概率论2概率3已知随机变量且

1、已知随机变量 且 X 与 Y 独立，设随机变量 Z=X-2Y+7, 求 Z 的概率分布。解 由正态随机变量的性质知 Z 仍服从正态分布故知结论另外，若 则作业讲解解：由题知 X, Y 的联合密度函数为 （P61第29题）设 X , Y 相互独立，且都服从0,2上的均匀分布，求注：也可先 求 Z=X-Y 的分布设 X ，Y 相互独立，其密度函数分别为求 Z=X+Y 的概率密度。教材P61第31题解易知：设(X ,Y) 分布密度函数分别为求 (1)关于 X, Y 的边缘分布密度，并判断 X, Y 是否独立。 (2) Z=X+2Y 的概率分布。教材P61第32题解 先定常数A。故（1）求边缘分布。由

2、于故 X, Y 独立。教材P61第32题 (2) 求 Z=X+2Y 的概率分布。 方法1 先推导 Z=X+2Y 的分布函数。教材P61第32题由分布密度的定义知， 的分布密度为同理可得， 又可写成本题中，易知： (2) 求 Z=X+2Y 的概率分布。 方法2 先推导 T=2Y 的分布密度函数。由题，X 与 Y 独立，可知 X 与 T 独立。教材P61第32题教材P61第32题由卷积公式二.随机变量函数的数学期望 (2)X 是连续型随机变量且概率密度为 f(x)。如果 绝对收敛，则有1.一维情形定理 设Y是随机变量X 函数，Y=g(X) , （g是连续函数） (1)X 是离散型随机变量且分布律为

3、 如果 绝对收敛，则有课前复习定理 1)设(X，Y)为二维离散型随机向量，其分布律为Z 是 X,Y 的函数 ，则2)设(X,Y)为二维连续型随机向量，其分布密度为 ，Z是 X，Y 的函数 ，则 二维r.v.的函数求数学期望公式数学期望的性质(1)设 C 为常数，则 。(3)设 X、Y为两个随机变量，则(4)当随机变量 X 与 Y 相互独立时， 。注: (3),(4)可以推广至有限个随机变量的情形。(2)设X 随机变量设 C 为常数，则课前复习 1. 设 X 的分布密度为 求 EX 和 EX2 .课 前 练 习2 设（X，Y）在 A上均匀分布，其中A为 x 轴，y 轴 及 x+y-1= 0 所围

4、成的区域，试求 Z=2Y2 的数学期望。 1. 设 X 的分布密度为 求 EX 和 EX2 .解2 设（X，Y）在 A上均匀分布，其中A为 x 轴，y 轴 及 x+y-1= 0 所围成的区域，试求 Z=2Y2 的数学期望。解 由题知 (X, Y )的联合密度为1. 方差注 (1)方差描述了r.v.取值偏离其数学期望的变化情况。 若 X 取值越集中，则 DX 越小；反之，则 DX 越大。注 (2)任何一个随机变量的方差都是非负的，即 。注 (3)若 X 为离散型随机变量，则 若 X 为连续型随机变量，则 方差计算公式的常用形式2.几种常见分布的方差： (1) 两点分布 (2) 泊松分布 由此可知

5、，对于服从泊松分布的随机变量，它的数学期望与方差相等，都等于参数 。因为泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差，就能完全确定它的分布了。例2.求均匀分布的方差。解：均匀分布的分布密度为例3.求指数分布 的期望和方差。解 的密度为两边关于 求导两边关于 求导再由故 由此可知正态分布的第二个参数 恰好是它的方差。因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。特别地，对于标准正态分布，其均值为0，方差为1。例4.求正态分布 的方差。解： 的密度为3.方差的性质 设 为常数，则 。 设 为常数，X 为随机变量，则 。证（因为 ） （3）设X为随机变量，c 为常数，且 则注:此性质称为方差

6、的最小性.（4）设X、Y 为两个r.v.，则 注：对有限个相互独立随机变量之和,有类似的结论。（5）设 X 为随机变量，则 ，C 为 一常数。特别若X、Y 为相互独立，则 注：称 为 X 的标准化随机变量。解：例5.设随机变量 X 的数学期望为EX，方差为DX,又因为 相互独立，所以例6. 求二项分布 b(n, p) 方差。解：则 服从两点分布，故 ， 。设，则前已求得设第 i 次试验中 A 发生第 i 次试验中 A 发生4.几种常用分布随机变量的期望和方差例7 设r.v U 在区间-2, 2上服从均匀分布，随机变量解（1）先求 X 和 Y 的联合概率分布 试求 (1) X 和 Y 的联合概率

7、分布；（2）D(X+Y) （2）X+Y 的分布为 例7 设r.v U 在区间-2, 2上服从均匀分布，随机变量试求 (1) X 和 Y 的联合概率分布；（2）D(X+Y) 第三节 相关系数与相关阵 对于二维随机变量 (X, Y ) ，除了研究 X, Y 的数学期望和方差外，还需要研究描述 X 与 Y 之间相互关系的数字特征。本节给出这些数字特征。一. 协方差与相关系数 设 X 与 Y 为两个r.v.，如果 存在，则称其为随机变量X 与 Y 的协方差，记为 ，即称为 X 与 Y 的相关系数。注. 2）协方差和相关系数的性质注: 1) 协方差的常用计算形式注：例1. 设(X , Y)的分布密度为求

8、 X 与 Y 的协方差及其相关系数。故解：类似得：二. 相关系数的性质定理：1) ； 2) ，其中 为常数。证明 因为对上式为关于的二次三项式，其判别式应0.故得且即存在常数a, b，使证毕即问：0 的表 达式如何？ 由定理知，若 ，则 X与Y 以概率 1 线性相关。其几何意义就是如果把 (X, Y) 看成是平面上的随机点，那么这些随机点几乎落在一条直线上，因此相关系数 是度量 X与Y 之间线性关系密切程度的一个量。 越接近于1，则 X与Y 的线性关系越密切； 越接近于零， X与Y 之间的线性关系越不密切。若由证明过程中，知此时X 增大时，Y 有增大的趋势；此时X 增大时，Y 有减小的趋势。三.不相关定义 若 ，则称随机变量 X与Y 不相关。若 ，则称随机变量 X与Y 完全正相关；若 ，则称随机变量 X与Y 正相关；若 ，则称随机变量 X与Y 负相关；若 ，则称随机变量 X与Y 完全负相关。一般地，两个结论结论1 若随机变量X与Y 相互独立，则 X与Y 不相关； 但反之不真。结论2 若（X，Y）服从二维正态分布，则 X与Y 独立的 充分必要条件是X与Y不相关。注：下列说法等价 (1) X与Y 不相关例2. 设（X，Y） 的分布密度为试证明X与Y 不相关,且 X与Y 不独立。证明：由例1结果即知X与Y 不相关。所以 ，故X与Y不相互独立。又因为 例3.设（X，Y ）服从二维正态分