规避高中数学130个易错点

1、高中数学130个易错点目 录 HYPERLINK l _Toc31680 第一章 集合与常用逻辑用语易错点1忽视（漏）空集致错易错点2忽视最高项系数为0时。易错点3忽视集合元素的互异性易错点4判断充分性必要性位置颠倒易错点5分式不等式求补集不能直接改变不等号方向 HYPERLINK l _Toc24674 第二章 一元二次函数、方程和不等式易错点1忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”易错点2忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”易错点3解一元二次不等式忽视首项系数化正。易错点4解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。易错点5一元

2、二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法。易错点6最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数0。第三章 函数概念与性质易错点1忽视定义域表示的是谁的范围易错点2解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0易错点3忽视函数的定义域易错点4根据函数奇偶性求解析式时忽视“”的范围。易错点5函数奇偶性忽略定义域。易错点6忽视抽象函数的定义域。第四章 指数函数与对数函数易错点1分段函数单调性忽略分段点。易错点2求单调区间时忽略函数定义域。第五章 三角函数易错点1忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。易错点2在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。易错点3分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性

3、质）易错点4图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移。易错点5三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。易错点6忽视了化正才能求三角函数的单调区间。 HYPERLINK l _Toc31680 第六章 平面向量及其应用易错点1忽视易错点2混淆向量模相等与向量相等易错点3误把两向量平行当成两向量同向易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果易错点5向量求模忘记开根号易错点6忽视两个向量成为基底的条件易错点7记反了向量减法运算差向量的方向易错点8错误使用的等价条件易错点9忽视两向量夹角的取值范围易错点10混淆向量点乘运算和实数乘法运算易错点11误把向量的投影当非负数易错点12混淆向量的夹角

4、定义易错点13正弦定理边角互化时忽略易错点14忽视锐角中，角的取值范围易错点15在中忽视的解第七章 复数 易错点1忽视复数是纯虚数的充要条件易错点2错误的理解复数比大小易错点3错误的惯性思维理解复数的模易错点4误把复数当实数代入计算易错点5忽视了，习惯性的认为平方是正数易错点6复数三角形式的标准形式理解错误易错点7忽视复数在复平面的位置而求错.易错点8忽视复数在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.易错点9复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则第八章 立体几何初步 易错点1混淆斜二测画法中长度有变有不变 易错点2混淆直观图和原图 易错点3在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情

5、况 易错点4错误认为，无数等于所有易错点5证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书写不规范易错点6忽略异面直线所成角的范围第九章 统计 易错点1随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过易错点2忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错 易错点3样本数据变化时，混淆了方差，标准差的变化规律 易错点4误把频率分布直方图的高当频率 易错点5总体百分位数忽略了将数据从小到大排序 易错点6频率分布直方图中，平均数估计值中，高和面积混淆错误 易错点7频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替 易错点8在选拔选手问题时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好 第十章 概率 易错

6、点1误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念易错点2混淆了互斥事件与对立事件的区别易错点3忽视了概率加法公式适用的前提条件易错点4基本事件列举时出现重复或者遗漏易错点5混淆了有放回和无放回第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算易错点二：空间向量的数量积易错点三：用空间基底表示向量易错点四：空间向量的坐标运算易错点五：空间向量运算的坐标表示易错点六：空间位置关系的向量证明易错点七：异面直线夹角的向量求法易错点八：线面角的向量求法易错点九：面面角的向量求法第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定易错点二：直线的方程易错点三：两条直线的交点坐标易错点四：两点间的距离公式

7、易错点五：圆的方程易错点六：直线与圆的位置关系易错点七：圆与圆的位置关系易错点九：求椭圆的焦点第三章 圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程易错点二：求椭圆的焦点易错点三：求椭圆的长轴、短轴易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围易错点八：根据a,b,c求双曲线的标准方程易错点九：求双曲线的焦点坐标易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项易错点二：判断等差数列易错点三：等差数列通项公式的基本两计算易错点四：利用等差数列的性质

