高中数学人教A版高中必修5第一章解三角形-解三角形中范围与最值问题的解题策略教学设计

1、成都市2023年中学数学优秀课展示与培训活动“总结暨课堂展示” 解三角形中范围与最值问题的解题策略教学设计 （人教A版普通高中课程标准试验教科书数学必修5解三角形二轮复习课）授课教师:成都市郫都区第四中学 任后兵2023年6月日解三角形中范围与最值问题的解题策略 成都市郫都区第四中学 任后兵一、教学指导思想本节课是以2023年版普通高中数学课程标准为指导，采用基于核心素养的问题探究模式.二、教学背景研究1.内容解析解三角形既是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点，是进一步学习数学和其他自然学科的基础本课是人教A版普通高中数学课程标准实验教科书数学必修5第一章解三角形的二轮微专题复习课通过

2、全国卷考点可以发现，解三角形有关的最值与范围问题是高考的重要考点，20232023年的高考题考查了次，以在解答题的第一题或填空题压轴题的形式呈现，值得剖析此类问题.命题角度08年09年10年11年12年13年14年15年16年17年18年1卷2卷1卷2卷1卷2卷1卷1卷2卷3卷1卷定理的简单应用316138定理的综合应用1717174171717171717解三角形的范围与最值问题16171616 在高三，复习课是一种常态教学，成都市教研公开课为“一题一课”复习课提供了范式，教师课前细心揣摩用好高考题和诊断题，从追求课堂的大容量教学转向简约细化教学，复习模式从“题海战术”转变为“一题一课”，

3、以“精选例题，注重变式，合理设问”为基本特征，以学生的能力提升为主要目标，打破传统的教学模式，将知识复习以问题串的形式贯穿到例题教学中，增强学生的参与度，提高教学效率，是培养学生数学“核心素养”的有效手段.2.学情分析授课对象是成都市郫都区第一中学（赛课学校）高三六班. 经过了高三一轮复习，具备一定的知识储备、活动经验、探究能力. 对解三角形一整章已经有了一个比较系统的认识与理解，但对解三角形中范围与最值问题还没有形成高效的解题策略，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对解题策略的愿望，将学生置于主动参与的地位3.目标分析本节课的教学目标是：1.通过剖析高考

4、题，利用正弦定理、余弦定理解决一类解三角形范围与最值问题，减少对解三角形最值的畏难情绪.2.通过问题链学习，归纳解三角形中范围与最值问题的解题策略，感悟不同方法的要领.为此选择一道高考真题，解决解三角形中周长、面积、长度等问题作为本节课的教学内容，引导学生提炼有效的解决方法，通过变式探究和小组合作来“悟”方法之道 这类问题的内涵十分丰富：（1）通过图象认识边角关系，从数的角度归纳为正弦定理+三角函数，余弦定理+不等式，重点培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养；从形的角度回归到轨迹问题，重点培养学生数形结合的数学思想和直观想象、数学建模的核心素养；（2）通过变式探究，合理选择运算方式解决具体问题

5、，培养学生程序化思考问题的品质，重点培养学生转化与化归的数学思想和数学运算、逻辑推理的核心素养4.重难点分析教学重点：解三角形中范围与最值问题解题策略的总结；教学难点：方法的合理选择.5.教法学法分析（1）基于对教学内容、教学目标的分析和学情分析，本节课采用如下的教学策略：教学中采用问题探究式教学：真题再现，自然驱动学生活动，自主探究小组合作，共同提升学生通过独立探究活动、小组讨论修正、全班展示交流，展示探究方法和思维活动；教师通过交流追问、课堂评价，达成问题的解决：回顾旧知（正余弦定理、面积公式、不等式），启迪方法，突破难点（将问题转化成一元或二元最值问题、轨迹问题），突出重点（方法合理决策

6、）然后全班反思问题的解决过程，归纳本节课的数学知识、数学方法和数学思想等最后进行运用反馈，检测学习目标和进行点检测（2）媒体应用黑板：板书教学流程及重要要点多媒体投影、希沃助手：投影教学环节，快速及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果；暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞几何画板：绘制轨迹图，帮助学生直观感受最值与范围的临界状态整个过程突出现代信息技术与数学课堂的整合，特别注重数学应用过程的完整性，加强了对问题情境和解题思路的分析，以及解题后的反思这两个环节这样做可以保持数学应用中的数学思维水平，提高学生对数形结合、转化与化归等数学思想方法的认知层次，提升学生的数学运算、逻辑推理、

7、直观想象、数学建模等数学核心素养和培养学生良好的解题习惯三、教学过程设计教学结构设计：活动元一：心动入境复习旧知活动元二：灵动探究复习旧知，梳理知识方法归纳, 深刻理解熟悉定理, 灵活应用小组合作，共同提升活动元三：互动评说归纳小结约分钟约分钟约分钟约2分钟小结反思，提高认识教学环节教师活动学生活动活动说明一心动入境，复习旧知根据课前调研，梳理解决本节内容需要的知识点，如：1.正、余弦定理及变形式是？2.常用面积公式有哪些？.解决最值与范围问题还会用到哪里工具？温习相应公式 学生分享自己整理的知识点.通过前置学习让学生自主梳理知识结构，为解决最值与范围问题做准备灵动探究，剖析思路 1.分析思路

