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文档简介

1、第七章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算第二节 数量积 向量积 *混合积第三节 曲面及其方程第四节 空间曲线及其方程第五节 平面及其方程第六节 空间直线及其方程一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、两向量的混合积7.2 第二节数量积向量积*混合积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积(点积) .引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s ,则力F 所做的功为记作故2. 性质为两个非零向量,则有3. 运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;例1. 证明三角形余弦定理证:则如图 . 设4. 数

2、量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式 , 得例2. 已知三点 AMB . 解:则求故为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量二、两向量的向量积引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力1. 定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考: 右图三角形面积S2. 性质为非零向量, 则3. 运算律(2)

3、 分配律(3) 结合律(证明略)证明:4. 向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法( 行列式计算见 P339P342 ) 例4. 已知三点角形 ABC 的面积 解: 如图所示,求三一点 M 的线速度例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 ,向径*三、向量的混合积1. 定义已知三向量称数量混合积 .记作几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2. 混合积的坐标表示设3. 性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)例6. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例7. 证明四点共面 .解: 因故 A , B , C , D 四点共面 .内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2. 向

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