8、计算易错点五：等差数列前n项和的基本量计算易错点六：等比数列通项公式的基本量计算易错点七：求等比数列前n项和第五章 一元函数的导数及其应用 易错点一：平均变化率易错点二：瞬时变化率的概率及辨析易错点三：导数定义中极限的简单计算易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）易错点五：基本初等函数的导数公式易错点六：导数的运算易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性易错点八：求已知函数的极值易错点九：由导数求函数的最值第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误易错点3：重复计数与遗漏计数致误易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错易错点5：计数时重复或遗漏致错易错点

9、6：混淆项的系数与二项式系数易错点7：错用二项式系数的性质致误第七章随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)相同易错点2：概率计算公式理解不清而致误易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误易错点5：要准确理解随机变量取值的含义易错点6：审题不清致误易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错第八章成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误第一章 集合与常用逻辑用语典型易错题集易错点1忽视（漏

10、）空集致错【典型例题1】（2022全国高一课时练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点2忽视最高项系数为0时。【典型例题2】（2022安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知集合，若，则实数的取值构成的集合为_.易错点3忽视集合元素的互异性【典型例题3】（2022浙江高一月考）已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）ABCD易错点4判断充分性必要性位置颠倒【典型例题4】（2022安徽镜湖芜湖一中高三月考（理）使得不等式成立的一个充分不必要条件为（ ）ABCD易错点5分式不等式求补集不能直接改变不等号方向【典型例题5】（2022西城北京四中高三月考）已知集合，集合.若，求实数的取值范围.

11、【练一练】1（2022福建福州三中高一月考）已知集合，若，则实数的取值范围为_.2（2022上海复旦附中青浦分校高一月考）已知集合，若，则实数的取值范围_3（2022新蔡县第一高级中学高一月考）设，若，则实数的值构成的集合为_4（2022广东福田外国语高中高一月考）已知集合.若中只有一个元素，则a的值_.5（2022江苏淮安高一月考）已知集合是单元素集，则的值为_.6（2022全国高一课时练习）已知集合，则的值可能为（ ）A0BC1D27（2022福建三明一中高一月考）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（ ）A4B2C1D08（2022全国高一单元测试）若关于的方程的解集为单元素

12、集合，则（ ）ABC或D且9（2022山东省潍坊第四中学高一开学考试）若集合中有且仅有一个元素，则实数的值为（ ）ABCD10（2022广东佛山高一月考）已知，则的取值为_.11（2022重庆市第七中学校高三月考）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（ ）ABCD12（2022全国高三月考）设，则的一个必要不充分条件是（ ）AB且CD13（2022贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校高三月考（文）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）ABCD14（2022黑龙江佳木斯一中高三月考（理）设，则的一个必要不充分条件为（ ）ABCD15（2022沭阳县修远中学高一月考）设全集，集合，

13、.（1）求和；（2）若，求实数的取值范围.16（2022渝中重庆巴蜀中学高一月考）已知集合，（1）求；（2）求17（2022黑龙江大庆实验中学高一月考）已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围.第二章 一元二次函数、方程和不等式典型易错题集易错点1忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”【典型例题1】（2022全国高一专题练习）若，则（ ）A有最小值，且最小值为B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为D有最大值，且最大值为易错点2忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”【典型例题2】（2022海南昌茂花园学校高三月考）当时，不等式恒

14、成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点3解一元二次不等式忽视首项系数化正。【典型例题3】（2020云南曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）不等式的解集为（ ）A或B或CD易错点4解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。【典型例题4】（2022江苏高一专题练习）不等式的解是（ ）ABCD易错点5一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法。【典型例题5】（2022全国高一课时练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点6最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数0。【典型例题6】（2022全国高三专题练习）对，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A

15、BC或D或【练一练】1（2022全国高一专题练习）已知，则 的最大值是（ ）ABC2D72（2022全国高一专题练习）下列不等式一定成立的是（ ）ABCD若，则3（2022全国高一专题练习）下列命题中错误的是（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，4（2022全国高一专题练习）下列函数中最小值为2的函数是（ ）ABCD5（2022广东盐田深圳外国语学校高三月考）在下列函数中，最小值为2的是（ ）ABCD6（2022吉林高三开学考试（文）下列函数中最小值为4的是（ ）ABCD7（2022全国高三专题练习（理）已知，则在上的最小值为（ ）ABC1D08（2022湖南高一月考）若，则的最大值是（ ）A

