压杆稳定习题

1、压杆稳定习题1、对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的。2、图示边长为a 2Pb C Pa = Pb D 不可确定.细长杆承受轴向压力 P的作用，其临界压力与（）无关A杆的材质B杆的长度C杆承受压力的大小D杆的横截面形状和尺寸.压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响A长度、约束条件、截面形状和尺寸B材料、长度和约束条件C材料、约束条件、截面形状和尺寸D材料、长度、截面尺寸和形状.在材料相同的条件下，随着柔度的增大（）A细长杆的临界应力是减小的，中长杆不变B中长杆的临界应力是减小的，细长杆不变C细长杆和中长杆的临界应力均是减小的D细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的.

2、两根材料和柔度都相同的压杆，（）A临界应力一定相等，临界压力不一定相等B临界应力不一定相等，临界压力一定相等C临界应力和临界压力一定相等D临界应力和临界压力不一定相等.在下列有关压杆临界应力b cr的结论中，（）是正确的A细长杆的（T cr值与杆的材料无关B中长杆的（T cr值与杆的柔度无关C中长杆的（T cr值与杆的材料无关D粗短杆的b cr值与杆的柔度无关.在横截面面积等其他条件均相同的条件下，压杆采用图（）所示截面形状，其稳定性最好.A. A B. B C. C D. D二、计算题图示为支撑情况不同的圆截面细长杆解：在材料相同、截面相同的情况下，相当长度最小的压杆的临界力最大。l 2 l

3、 2ll 1 1.3l 1,3ll0.7 1.7l 1.19ll0.5 2ll ,临界力最大。，各杆直径和材料相同，哪个杆的临界力最大。(d)(a)( b )( c )( d )(a )( b )解:,1l2(2l)2图示为支撑情况不同的两个细长杆，两个杆的长度和材料相同，为使两个压杆的临界力 相等,b2与b1之比应为多少?.(2 : 1 ) TOC o 1-5 h z 448b4掷人，、，、12 4I1 : 4令(1) = (2)：1212b22bl10.3较接结构ABC由截面和材料相同的细长杆组成，若由于杆件在ABC平面内失稳而引起 破坏，试确定荷载F为最大时(两个杆同时失稳时)的。(0

4、9 入圆=3.2( d),矩形截面杆临界应力小,Fcr矩=0.1E (兀d2/ U)2 Pcr圆=0.0767 E (兀d2/ U)2 ,圆形截面杆临界力小解：对细长杆，rr cr2ei I?d1.2d d 矩形 I(1.2d) d31r A,121.2d2d2、3,_lir3.464 d圆形：icd44 d(0.8l) l 3.2 icdcc矩形截面杆临界应力小2E (1.2d0 O1 2Ed412( l)2. l2Fcr,2E ( d4)2Ed42 0.077 64(0.8 l)2l210.8图中两压杆，一杆为正方形截面，一杆为圆形截面，a=3cm,d=4cm.两压杆的材料相同 材料的弹性

5、模量 E = 200GPa,比例极限 卬=200MPa ,屈服极限 卡240MPa,直线经验公式 r= 304-1.12入(MPa),试求结构失稳时的竖直外力F.。(F =213kN )解：(1)受力分析：Fni2 3F-0.732F,Fn21 .3(2)稳定性分析:2EE 100, 01l1i 11 .2 100020/(2 . 3)163.3Fnicr1Ai : 0.896F2e21Fi2份12cr21 2 1000 440A2: 0.732 F2002ed26074.2kNF2 47.6kN取F=F2=47.6kN10.9图示钢柱由两根10号槽钢组成，材料的弹性模量E = 200GPa,

6、比例极限 op= 200MPa ,试求组合柱的临界力为最大时的槽钢间距解:(1)令 Iy = |za 及最大临界力。(a 43.2mm, Fcr=489kN )Iz 2 1980000mm2、Iy 2(Iy0 (Z0 a/2)1275)a 43.2mm(2)临界力计算(参考题10.5)1 400039.5101.3Fcr2?200000A 2- 2 1274101.3490513N 490.5kN10.10图示正方形架，由五根圆钢杆组成，正方形边长为 1m各杆直径均为 50mm已知:入 1 = 100 , A2 = 60 , a = 304MPa, b = 1.12MPa, E = 200GP

7、a ,同=80MPa。规定的安全系数为 nst = 3 。求结构在图(a)工况下的许可载荷。当F =150kN 时，校核结构在图(解：(1)受力分析各杆轴力如图示(2)图(a)工况下的许可载荷 强度计算：周边各杆受拉4Fnd2由 4F 5.0932 d2b)工况下的稳定性。F / . 2F / ,2F-FF /，,2F八24 _10 Fd(a)F /2FF/ . 2F / 2bd(b)F 2l-1稳定性分析80502222.1kN4:内杆受压4 2 100050113.12E cr2-154MPa大柔度杆!cr n1545.093 10 4FF2 100.8kNNst取F=100.8kN(3)

