勾股定理证明方法的应用

1、课题： 勾股定理证明方法的应用 老师：郑燕 时间： 2022 年 5 月 9 日（星期三）第 6 节 班级： 初二（ 7）班（数学试验班）教学目标： 娴熟把握勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘 徽青朱出入法、欧几里得面积法等） ,懂得证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入法解决一些问题；体验学问的迁 移和方法的运用过程,从而提高分析、类比的才能,提高解决问题的才能；感受勾股定理中折射出的数学文化,体验数学美 . 教学重点： 勾股定理证明方法的应用教学难点： 欧几里得面积法的懂得和应用,应用 教学过程：一、 巩固学问、引出问题：刘辉青朱出入法的懂得和复习勾股定理的几种常见

2、的证明方法（演示自制的 flash 课件）1 赵爽弦图法（构造以斜边c 为边长的正方形）：2 刘徽青朱出入法（面积割补） ：3 欧几里得面积法（三角形全等、平行线间的等积变形）：世界上各个古代文明中几乎都能找到勾股定理的影子,到了近代勾股定理的证明方法更有数百种之多,成为数学大花园中的一朵奇葩,而勾股定理的各种证明方法中也包蕴着精妙的数学思想方法,值得我们好好学习体会 . 二、 运用方法,挑战中考试题：例 1（赵爽弦图法的应用）（2022 年烟台）四年一度的国际数学家大会于 2022 年 8 月在北京市召开 . 大会会标如图 a. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,

3、如大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和是 5,求：（1）中间小正方形的面积；（2）现有一张长为6.5cm,宽为 2cm 的纸片,如图b,请你将它分割成6 块,再拼成一个正方形 . a b此题比较简洁, 由同学独立摸索完成, 师生小结赵爽弦图法对解题的作用,体验运用赵爽弦图法的过程 . 例 2（欧几里得面积法的应用）2022 年北京市海淀区中考题）已知ABC ,分别以 AB 、 BC 、 CA 为边向形外作等边三角形 ABD 、等边三角形 BCE 、等边三角形 ACF 如图,当ABC 中只有 ABC 60 时,请你证明 S ABC 与 S ACF 的和等于 S BCE 与 S ABD

4、的和D A F 此题为 05 海淀中考最终一题, 难度较大,方法不唯独,欧几里得证明勾股B C 定理时所使用的面积法为解决此题提供了很奇妙的证明思路,但题目的外 E 形与勾股定理有较大的出入, 需要同学经过辨别、 分析才能够熟悉到 . 另外,使用方法时,平行线间的等积变形是一个难点,为突破这一难 点,一方面：借助自制的 flash 和几何画板课件可以帮忙同学直观的、清晰的熟悉基本图形,明白基本方法；另一方面,要分析清晰,已知中“ABC60” 为“ 平行线” 、“ 等积变形” 供应了条件,是解题的关键. 简洁证明：连接 AE、BF,得AEC FBC ,SAECSFBC由 AB EC SAECSB

5、ECC B F SA B C F SS A B CSBECSFBC同理：SABDSABFSA B DSB E CSA B F S此题先让同学充分的独立摸索、相互争论,最终师生共同完成,并反思欧几里得面积法对解决此题的作用 同学课下摸索 . 三、 运用方法,动手操作：. 此题的其他证明方法,由勾股定理的各种证明方法, 除了为我们解决一些中考题供应了思 路,仍给我们供应了很好玩的拼图嬉戏 . 例 3（刘徽青朱出入法的应用）把两个小正方形,剪切几刀,重新组合成一个大正方形,这不就是勾股定理的证明,不需借助任何文字与符号, 更能拼出那么多美丽的图案,让我们来比比看, 看谁剪拼得又快又美丽？请表达出你的

6、帮助线（剪开线）,并简要说明拼图的方法 和成立的理由 . 此题是一个发散性的题目, 源于同学利 用课余时间搜集到的勾股定理有关材料,在 动手实践中, 摸索全等和对应的关系, 利用 平移、旋转、轴对称等几何变换,运用几何语言（帮助线的作图）叙 述剪、拼过程,提高识图才能、分析才能、表达才能 . 同学可以在活 动中,发挥自身的想象力与制造性,尝试更多合理的拼图方案,并且 观看和摸索其中的规律, 体验做数学的欢乐和成就感, 感受数学的美 . 四、 小结作业 同学小结作业：1（2022 北京市中考题）请阅读以下材料：问题： 现有 5 个边长为 1 的正方形, 排列形式如图一个新的正方形 要求： 画出分割线并在正方形网格图均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形1,请把它们分割后拼接成（图中每个小正方形的边长小东同学的做法是：设新正方形的边长为 x x 0依题意, 割补前后图形的2面积相等,有 x 5,解得 x 5由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长于是,画出如图 2 所示的分割线,拼出如图 3 所示的新正方形图 1 图 2 图 3 请你参考小东同学的做法,解决如下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形,排列形式如图 4,请把它们分割后拼接成一个