16、BCD9（2022浙江南湖高一期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD10（2022吉林东北师大附中高一月考）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD11（2022宁夏六盘山高级中学高二月考（文）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD12（2022河南高一月考）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD或13（2022河南新蔡县第一高级中学高二月考（文）若不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD14（2020福建省厦门第六中学高一月考）不等式的解集是（ ）ABCD15（2022江苏省天一中学高二月考）不等式的

17、解集为（ ）A或B C或D16（2022全国高一课时练习）与不等式同解的不等式是（ ）ABCD17（2022全国高一课时练习）不等式的解集为（ ）ABC或D或18（2022江西上高二中高二月考）不等式的解集为（ ）ABCD19（2022全国高一单元测试）要使函数的值恒为负值，的取值范围为（ ）AB或C或D20（2022浙江高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD第三章 函数的概念与性质典型易错题集易错点1忽视定义域表示的是谁的范围【典型例题1】（2022黑龙江让胡路大庆中学高一月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD易错点2解不等式问题时忽略讨论最高项系

18、数是否为0【典型例题2】（2022黑龙江让胡路大庆中学高一月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD易错点3忽视函数的定义域【典型例题3】（2022全国高一单元测试）若，则的解析式为（ ）ABCD易错点4根据函数奇偶性求解析式时忽视“”的范围。【典型例题4】（2022全国高三专题练习）设为奇函数，且当时，则当时，= 易错点5函数奇偶性忽略定义域。【典型例题5】（2022全国高一课时练习）判断函数是否具有奇偶性:.易错点6忽视抽象函数的定义域。【典型例题6】（2022广东高一单元测试）已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（ ）ABCD【练一练】1.（2022沙坪坝

19、重庆一中高一月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )ABCD2（2022四川射洪中学高一月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABCD3（2022抚顺市第二中学高二期末）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）A或BCD或4（2022全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）ABCD5（2022黑龙江铁锋齐齐哈尔中学高一期中）若，则有（ ）ABCD6（2022山东牟平一中高一月考）已知函数，则函数的解析式是（）ABCD7.（2022天津市武清区杨村第一中学高二月考）设为偶函数，且当时，则当时，（ ）ABCD8（2012河北石家庄高一月考）已知是R上的奇

20、函数，且当时，求的解析式9（2020黔西南州同源中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）画出当时，函数图象；（2）求出解析式.10.（2020全国高一专题练习）判断函数的奇偶性：；11（2020海原县第一中学高一月考）求函数的奇偶性：；12（2020全国高一课时练习）判断函数的奇偶性，并证明13（2022新余市第一中学高二月考（文）设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD14（2022全国高一课时练习）奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD15（2022江苏高一专题练习）已知定义域为的奇函数，则的解集为（ ）ABCD16（2022江苏高一）

21、已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（ ）ABCD17（2022福建省永泰县第二中学高一期末）已知是定义在上的奇函数且单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD第四章 指数函数与对数函数典型易错题集易错点1分段函数单调性忽略分段点。【典型例题1】（2022河南信阳高三月考（文）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）ABCD易错点2求单调区间时忽略函数定义域。【典型例题2】（2022重庆北碚西南大学附中高一期末）函数的单调递增区间是（ ）ABCD【练一练】1.（2022庆阳第六中学高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）ABCD2（202

22、2云南省云天化中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（ ）ABCD3（2022巴楚县第一中学高三月考（文）函数的单调递增区间为（ ）ABCD4（2022海南昌茂花园学校高三月考）函数的单调递减区间为（ ）ABCD5（2022贵州贵阳一中高三月考（理）函数的单调递减区间为（ ）6（2022陕西渭滨高二期末（文）函数的单调递增区间是（ ）ABCD7（2022江西省乐平中学高一开学考试）函数的单调递减区间是（ ）ABCD8（2022陕西咸阳市高新一中高一期中）已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD9（2022湖北高三月考）已知函数，若函数在上为减函数，则实数的取值范围为

23、（ ）ABCD10（2022重庆西南大学附中高一月考）已知函数，对任意实数、都满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD11（2022四川射洪中学高一月考）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD12（2020广东东莞市东莞中学高一月考）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）ABCD第五章 三角函数典型易错题集易错点1忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。【典型例题1】（2022全国高一专题练习）将手表的分针拨快分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）ABCD易错点2在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。【典型例题2】（2022湖北襄阳高一期中）设是第三象限角，为其终边