8、图(b)工况下的稳定性crcr4 1000 ”80 p503044F2d2141.12 214MPa76.39MPa F2100.8kN中柔度杆!2.8 nst76.3稳定性不够.内杆受拉，不存在稳定性问题.第九章压杆稳定习题解a所示坐标系及挠度曲线习题9-1在 9-2中已对两端球形较支的等截面细长压杆，按图形状，导出了临界应力公式2EI H Eb 一 k/乙。试分析当分别取图 b,c,d所不坐标系及挠曲线形状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又是否相同。解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为（b）图与（a）图具有相

9、同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是EIw M（x）。（c）、（d）的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：EIw M（x）,显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。挠曲线的临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:Pcr2EI2 l习题9-2图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：凡它们能承受的压力与原压相的相当长度 度系数。2ei由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,l的平方成反比，其中，为与约束情况有

10、关的长l 1 5 5ml0.7 7 4.9m(c )l0.5 9 4.5m(d) l 2 2 4m(e ) l 1 8 8m(f)l 0.7 5 3.5m (下段)；l 0.5 5 2.5m (上段)故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆Fer最大。 cici习题9-3图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为 Pcr2 EImin2(2.l)2?为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座上

11、）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全？解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2,其临界2EI券。但是, (2.1)22 ,因此，不能用EImin(2.1)2来计算临界力。(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度C MEI20，l且无侧向位移，则:EIwM(x)Fcr(w)令员 k2,得：w k2w k2EI微分方程的通解为：w Asin kx Bcoskxw Ak coskx Bk sin kx由边界条件：

12、x 0, w 0, w M ； x l , wC C解得:A Zc-b ,c- sin klcosklCkCk整理后得到稳定方程:kl tan kl20EI /l用试算法得：kl 1.496故得到压杆的临界力:Fcr(1.496)2 号2EI 2 (2.1l)2因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度 C有关，C越小，则 值越大。当C 0时,螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是

13、固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的 弹性支座较合适。这种情况，2,算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C M 20旦，l一 Per2.1 2则：F 1.1025, Pcr固端1.1025 Pcr,弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它看Pcr弹簧2“作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。习题9-4试推导两端固定、弯曲刚度为EI ,长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力 的欧拉公式。解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为B

14、r,水平反力为0,约束反力偶矩两端相等，用 Me表示，下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则 M e的 转向为逆转。M(X) PcrV(X)MeEIvPcrV(X)MeEIv(x)回，令k2EI良，则EIk21EI,212M ek vk Pcr上述微分方程的通解为:v Asin kx B coskxMePcr.(a)v Ak cos kx Bk sin kx边界条件： x 0; v 0： 0 Asin0 Bcos0 %；BPcrPcr x 0v 0： 0 Akcos0 Bksin0； A 0。把A、B的值代入(a)得：M e ，、 ,Me .v (1 coskx) v ksin

15、 kxRrPcrMe ,边界条件： x L； v 0： 0 (1 coskL) , 1 coskL 0Pcr% ksinkL sinkL 0Pcr以上两式均要求：kL 2n , (n 0,1,3,.)EIv M (x) M e Pcrv(x)其最小解是:, , c ,2kL 2，或 k 2故有：k2(0.5L)2良，因此:EI2ei2(0.5L)2习题9-5长5m的10号工字钢，在温度为 00C时安装在两个固定支座之间，这时杆不受 力。已知钢的线膨胀系数l 125 10 7(0C) 1, E 210GPa。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？ 解：丁X33X10-872=292c/7 =

16、做.血一, 出总产 125X1Q-7 x14.3xW+习题9-6两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件， 分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力 F之临界值的算式(按细长杆考虑)，确定最小临界力Pcr的算解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况:(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:*二。.5_ EI _ 十厩 的明一 力 (冒第 Q.125不一 短(b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳口=2失稳时整体在面内弯曲，则 1, 2两杆组成一组合截面。尸 Z EI #

17、耻 .八= r =V 0 2 +4-)尸 12短(c)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳江”更乂 2乂叫一3 口才尸 64 _ n EdW 123Ed 4故面外失稳时 Pcr最小：Pcr dr1281习题9-7图示结构ABC而三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在 B点钱支，而在 A点和C点固定，D为较接点，-10 。若结构由于杆件在平面 ABCXJ弹性失稳而丧失承载能 d哈生毕士旦有丝RWE广 产 2 F36.024 EIl2若由于杆件习题9-8图示较接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的 角（假设0解：要使设

18、计合理，必使 AB杆与BC杆同时失稳,即:Pcr, AB2eiIab2F cosPcr, BC2eiIbc2F sinF sinF costan(暑)2l BC,2cot2arctan(cot习题9-9下端固定、上端钱支、 并符合钢结构设计规范中实腹式长l 4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示,b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235钢，强度许用应力170MPa，试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得:4 三 2x198.3x10 = 398 8Kl(T8m4匕=2x(25.6xl0-s + l274xl0-4 x32.3a xIO_0) = 325 3x10 m而二二0m=

