高中数学必修二 2 第2课时两向量共线的充要条件及应用

1、第2课时两向量共线的充要条件及应用 问题导学预习教材P31P33的内容，思考以下问题：1两向量共线的充要条件是什么？2如何利用向量的坐标表示两个向量共线？两向量共线的充要条件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则a，b(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10名师点拨 (1)两个向量共线的坐标表示还可以写成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)(x20，y20)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例(2)当a0，b0时，ab，此时x1y2x2y10也成立，即对任意向量a，b都有x1y2x2y10ab. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量(1，2)与向量(4

2、，8)共线()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则必有x1y2x2y1.()答案：(1)(2) 下列各组的两个向量共线的是()Aa1(2，3)，b1(4，6)Ba2(1，2)，b2(7，14)Ca3(2，3)，b3(3，2)Da4(3，2)，b4(6，4)答案：D 已知两点A(2，1)，B(3，1)，与eq o(AB,sup6()平行且方向相反的向量a可能是()Aa(1，2)Ba(9，3)Ca(1，2)Da(4，8)解析：选D.由题意得eq o(AB,sup6()(1，2)，结合选项可知a(4，8)4(1，2)4eq o(AB,sup6()，所以D正确 已知a(3，1)，b

3、(2，)，若ab，则实数的值为_答案：eq f(2,3)向量共线的判定(1)已知向量a(1，2)，b(3，4)若(3ab)(akb)，则k_(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，判断eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】(1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因为(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以keq f(1,3).故填eq f(1,3).(2)因为eq o(AB,sup6()(1(1)，3(1)(2，4)，eq o(AC,sup6()(2(1)，5(1)(3，6)，因为26340

4、，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线又eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()的方向相同变问法若本例(1)条件不变，判断向量(3ab)与(akb)是反向还是同向？解：由向量(3ab)与(akb)共线，得keq f(1,3)，所以3ab(3，6)(3，4)(0，10)，akbaeq f(1,3)b(1，2)eq f(1,3)(3，4)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(10,3)eq f(1,

5、3)(0，10)，所以向量(3ab)与(akb)同向eq avs4al()向量共线的判定方法1(2019河北衡水景县中学检测)已知向量a(1，2)，b(，1)若ab与a平行，则()A5Beq f(5,2)C7 Deq f(1,2)解析：选D.ab(1，2)(，1)(1，3)，由ab与a平行，可得132(1)0，解得eq f(1,2).2已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3)判断eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：eq o(AB,sup6()(0，4)(2，1)(2，3)，eq o(CD,sup6()(5，

6、3)(1，3)(4，6)法一：因为(2)(6)340，且(2)40，所以eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线且方向相反法二：因为eq o(CD,sup6()2eq o(AB,sup6()，所以eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线且方向相反三点共线问题(1)已知eq o(OA,sup6()(3，4)，eq o(OB,sup6()(7，12)，eq o(OC,sup6()(9，16)，求证：点A，B，C共线；(2)设向量eq o(OA,sup6()(k，12)，eq o(OB,sup6()(4，5)，eq o(OC,sup6()(10，k)，求当

7、k为何值时，A，B，C三点共线【解】(1)证明：由题意知eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4，8)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(6，12)，所以eq o(AC,sup6()eq f(3,2)eq o(AB,sup6()，即eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线又因为eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()有公共点A，所以点A，B，C共线(2)法一：因为A，B，C三点共线，即eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线，所以存在

8、实数(R)，使得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因为eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k，7)(10k，k12)，即eq blc(avs4alco1(4k（10k），,7（k12），)解得k2或k11.所以当k2或k11时，A，B，C三点共线法二：由已知得eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线，因为eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,s

9、up6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以当k2或k11时，A，B，C三点共线eq avs4al()判断向量(或三点)共线的三个步骤 1已知A，B，C三点共线，且A(3，6)，B(5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为()A3B9C9 D3解析：选A.设C(x，6)，因为A，B，C三点共线，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，又eq o(AB,sup6()(2，4)，eq o(AC,sup6()(

10、x3，0)，所以204(x3)0.所以x3.2设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线且方向相同，此时A，B，C，D能否在同一条直线上？解：eq o(AB,sup6()(2x，2)(x，1)(x，1)，eq o(BC,sup6()(1，2x)(2x，2)(12x，2x2)，eq o(CD,sup6()(5，3x)(1，2x)(4，x)由eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线，所以x214，所以x2.又eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()方向相同，所