24、上的一点，且，则（ ）A或BCD易错点3分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022安徽省五河第一中学高二月考）已知则的值为_易错点4图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个平移。【典型例题4】（2022全国高一单元测试）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位易错点5三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。【典型例题5】（2022辽宁抚顺县高级中学校高三月考）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）向左平移个单位B向左平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位易错点6忽视了化正才能求

25、三角函数的单调区间。【典型例题5】2022四川省新津中学高一开学考试）已知函数（）的最小正周期.求函数单调递增区间.【练一练】1（2022全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（ ）A180B-180C540D-5402（2022陕西咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）ABCD3（2022江苏宿迁高一期末）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）ABCD4（2022江苏泰州中学高一期末）已知点是角a的终边上的一点，则的值为（）ABCD5（2022北京八中高一期中）设角终边上一点，则的值为（ ）ABCD与有关6（2022上海市奉贤

26、中学高一期中）已知，将角的终边逆时针旋转，所得的角的终边交单位圆于，则的值为（ ）ABCD7（2022江西新余四中高一月考）若，则的值为（ ）8（2022江苏南京市金陵中学河西分校高一期中）已知，那么_.9（2022黑龙江哈尔滨三中高三期中）为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10（2022江苏高一课时练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度11（2022北京北理工附中高三月考）要得到函数y=cos2x的图象，只要将函数的

27、图象（ ）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位12（2022四川高三月考（理）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A的最小正周期为B的图象关于点对称C的图象关于直线对称D在上单调递增13（2022全国高一课时练习）已知函数，求：的单调递增区间；14（2022陕西省黄陵县中学高一期中（理）已知函数求：函数的单调递减区间，对称轴，对称中心；第六章 平面向量及其应用 典型易错题集易错点1忽视例题1（2021全国高一课时练习）给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确说法的个数是（）A0B1C2D3【常见错解】D解：因为，则向量互为相

28、反向量，所以，故正确；因为向量不能比较大小，故错误；若，则向量方向相同，故正确；若，由平行的传递性，则，故正确.所以正确说法的个数是3个.故选：D.【动手实战】1（2021上海）判断下列命题：两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；若，则与的方向相同或相反；若，且，则；若，则其中，正确的命题个数为（）A0B1C2D32（2020宁夏育才中学）有下列命题：若，则；若，则四边形是平行四边形；若，则；若，则.其中，假命题的个数是（）A1B2C3D4易错点2混淆向量模相等与向量相等例题1（2022江西贵溪市实验中学高二期末）若向量，则( )【常见错解】正确【错因分析】未能正确理解向量模与向量的

29、关系，向量既有大小，又有方向，且同向.本例中，仅仅只是说明模相等，对于方向，无限可能，所以无法由得到.【动手实战】1（2021全国高一课时练习）命题“若，则” 的真假性为( )2（2021全国高一课时练习）若与都是单位向量，则.( )易错点3误把两向量平行当成两向量同向例题1（2021云南昆明二十三中高一期中）下列命题正确的是（）ABCD【常见错解】C 【错因分析】对于向量平行问题，很多同学总是当做直线平行记忆，认为直线平行那不是成角，想当然认为向量的平行也是成，在刚学习向量时，特别要注意向量，直线的区别.【动手实战】1（2022全国高三专题练习）已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180

30、”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2021内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）下列说法正确的是（）A方向相同的向量叫做相等向量B共线向量是在同一条直线上的向量C零向量的长度等于0D就是所在的直线平行于所在的直线易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果例题1（2021全国）设，是三个向量，以下四个选项正确的是（）A若，则B若，则C若，且，则D【常见错解】A【错因分析】很同学看到中，再看结论直接把向量的点乘和数乘，当做实数乘法运算了，混淆了向量的点乘结果，数乘结果.事实上对于，左边的本质是：，右边的本质是：，无法得到.【动手实战】1（2022浙江模拟预

