浅谈正定二次型的判定方法

1、第 页共13页项的个数称为的f负惯性指数.第 页共13页浅谈正定二次型的判定方法摘要二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。关键词二次型矩阵正定性应用引言在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对

2、应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.二次型的相关概念二次型的定义设p是一个数域，aGp,n个文字x,x，x的二次齐次多项式ij12nf(x,x，x)=ax2+2axx+2axxHFax2=axx12n11112121313nnnijiji=1j=1(a=a,i,j=1,2,.,n)称为数域上p的一个n元二次型，简称二次型.当a为实数时，f称ijjiij为实二次型.当a为复数时，称f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即ijf(x,x,.,x)=dx2Fdx2F.Fdx2称f为标准

3、型.12n1112nn定义1在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性Z2+Z2+Z2-Z2-Z2，其中正平方项的个数p称为f的正惯性指数，负平方12ppF1r二次型的矩阵形式二次型f（x,x，,x）可唯一表示成f（x,x，,x）=xTAx,其中x二（x,x，,x）T,12n12n12nA二（a）为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），jnxn称A的秩为二次型f的秩.正定二次型与正定矩阵的概念定义2.3.1设f（x,x,.,x）=xTAx是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不12n全为零的实数c,c,.,c都有f（c,c，c）0，

4、则称/为正定二次型，称A为正定矩阵；如12n12n果f（c,c，c）0，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果f（c,c，c）0，12n12n则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果f（c,c，c）0（或XTAX0（或XTAX0）成立，且有非零向量X0，使XTAX=0，贝9称f=XTAX为半正定（半负定）二次型，矩阵000A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.定义3n阶矩阵A=（

5、a.）的k个行标和列标相同的子式ijaaaiiiiiii2iiikaaai2i1i2i2ik(1iii0(2)1122nn若有某个d(1in),比方说d0.则对y=y=y=0,y=1这组不全为in12n-1n零的数，代入(1)式后得f=d0.(i=1,2,n)i即f的正惯性指数等于n(u)如果f的正惯性指数等于n,则d0,(i=1,2,n)于是当x,x,x不全为零TOC o 1-5 h zi12n,即当y,y,y不全为零时(2)式成立,从而f是正定型12n定理2实二次型f(x,x,x)=XAX(A=A)是正定二次型的充要条件是对任 HYPERLINK l bookmark48 o Curren

6、t Document 12n何n维实的非零列向量X必有XAX0证明(二)由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换X=QY,使XAXy2+y2+y2(1)12n对X丰0,因Q非奇异,故Y丰0,于是由可知XAX0(u)设XAX的秩与正惯性指数分别为r与p,先证rp,如p0,但对列向量XQ(0,.,0,1,0,.,0)h0(因Q是非奇异阵,1是X的第p+1个分量)却有XAX-10这与假设矛盾故rp.再证rn.如果rn,则(2)式应化为XAXy2+y2+y2,r0,(k=1,2,n),考虑以A为矩阵的二次型kkg(x1,x2,，x)kk乙乙axxijiji=1j=1由于g(x,x,x)=f(x

7、,x,x,0,0)所以当x,x,x不全为零时，由f正12k12k12k定二次型可知g0,从而g为正定二次型，故|A|0.k(u)对二次型的元数n作数学归纳法当n=1时,f(x)=ax2,因为aii0,所以f正定,假设n1,且对n-1元实二次型结111111论成立aa由于a=a0,用-f乘A的第1列到第i列，再用-亠乘第A的第1行到第i行1111aa1111(i=2,3,n),经此合同变换后,A可变为以下的一个矩阵第 页共13页1第 页共13页a0ii0因为矩阵A与B合同,所以B是一个n阶对称矩阵.从而也是对称矩阵上述的变换不改变A的主子式的值,因此,B的主子式也全大于零，而B的k(2k0于是A

8、的主子式全大于111,111零,由归纳假设，A与I合同,所以A与单位矩阵合同,此即f是正定二次型1n-1定理6实二次型f(x,x,x)二XAX(A=A)是正定二次型的充要条件是矩阵12nA的顺序主子式全都大于零证明(n)实二次型f(X,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型，则由定理5可知12nA的主子式全大于零，所以A的顺序主子式也全大于零.(u)对二次型的元数n作数学归纳法当n=1时,f(x1)-anx12,由条件知an，所以f(x1)是正定的.、a1,n-1假设充分性的判断对于n-1元的二次型已经成立，现在来证n元的情形.a1n(a11Wn-1,laa丿n-1,1n-1,n-1于是矩阵A

9、可以分块写成：A=a丿nn则的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定，A是正定矩阵则存在可逆的n-1阶矩阵G,使得GAG=En-1于是CAC11Grl0Gaa人nnn-1laGa丿nn再令C2=则有CCACC=2(En1100、aaGGa丿nn令C二CC12(1annaGGa二d就有CAC=两边取行列式,C卩|A|=d，则由条件|A|0,因此d0.所以矩阵A与单位矩阵合同，因此A是正定矩阵即f是正定二次型定理7实二次型f（X1,X2,，）二XAX（A二A）是正定二次型的充要条件是矩阵A二TT（T是实可逆矩阵）证明（实二次型f（*x2,）二XAX（八A）是正定二次型，则由定理4可知存在可逆矩阵C,使