11、以x2.所以当x2时，eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线且方向相同此时，eq o(AB,sup6()(2，1)，eq o(BC,sup6()(3，2)，而2231，所以eq o(AB,sup6()与eq o(BC,sup6()不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，D不在同一条直线上向量共线的应用 如图所示，在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，eq o(OC,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()，eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()，AD与BC相交于点M，求点M的坐标【解

12、】因为eq o(OC,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,4)(0，5)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,4)，所以Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,4).因为eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq f(1,2)(4，3)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)，所以Deq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2).设M(x，y)，则eq o(AM,sup6()(x，y5)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(20

13、，f(3,2)5)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(7,2).因为eq o(AM,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq f(7,2)x2(y5)0，即7x4y20.又eq o(CM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，yf(5,4)，eq o(CB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(7,4)，因为eq o(CM,sup6()eq o(CB,sup6()，所以eq f(7,4)x4eq blc(rc)(avs4alco1(yf(5,4)0，即7x16y20.联立解得xeq f(12,7)，y2，故点M的坐标为eq b

14、lc(rc)(avs4alco1(f(12,7)，2).eq avs4al()应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 如图所示，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求eq o(DF,sup6()的坐标解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以eq o(AB,sup6()(37，58)(4，3)，eq o(AC,sup6()(47，38)(3，5)又因为D是BC的中点，所以eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(43，3

15、5)eq f(1,2)(7，8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，4).因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以eq o(DF,sup6()eq o(FD,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,4)，2).1已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8) D(4，8)解析：选C.因为向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，所以14(2)m，所以m2，所以2ab(

16、2m，44)(4，8)2若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是()A2mn3 Bnm1Cm3，n5 Dm2n3解析：选A.因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以(1，m3)(2，n3)，所以eq f(1,2)，所以m3eq f(1,2)(n3)，即2mn3.3平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求满足ambnc的实数m，n的值；(2)若(akc)(2ba)，求实数k的值解：(1)因为ambnc，所以(3，2)m(1，2)n(4，1)(

17、m4n，2mn)所以eq blc(avs4alco1(m4n3，,2mn2，)解得eq blc(avs4alco1(mf(5,9)，,nf(8,9).)(2)因为(akc)(2ba)，又akc(34k，2k)，2ba(5，2)，所以2(34k)(5)(2k)0.所以keq f(16,13).A基础达标1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(5，10)B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选B.因为平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，所以1m(2)20，解得m4，所以2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8)2已知a(sin ，1)，b(cos ，2)，

18、若ba，则tan ()A.eq f(1,2) B2Ceq f(1,2) D2解析：选A.因为ba，所以2sin cos ，所以eq f(sin ,cos )eq f(1,2)，所以tan eq f(1,2).3已知向量a(1，2)，b(0，1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值是()Aeq f(7,2) Beq f(1,2)Ceq f(4,3) Deq f(8,3)解析：选B.v2(1，2)(0，1)(2，3)，u(1，2)k(0，1)(1，2k)因为uv，所以2(2k)130，解得keq f(1,2).4若eq o(AB,sup6()i2j，eq o(DC,sup6()(3x)i(

19、4y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).eq o(AB,sup6()与eq o(DC,sup6()共线，则x，y的值可能分别为()A1，2 B2，2C3，2 D2，4解析：选B.由题意知，eq o(AB,sup6()(1，2)，eq o(DC,sup6()(3x，4y)因为eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，所以4y2(3x)0，即2xy20.只有B选项，x2，y2代入满足故选B.5已知A(1，3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A(9，1) B(9，1)C(9，1) D

20、(9，1)解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因为eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)(1，3)eq blc(rc)(avs4alco1(7，f(7,2)，eq o(AC,sup6()(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)eq f(7,2)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6已知向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，则实数x的值为_解析：因为向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，所以2(3x1)410，解得x

21、1.答案：17已知A(2，1)，B(0，2)，C(2，1)，O(0，0)，给出下列结论：直线OC与直线BA平行；eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()；eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()；eq o(AC,sup6()eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6().其中，正确结论的序号为_解析：因为eq o(OC,sup6()(2，1)，eq o(BA,sup6()(2，1)，所以eq o(OC,sup6()eq o(BA,sup6()，又直线OC，BA不重合，所以直线OCBA，所以正确；