31、测）已知平面非零向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2（2021海南海口一中高三阶段练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的是（）AB若，则C若，则D3（2020河南南阳中学（文）由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“”类比得到“”；“”类比得到“”；“”类比得到“”；“，”类比得到“，”；“”类比得到；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（）A1B2C3D4易错点5向量求模忘记开根号例题1（2022江西高三阶段练习（理）已知向量，若在的投影为，则（）A169B13C196D14【常见错解】A解：因为，所

32、以，因为在的投影为，所以，所以，所以故选：A【错因分析】典型的解题时忘记求模开根号，习惯没有养成要，先求，再开根号为答案，往往学生求出就忘记开根号，养成好的习惯对于求模问题，在平时训练时就注意开根号.【动手实战】1（2022广东信宜市第二中学高三开学考试）已知非零向量满足，且，则向量的模长为_2（2022湖南高一课时练习）已知，与的夹角为，试求：(1)；(2)易错点6忽视两个向量成为基底的条件1（多选）（2022全国高一）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）ABCD【常见错解】BCD选项A：，不能作为基底，对于BCD都不含，可以作为基底表示其它向量【错因分析】对基底的概念理解不够透彻，两

33、个向量能否作为一组基底表示其它向量，判断的标准是这两个向量是否共线，对于选项C，显然,说明共线，不能用来做基底.【动手实战】1（多选）（2021河北大名县第一中学高一阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是（）A，B，C，D，2（多选）（2021浙江高二期末）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的（）ABCD易错点7记反了向量减法运算差向量的方向例题1（2021全国高三专题练习）正三角形边长为，设，则_.【常见错解】因为，所以点是的中点，所以，所以,所以【错因分析】本题选定了作为基底，在用基底表示向量时，向量减法运算错误，最后的结果应该指向向量，所以

34、正确的表示应该是.【动手实战】1（2021云南省泸西县第一中学高二期中）已知M，N分别是线段上的点，且，若，则_.2（2021全国高一课时练习）在三角形ABC中，若，且，则_3（2022浙江高三专题练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，则_.易错点8错误使用的等价条件例题1（2022全国高三专题练习（文）已知向量，若，则实数_.【常见错解】，若，则【错因分析】错误的运用向量平行的等价条件，对于，而本题错误的运用为，此时容易忽略0这个解.【动手实战】1（2022湖南长沙一中高三阶段练习）已知向量（2，1），（1，k）（），若，则非零实数k=_2（2021全国高一课时练习）已知向

35、量（m，1），（m6，m4），若，则m的值为_易错点9忽视两向量夹角的取值范围例题1（2021重庆临江中学高三阶段练习）已知，向量与向量夹角为锐角，则的取值范围为_【常见错解】因为，且向量与向量夹角为锐角，所以所以：【错因分析】错误的认为向量与向量夹角为锐角，事实上向量与向量夹角为锐角或角，本题错解忽略了的情况.【动手实战】1（2021上海高一课时练习）设=（2，x）， =（-4，5），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是_.2（2021云南昆明市外国语学校高一阶段练习）向量，若的夹角为钝角，则t的范围是_3（2022全国高三专题练习（文）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_.易错点10

36、混淆向量点乘运算和实数乘法运算例题1（2021福建龙岩高三期中）已知且与的夹角为，则_【常见错解】由题意可知，【错因分析】本题错例是考试中常见的一种错误，混淆了向量和实数相乘得运算法则.【动手实战】1（2021北京十五中高一期中）已知非零向量夹角为，且.则等于_.2（2020江苏淮阴中学三模）已知向量与向量的夹角为，则_易错点11误把向量的投影当非负数1（2022黑龙江哈师大附中高三期末（理）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（）ABCD【常见错解】B向量与的夹角为，在方向上的投影为【错因分析】未能正确理解向量的投影，习惯性认为投影是一个非负数，所以在求投影时，考生自己加了绝对值符号上去.

