全等三角形证明判定方法分类总结

1、全等三角形（一）SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形2全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，读作“全等于”如ABC与DEF全等，记作ABCDEF度数及CF的长例3如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：BAECADABDCDCDCAADDCCEBBAABD和CDBBABABDCCBDABCBADCADCE60,CABD35BAD885C图356080DABCEDEFACDBCEDEBBCFFB第A

2、EABEDCFADAEBCABC第5题AEDDCACFB第3题图D（2）符号“”的含义：“”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上4全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”【典型例题】例1如图，ABCADC，点B与点D是对应点，BAC26，A且B20，S1，求CAD,D,ACD的度数及ACD的ABC面积B例2如图，ABCDEF，A50,BC9cm,C

3、E5cm，求EDF的ADE例4如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：C（1）ABCDEFA（2）AEEAABABC中C90,DEABABCABDCDBABD和CDBDBADFBCE题B图F第6题图E,49题题图B40第EAB30,C45,则BACDDAC第ABE题图ACDBA第7AEB题图BAEBADABCDEFC90C与F互余C与F互补A与E互余B与D互余ACFDBEE30,ACF110,AD9cm,CD2.5cmDABC与ABDABCABDABCCDA则AD的长是（）A、7cmB、5cmC、8cmD、无法确定2如图，ABCDCE，A48,E62，点B、C、E在同一直线上，则ACD的

4、度数为（）A、48B、38C、110D、623如图，ABCDEF，AF=2cm,CF=5cm，则AD=【例3】如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE的度数.B4如图，ABEACD，A100,B25，求BDC的度数AEODEAFCAAAAEBDABABCFFEDBADCAEABCDEFBEABCDEBCEFACCDEF(SAS)CCCDB12BC5如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：ABDEBDEFEDDEFBBCA【例2】如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论给出证明.DEC【例4】如图，B，C，D在同一条

5、直线上，ABC，ADE是等边三角形，求证：CE=AC+DC；ECD=60.EAB【例5】如图，已知ABC、BDE均为等边三角形。求证：BDCD=AD。AEBCD【巩固练习】1在ABC和ABC中，若AB=AB，AC=AC，还要加一个角的条件，使ABCABC，那么你加的条件是（）AA=AB.B=BC.C=CD.A=B2下列各组条件中，能判断ABCDEF的是（）AAB=DE，BC=EF；CA=CD=CD；C=F；AC=EFACBEDCCA=CD；B=E=DE；BC=EF，两个三角形周长相等3阅读理解题：如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.那么AOD与BOC全等吗请说明理由.ABC与

6、BAD全等吗请说明理由.小明的解答：OA=OBOD=OCSAS12AODBOCDC5如图，AE是BAC的平分线，AB=AC（1）若D是AE上任意一点，则ABDACD，说明理由.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗请说明理由.BA1E2D而BAD=AOD+ADBABC=BOC+AOB所以ABCBAD1（1）你认为小明的解答有无错误；O2C6如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由（2）如有错误给出正确解答；ABABEDC4如图，点C是AB中点，CDBE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。全等三角形（二）作业1如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：BDF

7、CEF。ADEFBC2如图，ABC，BDF为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CEAD。DCF21EAB5.如图，已知ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，B求证：（1）BE=DC，（2）BEDC.ADAPQCFECBD3如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。求证：BF=FC。ADEOBFC4已知：如图1，ADBC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：DEBF。E6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜

8、想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。12、如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.9、已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE求证:BECF10、已知C为AB上

9、一点,ACN和BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN（2）求AFN大小。NFMABDEC11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FBEB，AF交CE于G，求AGC的度数.全等三角形（三）ASA【知识要点】ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等A如图，在ABC与DEF中ADBCABDEBEABCDEF(ASA)DEF【例4】已知如图，12,34，点P在AB上，可以得出PC=PD吗试证明之B12ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC和ABC全等的条件是（）DCP34A、AB

10、=AB，AA，CCAB、AB=AB，AC=AC，BC=BCC、AB=AB，AC=AC，BB【例5】如图，123，AC=AE，求证：DE=BCAB3D、AB=AB，AA，BB【例2】已知如图，AD,ABDE,AB/DE，求证：BC=EF【例3】如图，AB=AC，BC，求证：AD=AEADBECFADE124EODC【例6】如图，AD,12，AC，BD相交于O，求证：AB=CDOA=ODAOD9、已知：如图,AB=AC,AD=AE,求证：OBDOCE12BC【巩固练习】EAAAAAAB3DCDFA1DEE1AC如图A，ADGAF1AD2OEBDBCN10、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O为B

11、D中点,过O作直线分别与DA、BCBBADCBBE4CMOCBB2CECCDCDBEBBDFC1F2DADCDCF的延长线交于E、F求证：OE=OFDBAB（图）EODFOBAOECOFCE,12CEBAD,12,AFCDAEDADE,BAECADBD,BADCAEABCBAC,ADBCACDABDACBDBC,DCAABD,AC10cmABC证：EDNCDNEMN11、如图在ABC和DBC中,1=2,3=4,P是BC上任意一点求证：PA=PD.12、已知：如图,四边形ABCD中,ADBC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E,CE=CD求证：ADE=EDC13、已知：如图,OA=OE,OB=

12、OF,直线FA与BE交于C,AB和EF交于O,求证：1=22BF；全等三角形（四）强化训练1、如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若ADBECF，问DEF是等边三角形吗试证明你的结论；（2）若DEF是等边三角形，问ADBECF成立吗试证明你的结论4、已知：如图，ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BFAC；（2）求证：CE12、如图所示，已知1=2，EFAD于P，交BC延长线于M，求证：2M=（ACB-B）5、如图，点O是等边ABC内一点，AOB11

13、0o，BOC将BOC绕点C按顺时针方向旋转60o得ADC，连接OD（1）求证：COD是等边三角形；eqoac(,)（2）当150o时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形3、ABC中，A=90，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DEDF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。易证BCDACE所以DBC=EAC再证BCNACM(ASA)CM=CN过A作AFBC于F，过D作DGBC于G，则DG=AF=1/2B

14、C=1/2BD，在RtBDG中，DG=1/2BD=DBC=30=BDC=BCD=1/2(180-30)=75，即EDC=75DEC=DBC+BCA=30+45=75EDC=DEC=CD=CE8、RtABC，AB=AC,BM是中线，ADBM交BC于D，求证：AMB=CMD。9、如图，已知ABC是等边三角形，BDC120，说明AD=BD+CD的理由。10、已知：如图，点D在ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是ACB、AED的平分线，且B=30，D=40，求F的度数。11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M

15、。求证：CM=CN12、操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明ABCB13、如图等边ABC和等边CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60，PK交直线CD于K。（1）试探索AP、PK之间的数量关系；（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立为什么。15、如图,ABC是等腰直角三角形,C900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD2BM,点E在射线NA上,且NE2NA.求证:BDDE.14、（涉及相似三角形）若P

16、为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点.如图，在锐角ABC外侧作等边ACB连结BB。求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PAPBPC.第五章全等三角形拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例1：已知AE既是BAC的平分线，也是BDC的平分线，试说明AB=AC思路：AB在ABD中，AC在ACD中，要说明AB=AC，尝试说明ABD与ACD全等。1观察图形发现两个三角形存在公共边AD2题目所给条件可以得到两组角相等，3再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等4再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=ACBDAE，CEAE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证ABDACE。例2：在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，练习1.小明说：“