喀兴林高等量子力学EX3,4,5

1、（做题人：韩丽芳校对人：胡相英）（好）1的复数；幺正算符的幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是 两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。证明：设算符U为幺正算符,即证得幺正算符的本征值都是绝对值是u为对应的本征值。的复数。设算符U为幺正算符的两个本征值为5、2，对应的矢量分别为u1 u2。1.15因为幺正算符所以u2u2U 1则有u1 u2u u20,2)0,即u1 u21）和2）正交。即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。投影于某一子空间的投影算符P ,既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？（女?）m解：投影于某一子空间的投影算符P

2、|i)(i|,设全空间是n维的，且m n。i 1则本征值方程m TOC o 1-5 h z P 剂)I i 1其中 为本征值，:为相应的本征态。则p2l ) P ) 2| )由幺正算符等哥性 p2 P得P2I ) P )由、和式得 2 ，所以 1或 0。即求得投影算符的本征值是1或0。当1时，本征失量是i),其中i 1,2, m。所以是简并的，本征子空间S是由这m个基矢构成的矢量空间。当 0时，本征矢量是与 i)正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是 S空间的补空间。#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。证明：假设算符 A有逆，则在值域中取一任意|。,则定义域

3、有|少存在即 | ) 1 ) AA | )Q已知A的全部本征值和相应的本征矢量：A j ai| ) i=1 , 2, 3， AA | ) a A ；-Q算符A存在零本征值，即a 0 a ) |0)对于任意本征矢量A A a )与)a A )矛盾假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。#练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n维空间中的一个完全矢量集 0,()归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3,n),若从其中去掉一个矢量，例如去掉1),就不再是完全集。(做题者：杨涛审题人：吴汉成)证明：假设在n维空间中的一个完全集| J去掉一个矢量1)后仍是完全集 TOC

4、o 1-5 h z 新的矢量集 2H 3)，n)是线性无关的，即 nil nti11 f/nnI I iX ill)62i 2我们把| J加入完全矢量集| 2),| 3),.n)成立一个新集合| i),Q | 2), 3),. | n)是完全集。则| i)肯定能表为| 2)，| 3)，.| n)的线性叠加新集合| i)是线性相关的与它是线性无关相矛盾。在n维空间中的一个完全集| i)去掉一个矢量i)后不是完全集#3.5、在有限维空间中，有 A和B两个相互对易的厄米算符。它们的全部线性无关的正交归一化本征矢量字分别为i )和i ：Ai aj )a 1,2,3, miBi b|i )1,2,3,

5、mjm- mj分别为本征值ai和bj的简并度(它们也可以等于1)。(1)证明 | ji )| j )(j |ia)是A和B的共同本征矢量。它们是否归一化？彼此是否正交？(2)全部不为零的ija)的总数是多少？它们是线性相关的还是线性无关的？(做题：陈捷狮，审查人：刘强。)解： Aji ) A |j Xj i ) aj| j Xj |i ) J ji )B| ji ) B |j )(j i )bj j Xj i ) bj| ji )所以：ji )是A和B的共同的本征矢量。由于(jia jia)|j )(j i )|j Xj i )(j j )(j j )(ia ia) 1他们是归一的。由于A和B

6、作用在ji )的本征值不同，所以彼此是正交。（2）全部不为零的ija）的总数是mimjo它们是线性无关的。练习4 .1在任何表象中，与厄米算符 H对应的矢I阵（Hj ）称为厄米矩阵，与幺正算符对应的矩阵（Uj）称为幺正矩阵。证明它们分别满足下列关系:Hji HjU kUkj kU ikU kj ij k（做题：陈捷狮，审查人：刘强。）解：（1）HjiHj(2)利用完全性关系可得:U kiU kjk(i|Uk)(j Uk)(kU i)(kU j)Uki Uk j： Ui k kUjkUikUjk k证毕!练习4.2在某表象中,A的矩阵形式为(120(1A0)一 2(D求A的本征值及相应的本征矢量

7、;（2）用A的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。(1解：（1）本征值方程为（1；)204.20(1则久期方程为:(1120112(.20(11201解得:3=2当1= 2=w2时本征函数为:即此时本征函数分别为: TOC o 1-5 h z a10b K1 0K2 1c10. 22 0 .22.22 TOC o 1-5 h z 当时3=2本征函数为：30.22因为 1* 2。，1* 3。，2* 30所以用A的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为1 ,2,3。#练习4.3在三维空间中，K表象的基是| J, | 2), | 3)。有一算符A,在此表7 0.3象中的矩阵为

