20092017全国高中数学联赛分类汇编第11讲三角函数

1、2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第11讲：三角函数1、(2010试2)已知函数y二(aCOS2x3)sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是.【答案】3a12【解析】令sinx=t，则原函数化为g(t)=(at2+a3)t，即g(t)=at3+(a3)t.由at3+(a3)tn3，at(t21)3(t1)n0，(t1)(at(t+1)3)n0及t10知at(t+1)30即a(t2+1)n3.(1)当t二0,1时(1)总成立；13对0vt1,0vt2+12；对1t0,t2+10.从而可知a12.422、(2011试4)如果cos50sin50v7(sin30cos30)，0e0,2兀

2、)，那么0的取值范围是.答案】x,1313412兀124.兀兀1.兀3兀1.兀1.兀.兀.兀1.兀sinvv,sinx.所以sinvvsinvsinvsinvvsin101039兀9134121110391兀1故满足匚vsinv的正整数n的所有值分别为10,11,12，它们的和为33.4n34、（2014试7）设等边三角形ABC的内切圆半径为2,圆心为/.若点P满足PI=1,则AABC与AAPC的面积之比的最大值为.3+J5【答案】一【解析】点PIT知点P在以J为圆心的单位圆K上.设ZAP=蔭在圆k上取一点练使得哎取到最犬值g此时理应落在ZIAC内，且是AP。与圆K的切点,&-AP-AB-si

3、na由于QaaQy:故尹&-2sina二sinJiJ777Jt-AP-AC-.n(-a)sin(tr)sin(iXj)23336sin(+06=1)兀其中，0=a一=4AP.060由ZAPI=知，sin0=o=丄=于是cot015,所以02AI2r42cos0子in02cos0血0cot0+运=J5+总=3+5cot0*315、32根据（1）、（2）可知，当P=P0时，Saapb的最大值为3字.AAPC5、（2015二试2）若实数0满足cos0=tan0，则二+cos40的值为.sin0【答案】2【解析】由条件知，cos2a=sina，反复利用此结论，并注意到cos2a+sin2a=1，得1+

4、cos4a=空+sin2a=(1+sina)+(1cos2a)=2+sinacos2asinasina=26、（2015一试7）设为正实数,若存在a,b（兀ab2兀），使得sin+sinb=2,则实数W的取值范围是9513【答案】we,u，+8）424【解析】由sinwa+sinwb=2知sinwa=sinwb=1，而wa,wbowwi,2wwi,故题目条件等价于：存kk在整数k，l(kl)，使得wk2kK+21k+4时，区间wk,2wk的长度不小于4兀，故必存在k,l满足（1）式,当0w4时，注意到wk,2wk匸（0,8兀），故仅需考虑如下几种情况:TOC o 1-5 h z HYPERLI

5、NK l bookmark8 o Current Document k5k15wk2wk,此时w,无解； HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 2224 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 5k9k95wk2wk，此时有一w; HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2242 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 9兀13兀13913wk2wk，此时有一w,得w4亦满足条件，可知wgJU】，+)424kxkx7、

6、（2016试6）设函数f（x）=sin4+cos4，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有f(x)Iaxa+1=f(x)IxgR，则k的最小值为.答案】16【解析】由条件知/（x）=（sin2+cos2）:-2sin:cos罚.3kx12Ax3=1sin亠一=cos+5454其中当且仅当x=（meZ）时，子（X）取到最犬值根据条件知，任意一个长为1的开区间（亿门+1）至少包含一个最大值点，从而y5/反之，当k5k时，任意一个开区间均包含f（x）的一个完整周期，此时f(x)Iaxa+1=f(x)IxgR成立.综上可知，正整数的最小值为5k+1=16.8、（2017试2）若实数x,y满足x2+2

7、cosy二1，则x-cosy的取值范围是.【答案】-1,打+1【解析】由于x2=1-2cosyg-1,3,故xg朽，朽.TOC o 1-5 h z1x21x21由cosy=-可知,xcosy=x-=-(x+1)1.因此当x=1时,x一cosy有最小值-1.兀1(这时y可以取)；当x=、3时，xcosy有最大值J3+1(这时y可取兀),由于-(x+1)21的值域是-1,：3+1,从而xcosy的取值范围是-1,3+1.1319、(2011试9)已知函数f(x)=asinxcos2x+a+,agR,a丰02a2(1)若对任意xgR，都有f(x)2，且存在xgR，使得f(x)0，求a的取值范围.33

8、【解析】(1)f(x)=sin2x+asinx+a.令t=sinx(1t1),则g(t)=12+at+aaa对任意恒成立的充要条件是二应已卩(1)=1+27-2,所以丁L所以g(t)=g(1)=1一一TOC o 1-5 h z2mina33因此f(x)=1.于是，存在xgR,使得f(x)0的充要条件是10n0a0,故ag(0,仝).由(D得,tan2a=sec2a=1+tan2a，故n+12n+1nn13n2tan2a=n1+tan2a=n1+=n133即tanan，牛2tanatana2seca2因此匕sina-sinasina=i-12mseca1tanamsecamtanatanatanatana23-tan(利用(D)tanam+1tana=i-tanan+13n+1得m二3333.11、(2016一试9)本题满分16分）在AABC中，已知ABAC+2BABC=3CACB.求sinC的最大值.ir+f【解析】由数量积的定义及余弦定理知；AB*AC=cbcosA=同理得，babc=gc：?石西厂故已知条件化为护+F-a1+2(/+C1-b1)=+&1-c1)即a2+2b2