中职-《工程数学基础》第3章

1、第3章 导数的应用3.1 微分中值定理3.2 罗必塔法则3.3 函数的单调性、极值和最值3.4 函数图形的凹凸与拐点3.5 曲线的曲率3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理定理3.1（罗尔理）设函数 满足下列三个条件：（1）在闭区间 上连续，（2）在开区间 内可导，（3）在两端点处的函数值相等，即 。则在 内至少有一点 使得函数 在该点处的导数等于零，即 。下图是罗尔定理的几何直观表示，你能说出罗尔定理的几何意义是什么吗?几何意义是：在两个高度相同的点之间的一段连续曲线上，除端点外各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处的切线是水平的。注意：罗尔定理要求函数必须同时满足三个条件，否则结论

2、不一定成立。 例3.1验证函数并求出 。解 在区间 上连续， 所以 满足罗尔定理的三个条件。 令 。所以存在 ，使得 。由罗尔定理可知，如果函数 满足定理的三个条件，则方程 在区间 内至少有一个实根。这个结论常被用来证明某些方程的根的存在性。例3.2如果方程 有正根 ，证明方程 必定在 内有根。证明 设 ，则 在 上连续， 在 内存在，且 。所以 在 上满足罗尔定理的条件。由罗尔定理的结论，在 内至少有一点 ，使得 ，即 为方程 的根。3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）设函数 满足系列条件：（1）在闭区间 上连续，（2） 在开区间 内可导，则在 内至少有一点 ，使得 。

3、下图（图3-2）是拉格朗日值值定理的几何直观表示，你能说出朗格朗日中值定理的几何意义吗？如果曲线 上连续，且除端点A,B外处处都有不垂直于X的切线，那么在这条曲线上（两端点除外）至少有一点P，使得该点的切线与线段AB平行。 注意：拉格朗日中值定理要求函数同时满足两个条件，否则结论不一定成立。 例3.3验证 在区间 上拉格朗日中值成立，并求出 。解显然 在区间 上连续， 在 内存在。所以拉格朗日中值定理成立。令 ，即 所以 。例3.4证明 时，不等式 。证明改写欲求证的不等式为 。构造函数 ，因为 ，即要证 ，因为 在 上连续， 在 内存在，由拉格朗日中值定理得：至少存在一点 ，使得 ，即 ，显

4、然 ，则 ，改写的欲求证的不等式成立，原不等式得证。拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式，如：（1）（2）（3）推论3.1如果 即在 内 是常数函数。证明 任取 因为 ，显然 在 上连续，在 内可导。于是由拉格朗日中值定理有又因为对于 内一切 都有 而 ，所以 ，于是 ，即 。既然对于 内任意 都有 ，那么说明 在 内是一个常数。推论3.2如果 。 证明因为 根据推论3.1，得 ，移项即得结论。 返回 3.2罗必塔法则在极限的讨论中我们已经看到：若当 时，两个函数 都是无穷小或无穷大，则求极限 时不能直接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而异。因此常把两个无

5、穷小之比或无穷大之比的极限，称为 型或 型未定式（也称为 型或 型未定型）极限。对这类极限，一般可以用下面介绍的罗必塔法则，它的特点是在求极限时以导数为工具。3.2.1 型未定式定理3.3（罗必塔法则1）设函数 满足：（1） （2）函数 在 的某个邻域 内（点 可除外）可导，且 ，（3） ，（ 可以是常数，也可以为 、 ） ，则 。在具体使用罗必塔法则时，一般先验证定理的条件（1），如果是 型未定式，则可以做下去，只要最终得到结果就达到求极限的目的了。例3.5求 。解 。例3.6求 。解 。注意：如果应用罗必塔法则后极限仍然是 型未定式，那么只要相关导数存在，可以继续日用罗必塔法则，直至求出极

6、限；另外，例3.6中 已不是未定式，不能对它使用罗必塔法则，否则要导致错误的结果。例3.7求 。解 。 3.2.2 型未定式定理3.3（罗必塔法则2）设函数 满足：（1） （2）函数 在 的某个邻域 内（点 可除外）可导，且 ，（3） ，（ 可以是常数，也可以为 、 ） ，则 。在具体使用罗必塔法则时，一般先验证定理的条件（1），如果是 型未定式，则可以做下去，只要最终得到结果就达到求极限的目的了。例3.8求 。 解 例3.9求 。 解 例3.10求 。 解相继应用罗必塔法则 次，得 .3.2.3 其他类型的未定式对函数 在求 的极限时，除 型和 型未定式外，还有下列一些其它类型的未定式：（1