19、4 = 0-301x170 = 51 2MPa5,=J4crst =2x12.74x10 x51.2x1 = 130 x1b3 N = 130kN习题9-10如果杆分别由下列材料制成：(1)比例极限 P 220MPa ,弹性模量E 190GPa的钢；P 490MPa , E 215GPa,含馍 3.5%的馍钢；p 20MPa, E 11GPa 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1）(2)星火竺一熊3220 x10sATt E磊jpxllxlO5 20 xWe(3)= 73 7习题9-11两端钱支、强度等级为 TC13的木柱，截面为150mnX 150mm勺正方形，长度

20、l 3.5m,强度许用应力10MPa。试求木柱的许可荷载。解:皿_ 1x3 5 丁 一 43.3乂104= 80,8 51由公式（9-12a ）二 Q,393 = 4cr=0,393xlOxlOsxl502xia=88.4xW3N = 88.-i|kN习题9-12图示结构由钢曲杆 AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连接 均为较连接，在 B点处承受竖直荷载 F 1.3kN ,木材的强度许用应力10MPa 。试校核BC杆的稳定性。解：把BC杆切断，代之以轴力 N,则1.3 1 NcosC 1 NsinC 11.3sin C cosCsin C221.520.8cosC1.5.2

21、2 1.520.61.30.8 0.60.929(kN)bh31213440 40213333(mm )1221333340 4011.547( mm)1 2.5 10311.547216.5 91由公式（912b）得:28002800_ _2216.50.0597st 0.0597 10 0.597MPa0.581MPa929 N一 一 240 40mm因为1st,所以压杆BC稳定。习题9-13 一支柱由4根80mm 80mm 6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为较支，柱长l 6m,压力为450kN。若材料为Q235钢，强度许用应力17

22、0MPa ,试求支柱横截面边长 a的尺寸。解：肝45 0 M 孑1 = 77.5馍 _ 1x6T- 7750.0774 m 小 ：, .丁 I1 - r-Il - m一二4岛 + 4(| 21.9)%10人”22L9T-/0)xWs2(21.9 +57.35)x1 xl O6) = 191匚二一 1：mm习题9-14某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为 Q235钢，170MPa。若按两 端钱支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解：由型钢表查得125k 125汉10角钢:月=24.37 乂以 1x4A =k =-

23、J得 .4 二.：-查表：11 一故一 ,二.：，_： _ -J 1 二，二习题9-15图示结构中，BC为圆截面杆，其直径 d 80mm; AC边长a 70mm的正方形 截面杆。已知该结本的约束情况为 A端固定，B、C为球形镀。两杆的材料均为 Q235钢，弹 性模量E 210GPa,可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数nst 2.5,试求所能承受的许可压力。解：BC段为两端钱支，1643.1480 4 2009600(mm4)PCr2EI3.142 210 103N/mm2 2009600mm42220002mm21040227N1040.227kNFbc1040.227nst2.

24、5416(kN)AB杆为一端固定，一端钱支，0.712144702000833( mm )12Pcr2EI(l)23.142 210 103N/mm2 2000833mm42 1 002 mm2939400.621N 939.4kNPcr939.4Fac 375.76 376(kN)nst 2.5故F 376kN习题9-16图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15o若架上受集度为 q = 50的均布荷载作用，AB两端为柱形镀，材料的强度许用应力R卜11Mp，试求撑杆所需的直径 d。解：取m m以上部分为分离体，由 工 二 ,有兄国 领 30B x2.4 =50 x3% = 2

25、14 kN214x1=7 53xl0dP = 0.683, = 0.683xcr=7 513MPa/二无.26101 H = 0.19 m1x2 77丁日.。2-。.双号冷。683求出的中与所设中基本相符，故撑杆直径选用 m = o.i9m习题9-17图示结构中杆 ACM CD匀由Q235钢制成，C, D两处均为球饺。 已知刘二20 mm 启=100 mm 人= 1gmm s = 200GPa , 0s =235MPa , % = 4d0MPa .强度安全因 数 -23 稳定安全因数 收吐二10 。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆C位压力F CD梁BC中最大弯矩 M B2F(2)梁BC中M

26、b 2八6 4斤/CT = =SW 3xbh2 bh2 翼F235xl06 xlOOxlSOaxlO-*4x2.0= 95175Sr=95.2kN(3)杆 CD(Q235钢的 P100)_富 1 _ -白 _ tt%20Uk109 乂ZQiglO 产一产发 64 -64 K13= - - /b 1一；一二F=3% 二3%（由梁力矩平衡得）15.5x33.0=15.5kNFcd。由变形协调条件可知,WC l CDwCqWcFcdCD故，由（2）、（3）可知，F 15.5kN习题9-18图示结构中，钢梁 AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根63mm 63mm 5mm角钢组成，杆 C四合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 q 48kN/m。梁及柱的材料均为 Q235钢，170MPa ,E 210GPa。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力Fcd把CD干去掉，代之以约束反力5ql ABF CD l AB F CDl CD384EI48EIEA TOC o 1-5 h z 435ql ABF CD l AB F CDl CD384I48I A查型钢表得：16号工字钢的I z 1130cm4, Wz 14