双态量子系统

1、ABSTRACTTwo-state systems have two independent quantum states and can be described in a two-dimensional Hilbert space. In this paper, we introduce the concept of two-state systems and enumerate two typical examples, the polarization of light quantum and the electron spin. We represent how to study a

2、 two-state system generally and how to deal with problems using matrix algebra. We study ammonia molecule system in depth using the Schrodinger equation, write the matrix form of the equation by matrix algebra, and we can get the energy eigenvalues and eigenfunctions, the probability amplitude oscil

3、lation between two basis states of the system. We also introduce the level jump of the two-state systems in field, the quantum resonance happens when the frequency of the field is resonant frequency. At last, we introduce two applications of the two-state systems, one is the ammoina master, the othe

4、r is nuclear magnetic resonance.Key words： two-state systems; the polarization of light quantum; electron spin; ammonia molecule; the matrix form of the Schrodinger equation; quantum resonance; ammoina master; nuclear magnetic resonance1.引言1.1双态量子系统的概念量子态可以用希尔伯特空间中的一个矢量表示，一种非常简单的情况就是量子 态矢量可以在二维的希尔伯特

5、空间中表示，这样的量子态系统称为双态量子系统。双 态量子系统是一种具有两个相互独立的量子态的量子系统，典型的双态系统如氨分子1 一 的两种结构对应的两个量子态，构成双态量子系统；自旋为-的粒子，其自旋态可由2自旋分量Sz的本征态|个），为态基表示；光子以与光轴成a角入射电气石晶体，其 可能被吸收，也可能无阻碍的通过，光子的偏振态，可由平行于光轴的偏振态和垂直 于光轴的偏振态迭加表示，这是一个双态量子系统。这些都是典型的双态系统。1.2具体的描述下面对光子的偏振态和电子的自旋态两个例子进行具体的叙述。1.2.1光子的偏振态将一束偏振光入射电气石晶体，其偏振面与电气石晶体光轴垂直，光会全部通 过，

6、偏振面与光轴平行，光被晶体吸收。偏振面与光轴施角，光会部分通过，通过 的光强与入射光强之比为sin2。如果上述实验中的一束光仅含有一个光子，得到的结果是垂直于光轴方向偏振 的光子会通过晶体，平行于光轴方向偏振的光子会被晶体吸收。与光轴成a角偏振的 光子则可能被吸收也可能通过晶体，进行多次这样的实验，发现通过的光子数与全部 光子数的比例是sin2。量子力学对上述实验的描述是将垂直于光轴方向偏振和平行于光轴偏振的光子 的偏振态作为两个独立的量子态垂直偏振态和平行偏振态，任一其他的偏振态可 由这两个偏振态迭加表示。偏振方向与光轴成a角的光子通过晶体时可能表现出垂直 偏振态，也有可能表现出平行偏振态，

7、所以可能通过也可能被吸收。将垂直偏振态和平行偏振态用仁和|f；表示，任一偏振态用a*表示，|a； = a| 仁 + b| fa是光子任一偏振态|a；在垂直偏振态|仁上的概率幅，其模平方a|2是测量中光子处于|仁的概率。b是光子在|f-态上的概率幅，|b|2是测量中光子处于|f 态的概率。由实验我们可知a=sin a，b = J1-sin2a = cosa，所以|a = sin a| 个.:+ cos a| f1.2.2电子的自旋态电子置于磁场中，与磁场发生作用，在施特恩一盖拉赫实验中我们知道，其作 用方向是与磁场方向相同或相反。电子自旋产生磁矩会与磁场发生作用，作用力与磁 场方向相同其自旋为|

8、个）态，相反为|”，态。电子的任一自旋态可以由这两个相互独立 的自旋态迭加表示，其与磁场发生作用时自旋态可能表现为|n态或I”态1。用S；表示电子的任一自旋态is：=m 仁+n ”m = ：T|S是电子自旋态在 仁态上的概率幅，2是测量中电子处于个）自旋态的概率。n =叫s）是电子自旋态在”态上的概率幅，|n |2是测量中电子处于由自旋态的 概率。m，n满足|m|2 + |n |2 = 11.3双态量子系统的研究方法研究一个双态量子系统，例如一个偏振方向与电气石晶体光轴成a角入射的光 子，我们研究的目的是光子被晶体吸收的概率与光子无阻碍通过的概率是多少，以及 他们的变化规律。即要研究光子的偏振

9、态在平行偏振态上的概率幅和垂直偏振态上的 概率幅以及他们之间的关系。所以我们要关注的是系统量子态处于其两个独立量子态 上的概率幅及其变化规律。在理论处理上，一般采用这样的方法，系统的量子态可以在二维的希尔伯特空 间中表示，系统中两个独立的量子态归一化后可作为空间中的一组态基。将系统的量 子态用这两个态基分解表示，那么就得到系统量子态在这两个态上的概率幅，再代入 薛定谔方程，就可以解出概率幅的具体表达式。在数学处理上我们利用矩阵代数可以 将方程化为矩阵形式，再求解。一个多能级的量子系统，在特定情况下只需考虑其中的两条能级，这样就变成 一个双态量子系统，本文讨论的氨分子就是这样的情况，在这里说明清