37、特别提醒，向量的投影，可正可负可为零.【动手实战】1（2022四川叙州高三期末（文）若向量满足，则在方向上的投影为（）A1B-1CD2（2021四川宁南中学高一开学考试）已知向量，的夹角为120，则在方向上的投影为（）ABCD3（2021全国高一课时练习）已知，且，则在上的投影向量为（）ABCD易错点12混淆向量的夹角定义例题1（2021全国高一课时练习）在边长为的正三角形中，设，则_【常见错解】因为是边长为的等边三角形，所以，所以，所以【错因分析】错误理解向量的夹角，在使用求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。【动手实战】1（2021河北石家庄）已知等腰三角形

38、的顶角，则_.2（2021天津市实验中学滨海学校（理）已知在中，则_.易错点13正弦定理边角互化时忽略例题1（2021贵州高三阶段练习（文）的内角，的对边分别为，且满足，.(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围.【常见错解】(1)解：因为，所以.又，所以.因为，所以.(2)由（1）知，因为，所以，则，所以，即周长的取值范围是.【错因分析】错误的原因在于习惯，对于正弦定理，在边角互化时，解题时，学生总是习惯的认为最后都会被约去，所以可有可无，就是个形式，本题注意，首先求它并不是一个方程，所以无法约去，特别提醒在利用，解题时，不可随意扔掉.该约去约去，该提取提取.【动手实战】1（2021安徽高三

39、阶段练习（理）若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.(1)求c；(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.易错点14忽视锐角中，角的取值范围1（2021河南驻马店高二期中（理）锐角的内角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)求周长的范围.【常见错解】(1)，即，又，.(2)由（1）知，利用余弦定理，又因为，所以，即：，又由两边之和大于第三边，所以,所以周长的范围为.【错因分析】本题如果是求周长的最大值，利用均值不等式是可以求解的，或者拿去限制条件锐角中的锐角，该解法也是合理的，但是，从本题来看，考生完全忽略了锐角这个条件，由两边之和大于第三边，得到，只能说成立，构成一个三角

40、形，但是无法说明是锐角三角形，说明不适用本题的最后结论.特别提醒，如果涉及到锐角三角形求周长取值范围，最通用的解法，就是边化角，利用正弦定理求解.【动手实战】1（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在锐角中，向量与平行.(1)求角A；(2)若a=2，求周长的取值范围.2（2021四川省资中县第二中学高三阶段练习（理）在中，内角，所对的边分别是，且(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围3（2021广西桂林市国龙外国语学校高三阶段练习（文）在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，求周长的范围.易错点15在中忽视的解例题1（20

41、22福建福州高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)试判断的形状，并说明理由；(2)设点D在边AC上，若，求的值.【常见错解】对于第一问，常见错解如下：(1)解：由已知条件，利用正弦定理可得， 即，所以，所以，所以B=C，所以为等腰三角形.【错因分析】学生习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记，本题错误的把该式中左右两边约去，造成漏解. 第七章 复数 典型易错题集易错点1忽视复数是纯虚数的充要条件例题1（2022湖南高一课时练习）求为何实数时，复数是纯虚数；【常见错解】若复数为

42、纯虚数，则解得或者【错因分析】对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，在本题中，错解只考虑了实部，而忽略了考虑虚部而造成错解.【动手实战】1（2022湖南高一课时练习）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件2（2022湖南高一课时练习）当实数为何值时，复数为纯虚数？3（2019贵州沿河民族中学高二开学考试（理）已知复数（i是虚数单位），复数z是纯虚数，求实数m的值.易错点2错误的理解复数比大小例题1（2022湖南高一课时练习）求使不等式成立的实数的取值范围【常见错解】因为不等式成立，所以解得：或【错因分析】对于复数错误的理解两个复数比大小，而造成错误，事实上，两个复数不能直接比大小，但

43、如果成立，等价于，本题是实数比较大小的惯性思维导致的错误.【动手实战】1（2021全国）设，若，求实数的取值范围2（2021重庆市万州沙河中学）已知复数（其中i为虚数单位），当实数为何值时.复数.3（2021上海师范大学第二附属中学）已知复数（为虚数单位）若，求实数的值易错点3错误的惯性思维理解复数的模例题1（2022福建宁德模拟预测）复数，则_【常见错解】，同样，所以【错因分析】错误的理解两个复数乘积的模等于两个复数模的积而造成错解.例题2（2022山东潍坊高三期末）复数z满足（其中i为虚数单位），则_【常见错解】，所以【错因分析】错误的理解复数的模.【动手实战】1（2022北京师大附中高二