8、A 0 2 0.3 05(1)求A的本征矢量在K表象中的形式及相应的本征值；(2)取A的本征矢量I 1)，I 2), I 3)为L表象(即A表象)的基，求表象变换的幺正矩阵U和U 1 ;(3)验证所求矩阵的幺正性；(4)用U与U 1计算算符A在L表象中的矩阵(作题人：胡项英校对人：韩丽芳)解：(1)设A在K表象中的本征矢量为703GCi020C2c2305C3C370 点有解则：0200305所以得：2,4,8CiC2,相应的本征矢量为 ，则:C3所以：当i 2时，代入本征值方程且根据g2 C22 C32 1则:0 TOC o 1-5 h z Ci C3 0,C2 1 所以：110同理：当2

9、4时，则：.3一C1，,C2 0,0所以: HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 2当3 8时，则：1C1,C20,C31所以： HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 22(2)根据幺正矩阵U ( J J则A在K表象中矢量按列排列即为U ,22所以：U10 f-00312211U023020103212(3)将U ,U 1的值代入得：UU 1 U 1U 1所以：U为幺正矩阵(4)根据AU 1A(k)U ,分别代入U,U 1则: TOC o 1-5 h z 200A(l)0 4 0008#练习4.4 H?

10、为厄米算符，S exp(此 (侯书进) 证明：(1)6是幺正算符;det S? exp( itr H?)证明：(1) H?为厄米算符，则H?* H?所以 S?* S?1 exp( iH?)即 S?* g 1S?* S?*I?则S?是幺正算符(2)因为S?是H?的函数，则S?与白可以同时对角化。在H?表象中，H?表现为对角矩阵,对角矩阵元Hnn Hn为H?的本征值，则trH?Hnn Hn nn而S?的本征值exp (iH n)则 detS? Bnnn即 SnSnne中 ( i H 口)exp (iH n) exp( i Hn) exp(itrH?) TOC o 1-5 h z nn#练习4.5

11、(吴汉成 完成，董延旭 核对)在三维空间中，有矩阵 A和B: HYPERLINK l bookmark119 o Current Document 112 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document B 112 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document 22055、2A55超， HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 2210证明A和B均为厄米矩阵，而且A , B=0 ;分别求A和B的本征值与本征矢量;(3)求A和B两算符的(归一化的)共同本征矢量集；(4)求能使A和

12、B都对角化的幺正变换矩阵 U;(5)用U将A和B对角化。 TOC o 1-5 h z . . 解： (1)证明：由题意得 A的转置矩阵A ：552A 55.2 HYPERLINK l bookmark141 o Current Document 22 10显然又得A的共轲矩阵：552(A)552.22 10一 一*一，*(A)与A比较，得：(A) AA A,显然A为厄米矩阵,同理可证B为厄米矩阵。又 ABBA5521122210. 25521122210 . 2221022010 210.2411255.22210 211.255.22210.2220一 2 、21010、. 210. 24A

13、B BA= 0A,B AB BA 0,故得证。A1A2 ； B的本征值为b,本征矢量A3(2)设 A的本征值为a,本征矢量为:B1为:人. B B2 B3则必有本征方程：A A a A即:久期方程:解之得:整理得:联解得:即得:归一化条件:即:即得：解之得:55,2iA1A1552A2a A22210A3A35 a5,2A155a2A22210 aA31.一 2210 aa10a28552A1552A202210A3a3当aa1 0,代入1式得:5 A15 A22 A305 A15 A22 A30、2 A12A2 10A3 0A1A2，A3A1*A1*A1A1A2A3*A1*A1A112A1A

14、10A1A1A10A2A1、.22A的本征矢量:A1AA2A32222 0同理可得:1212221212.2V至于求B本征值和本征矢量的方法步骤,与求A的本征值和本征矢量的方法步骤是一样的,因此同理可求得B的本征值分别是：b1 2而且相应本征值b的本征矢量分别为：1）本征值b b12时，b22b32B1B2B322, 220A1当A的本征值a a28时，A本征值矢量： a A2A3A1当A的本征值a a3 12时，A本征值矢量：a A2A32220B12）本征值bb22时A, B B2B33)本征值bb32时,B2B31212、,2T(3)设A和B的共同本征矢量,则必有本征方程:显然也有方程:

15、ABAbba,贝U ABAB得:,BbAba2210 22210 210.210.24并代入AB12210.22210.210 210 242210 22210，2231210 210.2所以得久期方程:解之得:整理得:210 . 2210.210V210&10，16, 3240时，代入2式得:2210.22210 210.210 241232 10.22 10 210,2 110 2 24 30联解得：12，30所以得：112130由归一化条件：1,得(3)1* *110100、,2解之得：12、.2212.221所以，当本征值10时，的本征矢量：2. 2230同理可得：12当本征值12 1

