高中数学必修二 6.3.1 平面向量基本定理 导学案新

1、【新教材】 6.3.1 平面向量基本定理（人教A版）1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.预习导入阅读课本25-27页，填写。1、定理探究：平面向量基本定理： 注意：(1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关

2、键是 ；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即1，2是被，唯一确定的数量1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量都可以作为基底()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底 ()(3)零向量不可以作为基底中的向量 ()2设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()Ae1，e2 Be1e2,3e13e2Ce1,5e2 De1，e1e23A，B，O是平面内不共线的三个定点，且eq o(OA,sup16()a，eq o(OB,sup16()b，点P关于点A

3、的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则eq o(PR,sup16()等于()Aab B2(ba) C2(ab) Dba4已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy_.题型一 正确理解向量基底的概念例1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：eq o(AD,sup16()与eq o(AB,sup16()；eq o(DA,sup16()与eq o(BC,sup16()；eq o(CA,sup16()与eq o(DC,sup16()；eq o(OD,sup16()与eq o(OB,sup16()，其中可作为这个平行四边形所在平面的

4、一组基底的是()A BC D跟踪训练一1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e2e1题型二 用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线eq o(AC,sup15()a，eq o(BD,sup15()b，试用基底a，b表示eq o(AB,sup15()，eq o(BC,sup15().跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD中，ABCD，M，N分别是DA，BC的中点，且eq f(DC,AB)k，设eq o(AD,sup15()e1，eq o(AB,sup15()e2，以

5、e1，e2为基底表示向量eq o(DC,sup15()，eq o(BC,sup15()，eq o(MN,sup15().题型三 平面向量基本定理的应用例3如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值跟踪训练三1在ABC中，eq o(AD,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()，eq o(AE,sup16()eq f(1,4)eq o(AC,sup16()，BE与CD交于点P，且eq o(AB,sup16()a，eq o(AC,sup16()b，用a，b表示eq o(AP,sup16().1已知e1，e2是

6、表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()Ae1，e1e2 Be12e2，e22e1Ce12e2，4e22e1 De1e2，e1e22设向量e1与e2不共线，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数x，y的值分别为()A0，0 B1，1 C3，0 D3，43如图，在OAB中，P为线段AB上一点，eq o(OP,sup16()xeq o(OA,sup16()yeq o(OB,sup16()，且eq o(BP,sup16()3eq o(PA,sup16()，则()Axeq f(2,3)，yeq f(1,3) Bxeq f(1,3)，yeq f(2,3)

7、Cxeq f(1,4)，yeq f(3,4) Dxeq f(3,4)，yeq f(1,4)4设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1e2_5如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若eq o(AM,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()，则_.6设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值答案小试牛刀1. (1

8、) (2) (3) 2B.3B.4. 3自主探究例1【答案】B【解析】eq o(AD,sup16()与eq o(AB,sup16()不共线；eq o(DA,sup16()eq o(BC,sup16()，则eq o(DA,sup16()与eq o(BC,sup16()共线；eq o(CA,sup16()与eq o(DC,sup16()不共线；eq o(OD,sup16()eq o(OB,sup16()，则eq o(OD,sup16()与eq o(OB,sup16()共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意跟踪训练一1、【答案】B.【解析】4e26e12(3e1

9、2e2)，两个向量共线，不能作为基底例2【答案】eq o(AB,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b. 【解析】 由题意知，eq o(AO,sup15()eq o(OC,sup15()eq f(1,2)eq o(AC,sup15()eq f(1,2)a，eq o(BO,sup15()eq o(OD,sup15()eq f(1,2)eq o(BD,sup15()eq f(1,2)b.所以eq o(AB,sup15()eq o(AO,sup15()eq o(OB,sup15()eq o(AO,sup15()e

10、q o(BO,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup15()eq o(BO,sup15()eq o(OC,sup15()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.跟踪训练二1、【答案】eq o(DC,sup15()ke2.eq o(BC,sup15()e1(k1)e2.eq o(MN,sup15()eq f(k1,2)e2.【解析】法一：eq o(AB,sup15()e2，eq f(DC,AB)k，eq o(DC,sup15()keq o(AB,sup15()ke2.eq o(AB,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CD,sup15(

11、)eq o(DA,sup15()0，eq o(BC,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(CD,sup15()eq o(DA,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(DC,sup15()eq o(AD,sup15()e1(k1)e2.又eq o(MN,sup15()eq o(NB,sup15()eq o(BA,sup15()eq o(AM,sup15()0，且eq o(NB,sup15()eq f(1,2)eq o(BC,sup15()，eq o(AM,sup15()eq f(1,2)eq o(AD,sup15()，eq o(MN,sup15()eq o(AM,s

12、up15()eq o(BA,sup15()eq o(NB,sup15()eq f(1,2)eq o(AD,sup15()eq o(AB,sup15()eq f(1,2)eq o(BC,sup15()eq f(k1,2)e2.法二：同法一得eq o(DC,sup15()ke2，eq o(BC,sup15()e1(k1)e2.连接MB，MC，由eq o(MN,sup15()eq f(1,2)(eq o(MB,sup15()eq o(MC,sup15()得eq o(MN,sup15()eq f(1,2)(eq o(MA,sup15()eq o(AB,sup15()eq o(MD,sup15()eq

13、o(DC,sup15()eq f(1,2)(eq o(AB,sup15()eq o(DC,sup15()eq f(k1,2)e2.例3【答案】APPM4，BPPNeq f(3,2).【解析】 设eq o(BM,sup15()e1，eq o(CN,sup15()e2，则eq o(AM,sup15()eq o(AC,sup15()eq o(CM,sup15()3e2e1，eq o(BN,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CN,sup15()2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得eq o(AP,sup15()eq o(AM,sup15()e13e2，eq o(

14、BP,sup15()eq o(BN,sup15()2e1e2.故eq o(BA,sup15()eq o(BP,sup15()eq o(PA,sup15()eq o(BP,sup15()eq o(AP,sup15()(2)e1(3)e2.而eq o(BA,sup15()eq o(BC,sup15()eq o(CA,sup15()2e13e2，由平面向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(22，,33，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5).)eq o(AP,sup15()eq f(4,5)eq o(AM,sup15()，eq o(BP,sup1

15、5()eq f(3,5)eq o(BN,sup15()，APPM4，BPPNeq f(3,2).跟踪训练三1【答案】eq o(AP,sup16()eq f(3,11) aeq f(2,11)b【解析】如图，取AE的三等分点M，使AMeq f(1,3)AE，连接DM，则DM/BE.设AMt(t0)，则ME2t.又AEeq f(1,4)AC，AC12t，EC9t，在DMC中，eq f(CE,CM)eq f(CP,CD)eq f(9,11)，CPeq f(9,11)CD，DPeq f(2,11)CD，eq o(AP,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DP,sup16()eq o(

16、AD,sup16()eq f(2,11)eq o(DC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)(eq o(DA,sup16()eq o(AC,sup16()eq f(1,3)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AB,sup16()o(AC,sup16()eq f(3,11)eq o(AB,sup16()eq f(2,11)eq o(AC,sup16()eq f(3,11) aeq f(2,11)b当堂检测1-3.CDD4. eq f(2,3)aeq f(1,3)b5. eq f(2,3)6. 【答案】（1）见解析. （2）c2ab. （3），的值分别为3和1.【解析】(1)证明：若a，b共线，则存在R，使a，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得eq blcrc (avs4alco1(1，,32)eq blcrc (avs4al