10、楚。氨分子 中的氮原子能够穿过三个氢原子构成的平面，即在氢原子平面形成的势场中运动， 计算可得到系统的能级分布，其能级数据为E1 = E0 + A，E2 = E0- A，Ehi = E1 + Ay Eh2 = E1 - A1，Ea，（ E a 是所有其它的能级），并且 Ea- E0 A，2A10-4ev，2A 5x10-3ev，EE00.12ev【4。在热平衡条件下的氨分子气体，根据玻尔兹曼分布律N（E）! N官）=厂Ei- E少kB t在 t = 100K 时，N（E）jN（与2）1，N（E）N（与2）N（Eh2）N（E2）V10-6，N（EaN（与2）1由以上结果可知，100K的氨分子气体

11、中氨分子处于E，E22之外能级的概率非常小， 可近似看作系统只有两条能级E，Ei她。本文讨论的便是处于这样条件下的氨分子。 在这种情况下系统的任一量子态可由两个能量本征态线性迭加得到，也可将氨分子两 种结构对应的量子态作为一组态基。氨分子具有n条能级，量子态矢量所在的希尔伯 特空间是n维的，经过上述近似后，其就可以在一个二维的希尔伯特空间中表示。2. 一个典型的双态量子系统2.1氨分子氨分子是一种比较简单和典型的双态量子系统，通过对氨分子的研究，我们能了 解处理双态系统的一般方法和双态系统的性质。氨分子的具体结构如图所示【6】：图2.1氨分子的两种结构一个氮原子与三个氢原子构成一四面体，其稳定

12、结构有两种形式，其中下面的结 构中氮原子的位置是上面的结构中氮原子在三个氢原子平面的镜像对称位置，这是两 种不同的结构，这两种结构对应两个独立的量子态，设为1、|2；。这是一个双态量 子系统，这两种结构有相同的能量E0。将系统的量子态用W0表示，薛定谔方程为1 瓦此 ）： = Hw（）：（1）将态1、|2：归一化，1、|2可作为一组正交归一化的态基，将平0在|1；.、|2）态 上分解，w （t）二| 伸 g）=即）ii其中C.=（刑（t）, i =1, 2, Cj即是系统量子态处于1、|2）态的概率幅将（2）式代入（1）式右边，得到访号|w（t）； = NH i*W（t）：.i进一步用左失:j

13、（ j =1，2）乘等式两端，得到访?；j| w (t) j|H| ici由& c = E H c（2）（3）H =j削i)将（3）式写成矩阵形式为r c 1=r HH 一1112rc1atcL 2 JH H2122c21、2态对应的经典能量为E，其量子表示为（4）dt j i ji 1.;lHl1=气，;2 H2=气即 H 11 = H 22 = E0由于哈密顿算符是厄米的H 21 = （H 2J*可以假设H =（H21）= a，A为一实数，那么（4）式变为i力J dtr c r EA 一r c i=0icAEc1- 2 J102（5）可以分开写成c + Ac我们可以通过以下的变换，找到系统

14、的能量本征值和本征态，将两式分别相加和相减，得到ih (e + e ) =(E + A)(e + e )dt 12012ih dt (e - e ) = (E 一 A)(e - e )从上式可知系统能量本征值为E0+A，E0-A，(6)(7)(8)令即:;a(t).= 土(1帕&):+:2(t),(b|v(t)=上(；1帕6).-2帕&):.)22可得 |a)I + |2:),|b； = 土 )a- 2v： 2a、b是系统的能量本征态(6), (7)式变为dei方adt=(E 0 + A)C(9)de法一bdt=(E0 - A)eb(10)(11)ea 0 2, | b概率不变。由(8)式可得

15、e = (e12 a+ eb), %=(e -e )(0)e-i(E0+A)t3 + ebc E (0)e -i(E 0-A)f(12)由(9)，(10)式可解得e (t)= e (0)e-i(E0+A)， e (t) = e (0)e-i(E0-A)t 方 aabbeb02皆为定值，即ea(t)，ebQ是定态概率幅，系统处于能量本征态的(13)? e (0)e-i(E0+AWh - e (0)e-i(E0-hC1，C2不是定态概率福，系统处于1、|2;态的概率是变化的。假设系统的初始状态是处于1态，即t = 0时，C1, C2=0,可得c（0）=c（0）=旦代入（12），（13）式，c =

16、e -i E0t 方1 2r , , ”； Ate-iAt 力 + eiAt 力/ e-iE0t 力 cos 力（14）_1(c = - e-ie0t 方 2 2，一 iAt 方一eiA方)i e-i e 0?方 sin力（15）系统处于1、 2态的概率为At2 P c |2 cos 万（16）P c 2 sin 辛（17）其变化规律用图像表示为ba解为一个初始状态为1态的氨分子，其氮原子穿过氢原子势垒，到达氢原子平面的 另一侧形成稳定结构的概率为s.n虫2。sm力要考察系统处于1、|2：态的概率的具体变化过程，可以对（16），（17）式作短时近似处理，可以这样来理解上式，原来处于纯1态的系统