22、因为eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CA,sup6()，所以错误；因为eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(0，2)eq o(OB,sup6()，所以正确；因为eq o(AC,sup6()(4，0)，eq o(OB,sup6()2eq o(OA,sup6()(0，2)2(2，1)(4，0)，所以正确答案：8对于任意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为mn(acbd，bcad)，运算“”为mn(ac，bd)设m(p，q)，若(1，2)m(5，0)，则(1，2)m等于_解析：由(1，2)m(5，0)，

23、可得eq blc(avs4alco1(p2q5，,2pq0，)解得eq blc(avs4alco1(p1，,q2，)所以(1，2)m(1，2)(1，2)(2，0)答案：(2，0)9已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若eq o(AB,sup6()2a3b，eq o(BC,sup6()amb且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，得keq f(1,2).所以当keq f(1,2)时，kab与a2b共线(2)因为A，B，C三点共线

24、，所以eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，R，即2a3b(amb)，所以eq blc(avs4alco1(2，,3m，)解得meq f(3,2).10(1)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，求M，N及eq o(MN,sup6()的坐标；(2)已知P1(2，1)，P2(1，3)，P在直线P1P2上，且|eq o(P1P,sup6()|eq f(2,3)|eq o(PP2,sup6()|.求点P的坐标解：(1)法一：由A(2，4)，B(3，1)

25、，C(3，4)，可得eq o(CA,sup6()(2，4)(3，4)(1，8)，eq o(CB,sup6()(3，1)(3，4)(6，3)，所以eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()3(1，8)(3，24)，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()2(6，3)(12，6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)则eq o(CM,sup6()(x13，y14)(3，24)，eq o(CN,sup6()(x23，y24)(12，6)，所以x10，y120，x29，y22，即M(0，20)，N(9，2)，所以eq o(MN,sup6()(9，2)(0，20)(9，1

26、8)法二：设点O为坐标原点，则由eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，可得eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()3(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2(eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，从而eq o(OM,sup6()3eq o(OA,sup6()2eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()2eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(OM,sup

27、6()3(2，4)2(3，4)(0，20)，eq o(ON,sup6()2(3，1)(3，4)(9，2)，即点M(0，20)，N(9，2)，故eq o(MN,sup6()(9，2)(0，20)(9，18)(2)当点P在线段P1P2上时，如图a：则有eq o(P1P,sup6()eq f(2,3)eq o(PP2,sup6()，设点P的坐标为(x，y)，所以(x2，y1)eq f(2,3)(1x，3y)，所以eq blc(avs4alco1(x2f(2,3)（1x），,y1f(2,3)（3y），)解得eq blc(avs4alco1(xf(4,5)，,yf(3,5).)故点P的坐标为eq blc

28、(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5).当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：则有eq o(P1P,sup6()eq f(2,3)eq o(PP2,sup6()，设点P的坐标为(x，y)，所以(x2，y1)eq f(2,3)(1x，3y)，所以eq blc(avs4alco1(x2f(2,3)（1x），,y1f(2,3)（3y），)解得eq blc(avs4alco1(x8，,y9.)故点P的坐标为(8，9)综上可得点P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)或(8，9)B能力提升11已知向量a(1，0)，b(0，1)，ckab(kR)

29、，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选D.因为a(1，0)，b(0，1)，若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，即cd且c与d反向12已知向量a(2，3)，ba，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为_解析：由ba，可设ba(2，3)设B(x，y)，则eq o(AB,sup6()(x1，y2)b.由eq blc(avs4alco1(2x1，,3y2)eq blc(avs4alco1(x12，,y32.)又B点在坐标轴上

30、，则120或320，所以Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，0).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，0)13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为_解析：设P(x，y)，则eq o(DP,sup6()(x1，y)，eq o(DB,sup6()(5，4)，eq o(CA,sup6()(3，6)，eq o(DC,sup6()(4，0)由B，P，D三

31、点共线可得eq o(DP,sup6()eq o(DB,sup6()(5，4)又因为eq o(CP,sup6()eq o(DP,sup6()eq o(DC,sup6()(54，4)，由eq o(CP,sup6()与eq o(CA,sup6()共线得，(54)6120.解得eq f(4,7)，所以eq o(DP,sup6()eq f(4,7)eq o(DB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,7)，f(16,7)，所以P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,7)，f(16,7).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,7)，f(16,7)14(2019江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设eq o(OA,sup6()(2，1)，eq o(OB,sup6()(3，0)，eq o(OC,sup6()(m，3)(1)当m8时，将eq o(OC,su