7、） 型： 中的一个函数的极限为0，另一个函数的极限为 ， 求 的极限；（2） 型： 与 的极限都为 ，求 的极限；（3） 型 ： 的极限为1， 的极限为 ，求 的极限；（4） 型： 与 的极限都为0，求 的极限；（5） 型： 的极限为 ， 的极限为0，求 的极限。这些类型的未定式，可按下述方法处理：对（1）、（2）两种类型，课利用适当变换将他们化为 型或 型未定式，再用罗必塔法则求极限；对（3）、（4）、（5）三种类型未定式，直接使用 ，化为 型。例3.11求 。 解 这是 型未定式，因为 ，可将其转化为 型未定式，则： 例3.12求 。 解 这是 型未定式，经过通分可将其转化为 型未定式，则

8、： 例3.13求 。 解 这是 型未定式，通过恒等变形可将其转化为 型未定式，则： 例3.14验证极限 存在，但不能用罗必塔法则求出 。 证明这是 型未定式，可以利用罗必塔法则，得 ，因为 的极限不存在，所以所给的极限无法用罗必塔法则求出。在使用罗必塔法则时，应注意一下几点：（1）每次使用罗必塔法则时，必须检验极限是否属于 或 型未定式，如果不是这两种未定式，即不能使用该法则 ；（2）如果有可约因子或由非零极限的乘积因子，则可先约去或直接提取出，然后再使用罗必塔法则，以简化演算步骤；（3）罗必塔法则与其它求极限方法（如等价小的无穷代换等）地混合使用，往往能简化运算；（4）当 极限不存在时，并不

9、能断定 不存在，此时应考虑使用其它方法求极限。返回 3.3函数的单调性、极值和最值本节我们将以导数为工具，研究函数的单调性及相关的极值、最值问题，学习如何确定函数的增减区间，如何判定极值和最值。3.3.1 函数的单调性定理3.5设函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，则有：（1）若在 内 ，则函数 在 上单调增加； （2）若在 内 ，则函数 在 上单调减少。证明 设 是 内任意两点，不妨设 ，利用拉格朗日中值定理有若 ，则必有 ，又因为 ，所以即 。 由于 是 内任意两点，因此 在 上单调增加。同理可证，若 ，则函数 在 上单调减少。有时，函数在整个考察范围上并不单调，这时，就需要把考察范围

10、划分为若干个单调区间。如图3-3所示，在考察范围上，函数 并不单调，但可以划分 为 ， ，三个区间。在 和 上 单调增加，而在 上单调减少。图3-3注意：如果函数 在 上可导，那么在单调区间的分界点处的导数为零，即（在图3-3上表现为在点A,B处有水平切线）。一般称导数 在区间内部的零点称为函数 的驻点。这就启发我们，对可导函数，为了确定函数的单调区间，只要求出考察范围内的驻点。同时，如果函数在考察范围内有若干个不可导点，而函数在考察范围内由这若干个不可导点所分割的每个子区间是可导的，由于函数在经过不可导点时也可能会改变单调性，所以 还需要找出考察范围内部的全部的不可导点。综上所述，确定函数

11、的单调区间的做法为：确定函数 的考察范围I（除指定范围外，一般是指函数的定义域）内部的全部驻点和不可导点；其次，用这些驻点和不可导点将考察区间分割为若干个子区间；最后，在每个子区间上用定理3.5判断函数 的单调性。为了清楚，最后一步常用列表方式表示。.例3.15讨论函数 的单调性 。 解 确定考察范围 . 因为 此外 有不可导点为 。 划分考察区间 为4个子区间： 。 列表确定每个子区间内导数的符号，利用定理3.5判断函数的单调性。 表3-1 所以， 在 和 内是单调减少的，在 和内是单调增加的。例3.16证明：当 时， 。证明 构造函数 ，则当 时， ，所以 ，则 在 内单调增加，所以 ，又

12、 ，即 ，移项即得结论。3.3.2 函数的极值定义3.1设函数 在 内有定义，若对于任意一点 ，都有 ，则称 是函数 的极大（或极小值）， 称为函数的极大（或极小）值点。函数的极大、极小值统称为函数的极值，极大值、极小值点统称为函数的极值点。定理3.6（极值的必要条件）设函数 在其考察范围 内是连续的， 不是 的端点。若函数在 处取得极值，则 或者是函数得不可导点，或者是可导点。如果 是的可导点。那么 必定是函数的驻点，即 。定理3.7（极值的第一充分条件）设函数 在 处连续，在 内可导。当由小到大经过 时，如果（1） 由正变负，那么 是 的极大值点；（2） 由负变正，那么 是 的极小值点；（

13、3） 不改变符号，那么 不是 的极值点。证明 任取 ,在以 和 为端点的闭区间上，对函数 使用拉格朗日中值定理，得 当 时，则 ，由已知条件 ，可得即 当 时，则 ，由已知条件 ，可得即综上所述，对 附近的任意 ，都有 ，由极值的定义可知， 是 的极大值点。定理3.8（极值的第二充分条件）设 为函数 的驻点，在点 处有二阶导数且 ，则 必定是函数 的极值点，且 （1）当 时， 在 处取得极大值；（2）当 时， 在 处取得极小值；（3）当 时，无法判断。例3.17求函数 的极值。解 解法1（1）函数的考察范围为 。 （2） ，得驻点为 无不可导点。（3）利用定理3.7，判定驻点是否为函数的极值点