8、，提炼方法例题（2023年全国卷16）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 【学习导问】条件如何化简？角化边还是边化角？面积如何表示？1.化简所给条件，思考题解方法2.独立完成，并展示学生过程涉及到的知识点有解三角形、三角函数图象与性质、不等式，培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.（预设一：余弦定理+不等式）学生通过分析边角关系，求得，面积表示为，利用余弦定理，结合不等式，求得面积的最大值为；（预设二：正弦定理+三角函数）利用正弦定理角表示边，将面积表示为，求得面积的最大值为；（预设三）利用动点的轨迹是一段优弧，直观感受最大值围绕正余弦定理和面积公式，结

9、合不等式或图象，生成解决方法发展学生思维的整体性，培养学生良好规范的解题习惯二灵动探究，变式演练2.类比迁移，“固化”思维变式探究1：在问题1的基础上，周长的取值范围为 【学习导问】求周长，本质是求什么？周长问题是常见问题，学生思考后说思路由例题的二元函数bc，类比到b+c，思维难度不大，让学生都容易入手.（预设一）利用，结合得最大值，又，追问趋近于2的条件；（预设二）用三角函数求范围变式探究2：（2023年全国卷）中，则的最大值为_.【学习导问】与探究1对比，有何差异？选择什么解题方法更方便？尝试解题，遇到障碍，调整策略（预设）多数用余弦定理配凑2b+c不易运算，调整为用正弦定理得，其中，思

10、维要求低由探究1的b+c到探究2的2b+c，继续深化思想，让学生体会系数的不同，优选的方法会不同，培养学生逻辑推理的核心素养. 学生可以课后进一步阅读.变式探究3：中，点 D满足 ，则线段 AD 的最大值为_.【学习导问】分析条件，从数入手？还是从形入手？学生尝试借助已有经验，从代数或几何直观的角度求AD的最大值从数的角度，可以建立AD与a,b,c的关系,进而转化为，与探究2相呼应；从形的角度，可以转化为圆弧上的动点到定点D的距离问题，与动点轨迹化相呼应，体会数与形之美，培养学生数学运算、直观想象的核心素养（预设一）从形来看，线段 AD最大值经过圆心的，即；（预设二）向量是解决几何问题的重要工

11、具转化为的范围三互动评说，灵活应用3.小组合作，共同提升在中，则SABC的最大值为( ) B. C. D【学习任务】1.结合条件，将动态问题具体化；2.小组合作，选择合适的方法加以解决.小组合作，相互交流，展示方法由例题和变式探究的对边对角问题变为三边问题，考验学生的灵活应用能力. 同时渗透数学文化阿波罗尼斯圆.（预设一）设SABC其中有一定运算量；（预设二）以AB所在直线为x轴，过AB中点作垂线为y轴，则设则，由图可知SABC最大值为四课堂小结1.归纳步骤：2.思想与方法：数形结合、转化与化归、函数学生总结学到的知识归纳整理四、目标检测设计为了培养学生自主学习能力和合作精神，设计了如下作业：

12、（一）独立完成作业：1.在例题中，若是锐角三角形，则的面积的取值范围为_；若ba，则2bc的取值范围为_.中，点 D满足 ，则面积的最大值为_.3.中，当角C最大时，等于_.（二）合作完成作业：每个小组利用一个条件和问题编拟一个题目，并解答，再进行展示. 在中，分别为的三个内角的对边，条件问题 2. 3. 4. 1.求ABC周长的取值范围2.求ABC面积的取值范围 3.求ABC的AB边的中线长的取值范围 补充变式探究的解答：阅读一：在探究1中，从形的角度，延长BA使得AC1=AC，则，又BC=2，故C1的轨迹是优弧，易求得.阅读二：在探究2中(函数与方程思想)：令，代入，消去c,以b为主元得，

13、有正根，结合图象，只需，解得t的最大值为.阅读三：在探究3中：由（或由）得，转化为求的范围. 由正弦定理有，所以，其中，所以，易知AD取到最大值. 此题，同学们还可以尝试建系来做.五、教学板书设计解三角形中范围与最值问题的解题策略一、心动入境二、灵动探究例题 ，法一：余弦定理+不等式 法二：正弦定理+三角函数 数法三：动点轨迹化 形变式1：b+c 变式2：2b+c 系数 最大值 变式3：形：优弧上点A到定点D距离数：三、互动评说（学生板书，希沃投影）四、归纳小结六、教学反思.问题设置的反思 感知高考真题，提炼解题策略，规范解答过程，树立解题信心. 通过问题链架构起知识的内涵与外延，学生从三种策略上模仿并决策更有效的方法，从题型上“固化”思维.这样使得高三复习课不再就题论题，而是连题成面，实现“一题多变，一题多解，一法多用”的教学模式，从真正意义上既复习知识，领会思想，又活跃课堂.知识与方法的反思通过本节课的复习，学生们在解题方法和方法选择