10、得CAC=E则A二(C)-1C-1二(C-1)C-1令T=C-1,则A二TT(u)若A二TT,则f(x,x，,x)二XAX二XAX二XTTX=(TX)(TX)TOC o 1-5 h z12n令Y二TX贝yf(x,x，,x)二YY二y2+y2+.+y212n12n所以f为正定二次型. HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 定理8实二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型的充要条件是TAT12n正定矩阵(其中T是实可逆矩阵)证明(实二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型，则A是正定阵,12n令T-1X=Y(其中T可逆)则f(x

11、,x,x)二(TY)A(TY)二YTATY12n又因非退化线性替换不改变正定性,则f(x,x，,x)二YTATY12n是正定二次型，所以TAT是正定阵(u)TAT是正定阵，令g(y,y,y)二YTATY，则g(y,y,y)是正定二次型12n12n令X二TY则g(y,y,y)=f(x,x,x)二XAX是正定二次型12n12n定理9实二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型的充要条件是矩阵12nA的全部特征值都是正的证明(实二次型f(x,x,x)二XAX(A二A)是正定二次型，则A是正定阵,12n又对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵T,使得TAT=T-iAT成为对角形

12、i令TAT=T-1AT=则九0,(i二1,2,n)否则与f为正定二次型相矛盾,i则T-1AT特征值为九，九，,九均大于零，即为正的.12n又相似矩阵有相同特征值，则A的特征值也均为正(u)A的全部特征值均为正的,则存在一个n阶正交矩阵T，使得iTAT=T-iAT=其中九(i二1,2,n)为A的特征值，此由相似矩阵有相同的特征值得到.i第 页共13页3第 页共13页令X二TY,则f(x,x,x)二XAX二YTATY二九y2+九y2+九y212n1122nn所以f为正定二次型定理10实二次型f(x,x,x)二XAX(A=A)是正定二次型的充要条件是矩阵12nA是正定阵证明(n)实二次型f(x,x,

13、x)二XAX(A二A)是正定二次型，则由正定阵的12n定义可知A是正定阵.(U)A是正定阵，则A的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.性质：若A为n阶实正定阵，显然At，A-1也是正定阵注(1)若A是负定矩阵，则-A为正定矩阵.A是负定矩阵的充要条件是：(-1”IA10,(k=1,2,n).k其中A是A的k阶顺序主子式.k对半正定(半负定)矩阵可证明以下三个结论等价:对称矩阵A是半正定(半负定)的；A的所有主子式大于(小于)或等于零；A的全部特征值大于(小于)或等于零.例1考虑二次型f=x2+4x2+4x2+2xx-2xx+4xx，问九为何值时，f123121323为正定二次型.

14、（1九-1解利用顺序主子式来判别，二次型f的矩阵为A=九42，A的顺序主子式为I-124J-121=4九24X+8=4（九一1）（九+2）.4于是，二次型f正定的充要条件是：A0,A0,有A=4九20,可知，2X0,可得-2九1,所以，当一2九0(，从而丄0(k=1,2n)即,EA1的特征值全大于零故，E一A-1为正定矩阵.k例3设有n元二次型f(x,x,x)=(x+ax)2+(x+ax)2+(x+ax)212n112223nn1其中a(i=1,2,n)为实数，试问：当a,a，,a满足何种条件时，二次型f(x，,x)为i正定二次型.解令rx)1x20、000a110000000.001an-1

15、.01二1+(-1)n+iaaa丰0，即当aaa主(-1)n时，原12n12二次型为正定二次型.例4设A,B分别是m,n阶正定阵，试判定分块矩阵C=是否为正定矩解因为A,B都是实对称阵，从而C也是实对称阵.且VXeRm+n,X主0,令(X)1IX、2y则X1eRm,X2eRn，且至少一个不为零向量于是XtCX=XtXT120、B丿(X=XtAX+XtBX01122故C为正定阵.例5若A是n阶实对称阵，证明：A半正定的充要条件是对任何卩0,B=卩E+A正定.证A是实对称阵，从而存在正交阵T,使其中X为A的全部实特征值.九丿n先证必要性若A半正定，则九0,(i二1,2,n).又因为i厂卩+片所以B

16、的全部特征值为+九0(i二1,2,n)i又B=BeRm+n，B为正定阵.再证充分性若A不是正定阵，则存在0，此时可令卩二-才，则卩0,但(卩+九iB二卩E+A=T2即B中有一个特征值为牛0，这与B为正定阵的假设矛盾，从而得证A是半正定的.例6设A=(a)是阶正定阵，证明：ij(1)对任意i丰j，都有a：10aaajjijijjj移项后，开方即证论可知由此即证aij10).再由第一问结kkkka：(aa)2a2=a(i主j)iijjkkkkaija(i,j=1,2,n)kk即A中绝对值最大元素必在主对角线上.结束语二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许

17、多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问第12页共13页第 页共13页题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.参考文献王萼方，石生明高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社，2008.白蒙蒙，朱小琨实矩阵正定性的简单判别方法M高等函授学报LiuMaoshengTheExtensionofpositivematrix,JournalofChongQINGvocational&technicalinstitute.HeChunLingTheDisc