14、。列表判定如3-2所示。表3-2解法2：前两个步骤同解法1.又因为 ，则 ，由定理3.8 可知： 为极小值点， 为极大值点。例3.18求函数 的极值。解 （1）函数的考察范围为 。 （2）由 ，令 得驻点为 另有不可导点为 。（3）利用定理3.7，判定驻点或不可导点是否为函数的极值点。列表判定如表3-3所示。.3.3.3 函数的最大值与最小值设函数 的考察范围是 ， 是 上一点。若对于任意 ，都有 (或 )，则称 为 在 上的最大（或最小）值，称 为函数 的最大（或最小）值点。函数的最大值、最小值通称为最值，最大、最小值点通称为最值点。例3.19求函数 在区间 的最大、最小值。解因为 在区间

15、上连续，所以在该区间上必定存在最大、最小值。（1） ，得驻点为 函数无不可导点；（2）计算函数在驻点和两端点处的值：（3）比较这些值，得函数在此区间上最大值为68，最大值点为3，最小值为4，最小值点为-1，1.例3.20要做一个容积为V的圆柱形水桶，问怎样设计才能使所用材料最省？解 要使所用材料最省，就是它的表面积最小。设水桶的地面半径为r,高为h,则水桶的表面积为 由体积 ，得 ，所以 由问题的实际意义可知， 在 时必定存在最小值。令 有唯一驻点 ，因此它一定是使 s达到最小值的点，此时对应的高 。因此当水桶的高和底面直径相等时，所用材料最省。返回3.4 函数图形的凹凸与拐点 3.4.1 曲

16、线的凹凸性及其判别法3.4.2 拐点及其求法 3.4.3 函数的渐近线 3.4.4 函数的分析作图法 产品销售曲线3.4.1 曲线的凹凸性及其判别法观察上图中曲线。在 段，曲线上各点的切线都位于曲线的上方，在 段曲线上各点的切线都位于曲线的下方。在数学上以曲线的凹凸性来区分这种不同的现象。定义1 若在区间 内，曲线 的各点处的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在 内是凹的，若曲线 的各点处的切线都位于曲线的上方，则称此曲线 在 内是凸的。 定义1定理1定理1（曲线的凹凸性的判定定理） 设函数 在区间 内具有二阶导数，（1） 如果在区间 内 0，则曲线在 内是凹的；如（2） 如果在区间 内 0，则

17、曲线在 内是凸的。 定理1例1 判定曲线 在 内的凹凸性。解： ， ，令 ，得 ；在 内 0，曲线是凹的。3.4.2 拐点及其求法 定义2 若连续曲线 上的点 是凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点，则称点 是曲线的拐点。 拐点的求法（1)设 在考察范围 内有二阶导数，求出 ； （2）求出 在 内的的零点及使 不存在的点； （3）用上述各点从小到大依次将 分成若干个子区间，考察在每个子区间内的符号，若在分割点两侧 异号，则 该点是曲线的拐点，否则不是。这一步通常以列表表示。例2 求曲线 的凹凸区间与拐点。 解：（1）考察范围为函数的定义域 ， ； （2）在 无 的零点， 不存在的点为 ； （3）列表

18、（符号 表示凹的，符号 表示凸的）。 例2表格（表格1） 不存在 拐点3.4.3 函数的渐近线定义3 若曲线 上的动点 沿着曲线无限地远离原点时，点 与某一固定直线 的距离趋近于零，则称直线 为曲线 的渐近线。1.水平渐近线定义4 设曲线的方程为 ，若当 或 时，有 ,（ 为常数），则称曲线有水平渐近线 。 例3 求曲线 的水平渐近线。 解：因为 ，所以当曲线向左右两端无限延伸时，都以 为水平渐近线。见图3。 2.垂直渐近线定义5 设曲线的方程为 ，若当 或当 （ 为常数）时，有 或 ，则称曲线有 垂直渐近线 。 例4 求曲线 的渐近线。 解：因为 所以当 从左、右两侧趋近于2时，曲线分别向下、上无限延伸，所以 为其垂直渐近线。又 ，所以当曲线向左右两端无限延伸时，都以 为水平渐近线。见图4。图43.4.4 函数的分析作图法作函数的图象，其基本方法就是描点法。对于一些不常见的函数，因为对函数的整体性质不甚了解，取点容易盲目，这大大影响了作图的精确性。现在我们已经能利用导数来确定函数的单调区间与极值、曲线的凹凸性与拐点，还会求曲线的渐进线，这样一方面可以 取极值点、拐点等关键点作为描点的基础，减少描点的盲目性；另一方面因为对函数的变化有了整体的了解，可以结合单调性、凹凸性等，描绘较为准