17、，时间后会有 ）大小的概率跃迁 方至|2）：态，跃迁的概率幅度为A，即单位时间跃迁的概率幅为A。2.2双态系统中的能级跃迁在处理实际问题时，一个系统往往不只有两个能级，但如果有两个靠的很近的能 级，它们到其他的能级的间隔要大的多，在特定的情况下，我们只考虑这两个能级， 那么这也是一个双态系统问题。假设在一个原子中，我们只考虑某两条相邻的能级， 其能量本征值为气和E/将系统的量子态在两个能量本征态上分解表示，代入薛定 谔方程，可得形式如（3）式的方程，i力 c = E H cdt j jH厂j 回 i，（i, j = a，b）由能量本征态的正交归一性，可得Hji = Ej r =鸟 $,即Haa

18、=Ea，HabHba = 0，Hbb=Eb薛定谔方程的矩阵形式为i力 dt C11 c1- 2J= Ve LbC11 c2（18）在外场作用下，电子可能会发生能级之间的跃迁 TOC o 1-5 h z 设外加电场为田=田cosot = %（血+ e&t），以原子核为坐标原点，电子的势能为 02一 e 一一V = -er 田=-r - e iot + e -iot ， V = -er - 20系统的哈密顿算符H = H+V，H八是无外场时的哈密顿算符， 00U Hi =jhi0Ii + i j iH矩阵形式为E - er .田-er 田a aaabe r E e r ,bab bb其中 r.=(

19、狷 j， G，j = a,b)薛定谔方程为0 ca0t0t汗I“ot cL b旦rE e r 八 aae r bae人 =EaCa - 2 raas 0e =Ebcb - 2 rbbr e r abEbr e r bbC irot + e irot)c -caerr2 abs 0C irot + e irot)cbs e irot + e irot )c M 任 C irot + e irot )0b 2 ba 0a(19)(20)(21)上式的解在无外场时具有与（11）式相同的形式，包含e-诅尸,e-项，加外场时，解的形式为ca (t)= ca(t)e一ep，cb 0= c (t )e-%

20、力代入（20），（21）式，.0c() i方一 0te irot + e irot 丰 S c2aa 0(t) e i(ro+ro )t + e i(roro )t200淫。cN ）0c (t)访一0te irot + e irot S c (t) L i(roro )t + e i(ro+ro )t2bb 0 b 200七 cR）其中ro 0 =知万旦是两条能级之间跃迁发出的光子的圆频率，上式中口+%，口频率较大，振动快，3 -3 0频率小，振动慢，较长一段时间内振动频率快的，其平均作用效果近似为0，所以可以将上式中的3 +3 ，CD项忽略不计，简化为U () e ,、rin = e i(r

21、oro0 )tr 0t 2 abrs c(t)in0c (t)e ( 、Cp = e i (ro0 ro)tr Ot2 ba,o c (t)在电子的状态是处于Ea低能级的初始条件下，解得c (t)= 3 -i(Ft 2sin 出P 力2r其中-0)2 +r灌o)产0)力2A211方r(22)方rPp是t时间内电子从低能级跃迁到高能级的概率Pa= 1 - P P= 1 -2sin2 町2(23)现在研究外电场频率刚好与系统能级跃迁发出的光子频率相等时的情况，即2 0P p = sin2(24)P =C0S2(25)图像见图2.3C=1由图2.3可知，系统初始状态处于Ea低能级态，Pa=1印(t)

22、=1，系统完全处于高能态。电子在两个能级态上概率幅的变化达到最大，我们可以将系统在两个能级态上的概率幅看作是来回振荡变化的。外电场频率切=切0时， 概率幅的振荡达到最大，这称为量子共振现象。与经典力学中的共振现象类比，一个 固有频率为切。的系统，受到一个频率为口的外力扰动，当逐渐接近切时，系统 的振幅逐渐变大，切=切时，振幅达到最大，这时系统与外界的能量交换效率也达到最大。3双态量子系统的应用3.1氨分子频标双态量子系统两条能级之间的跃迁会发出频率高度稳定的信号，可作为频率标 准，这称作量子频标。量子频标可用于精确的时间计量，其精确度是目前所有计量手 段中最高的。第一个在实验上实现的量子频标是氨分子频标，其利用的装置如下。这是一个电四极装置10。在电磁场中氨分子有一个电偶极矩元素与两个能态相联系， 图中的装置是要挑选出处于高能态的氨分子。在电四极电场中，中间电场弱，边缘电 场强。处于高能态的氨分子会通过该装置到达谐振腔，低能态的氨分子则会被分离开 11。在谐振腔内，如果一个氨分子发生能级跃迁，其发出