已知每户每个月的定额消耗费不超出5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费以下表所示：第10页共15页月份用水量(m3)水费（元）1992151932233依据上表中的数据，求a、b、c。解：设每个月用水量为xm3，支付花费为y元，则有y8c,0 xa(1)8b(xa)c,xa(2)由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153，3均大于最低限量a3，m22mm198b(15a)c，解之得b2，从而2ac19(3)于是就有338b(22a)c再考虑一月份的用水量能否超出最低限量am3，不如设9a，将x9代入（2）式，得982(9a)c，即2ac17，这与（3）矛盾。9a。从而可知一月份的付款方式应选（1）式，所以，就有8c9，得c1。（11）已知函数yf(x)是定义在R上的