大一下高数9第五节隐函数的求导公式

1、第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形x ,y )1.F(0隐函数存在定理 1 设函数F(x, y在) 点P(x0 , y 0 的)y 0) (Fx0,，0某一邻域内具有连续的偏导数，且y 0) y ) 在0点P(x0, y 0 的)(Fyx0,，0则方程(Fx,某一邻域数的函数 y f (唯一确定一个单值连续且具有连续导x)，它满足条件 y0 f(x0)，并有dyFx .dxFy 隐函数的求导公式由y f ( x), 得F ( x, f ( x) 0 dy FxF F i dy 0dxFyxydxd 2 y FFdy( x ) ( x )ixydx2FFdxyy yyx )FyFF 2yy

2、x F 3y验证方程x 2 y 2 1 0在点(0,1)的某邻例域内能唯一确定一个单值可导、且x 0时 y 1的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0的值.F ( x, y) x2 y2 1 2 y,Fy (0,1) 2 0,解令则Fx 2 x,F (0,1) 0,Fy依定理知方程x 2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x 0时y 1的函数 y f ( x)函数的一阶和二阶导数为dy x ,dy Fx 0,dxydxFyx0y x x y y xyd 2 y1 ,dx2y2y2y3d 2 y 1.dx2x0y2 arctan y ，求dy .

3、x2例 2已知lnxdx解令z,)2.F(x, y0设函F数(x,y在)z点P (0 x ,隐函数存在定理 2y 0 ,z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F (x0 , y0 ,0)z，0则方程F)z,y 0在z0 ) 0F，(x0,0,y(x,zP点(x0,0y,0的z) 某一邻域唯一确定一个单f (值连续且具有连续偏导数的函z数x,，)y 它f (件满足z条0 x ,，0 y，)并有0zzFFxy.xyFFzz 2 z设x yz 4z 0，求x 2 .222例 3 2 z设x yz 4z 0，求x 2 .222例 3F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z,解令z Fxx2 z

4、F 2z 4,F 2 x,x,则zxxFz(2 z) x z(2 z) x 2z 2 zxx2(2 z)2(2 z)2 (2 z)2 x2.(2 z)3设z f ( x y z,xyz)，f例4具有连续的偏导数，zxy，.xyz求思路：z把z 看成x, y 的函数对x求偏导数得x ，y把 y看成x, z的函数对z 求偏导数得z .x把x看成z, y的函数对 y求偏导数得y ，zxy设z f ( x y z,xyz)，求，.xyz例 4zxy设z f ( x y z,xyz)，求，.xyz例 4思路：z把z 看成x, y 的函数对x求偏导数得x ，x把x看成z, y的函数对 y求偏导数得y ，y

5、把 y看成x, z的函数对z 求偏导数得z .u x y z,v xyz,解令则 z f (u,v),把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得zxf (1 z )f ( yz xy z ),uxvxzfu yzfv1 fu xyfv,整理得x把x看成z, y的函数对y 求偏导数得f ( xz yz x ),f (x 1)0 vyuyxxzfv fu,整理得yfu yzfv把 y看成x, z的函数对z 求偏导数得f (y 1) f ( xy xz y ),1 uzyvz 1 fu xyfv.整理得zfu xzfv 2 z2 z设 z 2xz y 0 ，求3及。xyx2 2 z2 z设 z 2x

6、z y 0 ，求3及。xyx2F ( x, y, u,v) 0二、方程组的情形G( x, y, u,v) 0隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，且偏导数所组成的函数行列式(或称 Jacobi）FuFvJ (F ,G) GG(u, v)uv在P 点( x0,y0,yy0,0u,)v方程组则0v不等于零，, u ), u )F(x,G0、 (x,yv0在P 点( x0

7、,0u,的某一邻域唯一确定数连续偏导续且具有单值连组一的函数u(v(uu,x v，) yx,v满)y足条件，它们u(0 x,0 ,v)y 00( x 0,y0 ，)并有FFxvu1 F()G xGv, G,xJ(xFGFvGv, v )uuv 1 (F ,G) FuFxGxFuGuFvGvxJ (u, x)Guu 1 (F ,G) FyFvGvFuGuFvGv,yJ ( y,v)Gyv 1 (F ,G) FuFyGyFuGuFvGv.yJ (u, y)Gu设xu yv 0， yu xv 1，例5uuvv求，和.xyxy解1直接代入公式；设xu yv 0， yu xv 1，例5uxuyvxvy求

8、，和.解2运用公式推导的方法，x求导并移项将所给方程的两边对 x u y v uyxxyxuxv x2 y2 ,J , yx vxx在J 0的条件下，uyxuvyxyyu xv ,u vv xu yv ,yxy2x2xxxyxyy2x2x将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得u xv yu ,v xu yv .yy2yy2x2x2u f (ux, v y)uv,.其中 f , g 具有一阶连续练习、设，求x xv g(u x, vy)2偏导数）练 习 题一、 填空题: arctan y ,则y 2x 21、 设lnxdy .dx2、设z xy z ,则z,xz .y二、 设2 sin( x

9、 2 y 3z) x 2 y 3z,证明： z z 1.xy(fx,y ,z)对三、如果函数任何t恒 满足关系式tz) k tftx(,tyk 次,( f,x, 则y称)函z数(fx,y ,z为)函数,试证:k 次函数满足方程,y .) zx fy ffz kf(x,xyz3 2 z四、z 设 3 3xyz,求a.xy五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:z x22ydydz,求,.1、 设 2x 2y 3 20dx dx22zfv)uv( uux,yu v2、设 ，求,.y x x g,x2v )（其中 f , g 具有一阶连续偏导数）u f ( x, y)六、设函数u( x)由方程

10、组 g( x, y, z) 0所确定,h( x, z) 0且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)y七、设 y zdxf ( x, t ), 而t 是由方程F ( x, y, t ) 0 所确定的x, y 的函数,求dy .dx八、设z z( x, y)由方程=0 所确定,证明: x z y z z xy.xyF ( x x , y z )yx练习题zxxylnz1、一、2、y；yx 1yzxxzlnzy z 13、.x 1yzxzlnyz2 z42xyz22x)2z (y四、.xy2xy)3z(1、五、dy (x 6z 1 d)zx,；zz dx2y(31dx)31112 yv2g)2 f1uu