44、期末）已知复数，则_易错点4误把复数当实数代入计算例题1（2021全国高一课时练习）已知zC，且，（i为虚数单位），则=_.【常见错解】因为，所以解得：或，所以.【错因分析】本题是极易出错的题目，本题中，由题意知zC，而错解中，把直接当实数参与了复数模的运算，而造成错解，特别题型同学们，当题意出现zC，应首先设出复数的代数形式：，再代入运算求解.【动手实战】1（2022全国高三专题练习）设aC，a0，化简：=_ .2（2021全国高三专题练习）设，且，其中为虚数单位，则的模为_.3（2021全国高二课时练习）设，则“”是“”的_条件.易错点5忽视了，习惯性的认为平方是正数例题1（2022黑龙江

45、哈尔滨德强学校高三期末（理）复数的共轭复数是_【常见错解】由题意得，所以的共轭复数为【错因分析】本题错解在于把代入计算了。【动手实战】1（2022北京密云高三期末）在复平面内，复数对应的点为，则点的坐标为_2（2021天津红桥高三期中）若是虚数单位，则的虚部为_.3（2021天津实验中学高三阶段练习）已知复数，则复数的虚部为_易错点6复数三角形式的标准形式理解错误例题1（2021全国高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.ABCD【常见错解】C【错因分析】忽略了复数三角表示的标准形式：，考生往往只注意到，没有注意其它要求，复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”

46、【动手实战】1（2021全国高一课时练习）复数的三角形式为（）ABCD2（2021上海高一课时练习）复数的三角形式为（）ABCD3（2021上海高一单元测试）复数的三角形式为（）ABCD易错点7忽视复数在复平面的位置而求错.例题1（2021全国高一课时练习）设，则（）ABCD【常见错解】A，所以.【错因分析】本题在求辐角的主值时，直接利用公式，忽略了，复数对应的点在第三象限，而造成错解.【动手实战】1（2021福建安溪高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）ABCD2（2021山西怀仁高一期中）已知复数

47、则（）ABCD3（2021重庆巴蜀中学高一期中）复数的辐角主值是（）ABCD易错点8忽视复数在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.例题1（2021上海市延安中学高一期末）的三角形式是（）ABCD【常见错解】错解1：选A，由得：，根据复数三角形式的标准形式得：，所以的三角形式是；错解2：选D.【错因分析】错解1中忽略了复数对应点在第三象限，所以由，错解1错在忽视了复数对应点的位置；错解2，记错了常见角三角函数值，注意，.【动手实战】1（2021全国高一课时练习）下列表示复数的三角形式中；正确的个数是（）A1B2C3D42（2021全国高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（）A BCD 3

48、（2021上海高一课时练习）复数的三角形式是ABCD4（2021陕西西安市第八十九中学高二阶段练习（文）设复数（i是虚数单位），则（）ABCD易错点9复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则1（2022湖南高一课时练习）计算：【常见错解】【错因分析】本题错解在于分母复数的三角形式没有化成标准形式：，所以首先要将该式化成标准式为：，特别注意复数三角形式的标准形式特点：“模非负，角相同，余弦前，加号连”【动手实战】1（2021全国高一课时练习）计算：(1)(2)(3)(4)第八章 立体几何初步 典型易错题集易错点1混淆斜二测画法中长度有变有不变 例题1（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段

49、练习）如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC的直观图.已知，三角形的面积为.则原平面图形ABC中BC的长度为 _ .【常见错解】因为，且三角形的面积为，所以，所以，三角形的原平面图形如下所示：所以，且，所以；故答案为：【错因分析】直观图还原原图时注意长度有变有不变：与轴平行（重合）的线段长度不变；与轴平行（重合）的线段长度直观图是原图的一半.本题考生忽略了，长度应该变为原来的2倍.【动手实战】1（2021江西赣州高二阶段练习（文）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积_2（2021全国高一课时练习）如图，A

50、OB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO和x轴垂直，且AO=2，则AOB的边OB上的高为_易错点2混淆直观图和原图 例题1（2021江西南昌市豫章中学高二开学考试（文）如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，那么的周长是_【常见错解】在中，,由余弦定理得：,得；同理;所以周长为：【错因分析】错把直观图直接当原图了，在遇到斜二测画法画出的直观图中，一定要注意题目问的是原图，还是直观图，如果是原图，要先还原，再求解.【动手实战】1（2021黑龙江齐齐哈尔高一期末）如图所示，为水平放置的的直观图，其中，则的面积是_2（2021全国高一课时练习）如图所示，已知斜二测画法画出的的直观图是

