可逆矩阵判定典型例题

1、典型例题(二)方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵，试证下列各式：若1A0,则(AT)-1，(AT)T;若A、B都是n阶可逆矩阵，则(AB)*，B*A*；(At)*，(A*)t；若1A|,则(A*)-1，(A-1)*；(-A)*，(-1)n-1A*；若1A|,则(A1)-1，(A-1)1(1为自然数)；(kA)*，kn-1A*证(1)因为1A,故A是可逆矩阵，且AA-1，E两边同时取转置可得(AA-1)T，(A-1)TAT，(E)T，E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵.即(A-1)T，(AT)-1利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有2-7)(AB)*(AB)，lABIE另一方面(B*

2、A*)(AB)，B*(A*A)B，B*(lA11)B2-8)，lAIB*B，lAIIBIE，lABIE比较式(2-7)、(2-8)可知(AB)*(AB)，(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆，所以(AB)也可逆，对上式两端右乘(AB)-1可得(AB)*，B*A*设n阶方阵A为TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0aaa11121n HYPERLINK l bookmark8aaa21222naan1n2ann于是可得A的伴随矩阵A*为_A11AA*,12A21A22An1An2AA1n2nnn注意到A的转置矩阵为aaa1121n1aaaAT=1222n2aaa

3、1n2nnn可推出AT的伴随矩阵为A11A12A1n(AT)*=A21A22A2nAn1An2Ann比较A*与（AT）*可知(A*)T=(AT)*(4)因为1A圧,故A可逆,A的逆矩阵为A-1,并且由A*A日A1E可知A*=1AIA-1由于IAIh,A-1可逆且A-1(A-1)*TA-11E可得(A-1)*=丄AIAI另一方面,由(A*)-1=(A-1)*(5)对于(3)给出的矩阵A,有a11-a12a1n-A=a21-a22-a2n-an1-an2一ann-a即j的代数余子式为a11a-1j-1a1j+11A*(A-1)*=IAIA-1A=EIAI由矩阵可逆的定义知，A*可逆，并且-a1na

4、-a-a(-1)i+ji-11i-1j-1i-1j+1a-a-ai+11i+1j-1i+1j+1a-a-an1nj-1nj+1-ai-1n-ai+1n-ann=(-1)n-1A(i,j=1,2,n)ij(1)n1A11(1)n1A21(1)n1Ai(1)n1A12(1)n1A2222(1)n1AI(1)n1A1n1n(1)n1A2n2n(1)n1A1n1(A)*=(1)n1A*（6）因为1A圧故A可逆，并且=(A-1)1（A1）1=（AAA）1=A-1A-1A-1l个7）对于（3）给出的矩阵A,有kA=ka11ka21ka11ka22ka1nka2nkan1kan2kannkakn1A类似于（

5、5）可知j的代数余子式为Aj,故例2设A是n阶非零矩阵，并且A的伴随矩阵A*满足A*=AT，证明A是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有AA*=A*A=1AIE反证，假设A不可逆，故有1A=,由上式及条件A*=AT，有2-6)AA*=AAT=O设矩阵A为a11a21a12a22a1na2nan1an2ann由式（2-6）可知AAt=a11a21a12a22a1naa11a12a21a22an1an2an1区an2ann-a1na2na21i厶aa1i2i另aa2i1i戈a22iai=12na1inii=1anni=1a2ini区a2nii=1厶aani2ii=1厶aani1i-

6、i=1比较上式两边矩阵对角线上的元素有工a2=0(j=1，2,，n)jii=1aa=a0(j1，2，n)j1j2jn因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾，故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：(AB)1二A1B1的充要条件是AB=BA证必要性：因为(AB)1=A1B1=(BA)1因此(AB)(AB)1(BA)=(AB)(BA)1(BA)即AB=BA充分性：因为AB=BA,故(AB)1=(BA)1=A1B1例4设A是一个n阶方阵,n为奇数，且1Al=1,AT=A1，证明(1A)不可逆.证因为At=A1,故AAt=AA-1二E因此有IEA1=1AAtA1=1A(AtE)I=1AII(

7、AE)t|=|AEI=(1)nIEAI=IEAI所以E-A=0故EA是不可逆矩阵.例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足Ak=O，证明E-A是可逆矩阵，并求(E-A)1.证由于1一xk=(1一x)(1,x,x2,xk-1)故对于方阵A的多项式，仍有EAk=(EA)(E+A+A2+Ak-1)注意到Ak=O，故有(EA)(E+A+A2+,Ak-1)=E因此(E一A)可逆，并且(EA)1=E+A+A2+Ak-1n(n2)(A*)*人例6设A是阶方阵，(A)是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵，证明:(1)(A*)*=IAIn-2A；I(A*)*I=IAI(n-1)2证(1)利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系

8、，有AA*=IAIE即A*(A*)*=IA*IE从而有AA*(A*)*=IAI(A*)*=AA*(A*)*=IA*IA对AA*=IAIE两边取行列式，有IAA*I=IAIIA*I=IIAIEI=IAIn若A可逆,IAI0，故IA*I=IAIn-1于是有A*-1A=1AIn2AA若A不可逆，则1AI=A*的秩小于或等于1,故(A*)*=0,仍有(A*)*=IAIn-2A(2)对A*(A*)*=IAI*E两边取行列式，有IA*(A*)*I=IAI*I(A*)*I=IIA*IEI=IA*In若A可逆，所以AI，0,从而有A*=IAIn-1，0,于是可知I(A*)*I=IA*In-1=(IAIn-1)

9、n-1=IAI(n-1)2若A不可逆，则I(A*)*I=0=IAI(n-1)2例7设A、B是同阶方阵，已知B是可逆矩阵，且满足A2+AB+B2=0，证明A和A+B都是可逆矩阵，并求它们的逆矩阵.证因为A2+AB=A(A+B)=-B2,由于可知(A+B)-1=-(B2)-1A可知A-1=-(A+B)(B2)-1IA(A+B)I=IAIIA+BI=I-B2I=(1)nIBI2,0所以IAI,0IA+BI,0因而有A，A+B可逆.由(B2)-1A(A+B)=E由一A(A+B)(B2)-1=E例8设A、B均是n阶方阵，且E+AB可逆，则E+BA也可逆，并且(E+BA)-1=EB(E+AB)-1A证考察

10、两个矩阵的乘积(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A=E+BA-B(E+AB)-1A+AB(E+AB)-1A=E+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+BABA=E因此(E+BA)可逆，并且(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆，证明：A-1+B-1也可逆且(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(A+B)-1A(A+B)-1=A-1A-1(A-1+B-1)-1A-1=B-1B-1(A-1+B-1)-1B-1证(1)因为A-1+B-1=A-1A(A-1+B-1)BB-1=A-1(A+B)b-1两边取行列式有IA-1+B-1I=IA-1IIA+BIIB-1IIB-1I,0IA+BI,0所以有因为A、B、A+B可逆，故丨A-10IA-1+B-1I,0故A-1+B-1是可逆矩阵.(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B=(E+B-1A)B-1(A+B)-1同理可证(A+B)-1B-1B-1(A-1+B-1)-1B-1(E+B，