16、6时，的本征矢量：（2）2_2212当本征值324时，的本征矢量：1222综上所述得A和B的（归一化）共同本征矢量集:(2)211 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 2222(2)1(3)1 HYPERLINK l bookmark125 o Current Document 222 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 02. 2V T(4)设能使A和B都对角化的幺正变换矩阵为U,则必有U U 1 , a UAU 1 UAU , b UBU 1 UBU* A B UAU UBU UAU UBU

17、UAU U BU又 U U 1,并代入上式Ab UABU U(AB)U U(AB)U 1 AB 此关系式说明了：能使 A和B都对角化的幺正变换矩阵，与能使（AB）对角化的幺正变换的矩阵，都是相同的，两者都是 阵为：U。另一方面，由（3）的结果可得能 AB对角化的幺正矩(3) HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 11 二 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document 222 HYPERLINK l bookmark123 o Current Document 11二 HYPERLINK l bookmark1

18、29 o Current Document 222.2 20223（5）由于U是幺正矩阵，所以UU ,并联系3式得 TOC o 1-5 h z 11,222 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 111.2 HYPERLINK l bookmark107 o Current Document U 1 U U -222.2. 2022所以对角化:1A U 1AU112211222222222201552 2552 1,22 10 12122.1212T212 .2 22220444 . 22）小题的结果完全一致j_22T1_22T HYPERLINK

19、 l bookmark89 o Current Document 22_022,其对角元为B的本征值，与（2）小题的结果完全一致。12 0 00 8 00 0 0 TOC o 1-5 h z 12i11B U 1BU2222221122112222222 0 0 HYPERLINK l bookmark132 o Current Document 02 0 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 00 2#,其对角元为A的本征值，与（2 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 21121122 HYPER

20、LINK l bookmark79 o Current Document 22002 HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 211211. 2 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 22200练习4.6 在一个9维空间中有二矩阵A和B；6 . .4.2. .2.2.4.A .2.4.2. . .4.2.2.2.4.62101B01012式中空格及圆点均代表零。（1）分别求A和B的本征值与本征矢量（不必归一化，取最简单形式） 征值是m重简并的，写出其本征子空间的 m个代表矢量；（2）写出A和B的共同本征矢

21、量完全集（共有 9个矢量）。（做题人:宁宏新校对人:胡项英）解：1.设A的本征值为入，则 det0,即det00000 HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 00400200000000000000000000040004000400000000000000000000000000020004000600204 TOC o 1-5 h z 20040204020202056； 6782； 90当123456时，有020002000000 TOC o 1-5 h z 2 0002 0002020000200020400000000000200000

22、001 0 01010000000000000000 00010 10000 0100000001000000000000000000000014727844778899100000100000100010000k2 0k3 2k4 0k5 000010001000001000001k11000001000001000100066660;20 ；32; 40;500001000100000100000178 2时，有（k1 k5为不同时为考的权）本征值为6时，其是5重简并的，代表矢量为6140000000010000000002020000001010000000002000000001000

23、0020200000000000000002020200001000100000002020000001010000020000000000000000002020000000000000000004000000001由0得1000024100370105010068ki 0k2 0k30(ki44001770108800190000本征，值为2时为二重简并，代表矢量为00010001010033310 ； 20；30 ；001010001000k3为不同时为零的权）0时，有600000000040200000002020000020400000002040200000004020000020

24、200000002040000000006100000000000100000001000000010000000001010000000000010000010000000001000000000001001010100代表矢量为001010100设B的本征值为6det0,即det2000000000100000000000000000001000000000000000000010000000000000000100000000020；1；2；20010000000000000010000000012356478900000000000000000000001000000000000000

25、10000000000000001000000020000000010000000000000000010000000000000由0得0000100000000000000000100000000100000000310050000ki0k21k30k1k3为/、同时为零的权）0000700100000000当123 0时，为三重简并，代表矢量为： TOC o 1-5 h z 00000010000033/310 ; 21 ; 30 ;000001000000当451时，有300000200000 10000020000010000000000000000000000000000000000

26、0000000000010000000 001000000000000010000000000000 0由00000001 TOC o 1-5 h z 10 0 00010 0000 100000100000100000000000000000000123564789000060080000000000 （匕女2个同时为零）1000匕00010k200000000451为二二重简并，代S* 120 ； 220010010003 67 1时，有100000000000000000001000000000000000000010000000002 00000000010000000002 0000

27、00000310000000000000000000 1000000000000000000010000由000001000000000100000000010000000001100022103000500160ki0k20 （k1k2/、同时为零）440070008000900000100000671为二重简并，代表矢量为1220 ； 2100000000当8 2时0得00000000000010002000100000000000000000000000000000000000 TOC o 1-5 h z 2000003 000002 000003 0000040000010000100001000000000000000000000000000000000000000010000由010000 0 10 00001000001111120003000500060k 0 k 0不简并，代表矢量为040007000800090002时 TOC o 1-5 h z 4000300020000000000000000000000000003000200010000000