51、边长为的正三角形，则原的面积为_3（2022全国高一）如图所示，表示水平放置的的斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为_易错点3在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况 例题1（2021全国高一课前预习）若直线l与平面内的一条直线平行，则l和的位置关系是（）ABC或Dl和相交【常见错解】A【错因分析】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，忽略了平面外这个重要条件，本题中直线l与平面内的一条直线平行，也可能.【动手实战】1（2022黑龙江牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文）下列结论错误的个数是（）（1）若一条直线

52、和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条；（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.A0B1C3D22（2021全国高一课时练习）如果两直线ab，且a，则b与的位置关系是（）A相交BbCbDb或b易错点4错误认为，无数等于所有例题1（2021四川恩阳高二期中）下列命题正确的是（）A与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合D各面都是等腰

53、三角形的三棱锥一定是正三棱锥【常见错解】A【错因分析】错误的认为与平面内无数条直线垂直，无数条，那不就是这个平面的所有直线，错误的认为无数等于所有.【动手实战】1（2022山西太原高三期末（文）设为两个不同的平面，则的充要条件是（）A内有无数条直线与平行B垂直于同一平面C平行于同一条直线D内的任何直线都与平行2（2022全国高三专题练习）下列命题中正确的个数是（）若直线a上有无数个点不在平面内，则a；若直线a平面，则直线a与平面内的任意一条直线都平行；若直线a直线b，直线b平面，则直线a平面；若直线a平面，则直线a与平面内的任意一条直线都没有公共点.A0B1C2D33（2022上海长宁高二期末

54、）已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（）A若，则存在无数条直线，使得B若，则存在无数条直线，使得C若存在无数条直线，使得，则D若存在无数条直线，使得，则易错点5证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书写不规范例题1（2022四川省广安代市中学校高三阶段练习（文）如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，AD2，为正三角形，且平面PAD平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点(1)证明：平面PAD；【常见错解】E，F分别为PC，PB的中点，所以，平面PAD；【错因分析】证明过程中，只说明了，为能正确理解定理，在证明过程中一定要写明平面PAD，平面PAD这两句

55、话，证明过程才完整.【动手实战】1（2022山西临县第一中学高三开学考试（文）如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面ABCD，M，E分别为，的中点(1)证明：平面；2（2020四川恩阳高二期中（文）如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，点E、F分别为AD、PC的中点.(1)证明：平面PBE；3（2021内蒙古高三阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，梯形满足，M为AP的中点.(1)求证：平面；易错点6忽略异面直线所成角的范围例题1（2021四川省宜宾市第三中学校高二期中（理）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB120，E为BB的中点，异面直线CE与CA所成角的余弦

56、值是（）ABCD【常见错解】 A 如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，【错因分析】忽略了异面直线所成角的范围，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数.【动手实战】1（2021四川泸县五中高二期中（文）空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（）ABCD2（2020江苏如东高一期中）如图，直三棱柱中，则异面直线和所成角的余弦值为（）ABCD3（2020内蒙古呼和浩特一模（文）如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中

57、点，则异面直线和所成的角的余弦值为（） ABCD第九章 统计 典型易错题集易错点1随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过例题1（2022江西景德镇一中高一期末）总体由编号01，02，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A19B25C26D27【常见错解】C 按题意从第1行的第6列和第7列数字23开始，23,20,26,24

58、,26，所以选C.【错因分析】第三个选出来的编号26，第5次又重复选出该编号，造成的错误，正确的做法是第5次读到26与前面编号重复，应该跳过，继续往右读，正确的第5个编号为25.【动手实战】1（2021江西景德镇高一期末）总体编号为01，02，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181A08B15C16D192（2

59、022江西赣州高三期末（文）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行001，002，599，600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）A457B328C253D0723（2022陕西榆林高二期末（理）某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，则选出的第6个个体是（）（注：如下为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10

60、50 71 75 12 86 73 5833 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13A07B25C42D524（2022全国高一）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的末来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（）随机数表如下：A13B24C33D36易错点2忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错 例