华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳

1、学习必备 欢迎下载华师 大版八年 级 数学下函数及其 图 像知 识 点 归纳一 变 量与函数 1 函数的定 义 ：一般的,在某个 变化 过 程中有两个 变量 x 和 y,对 于 x 的每一个数 值 y 都有唯独的 值与之 对应 ,我 们说 x 叫 做自 变量, y 叫做因 变 量, y 叫做 x 的函数；2自 变量的取 值 范 围：（ 1）能够使函数有意义 的自 变 量的取 值 全体；变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题 中有 实际 意（ 2）确定函数自变 量的取 值 范 围要留意以下两点：一是使自义 ；（ 3）不同函数关系式自 变量取 值范 围 的确定： 函数关系式 为 整式 时 自

2、 变 量的取 值 范畴 是全体 实数； 函数关系式 为 分式 时 自 变 量的取 值 范畴 是使分母不 为 零的全体 实数； 函数关系式 为 二次根式 时 自变 量的取 值 范 围 是使被开方数大于或等于零的全体对应 的函数 值 ； 这 里有三种类型的 问题 ：（ 1）当已知自 变 量的 值 求函数 值就是求代数式的 值；（ 2）当已知函数 值 求自 变量的 值就是解方程；实 数； 3 函数 值 ：当自 变 量取某一数 值时（ 3）当 给 定函数 值 的一个取 值 范畴 ,欲求自 变 量的取 值 范 围时实质 上就是解不等式或不等式 组 ；二平面直角坐 标 系：1各象限内点的坐 标的特点：（

3、1）点 p（ x,y）在第一象限x 0,y0. （ 2）点 p（ x,y）在其次象限 x 0,y0. （ 3）点 p（ x,y）在第三象限x 0,y0 （ 4）点 p（ x,y）在第四象限x 0,y0. 2 坐 标轴 上的点的坐 标 的特点：（ 1）点 p（ x,y）在 x 轴 上x 为 任意 实 数, y=0 （ 2）点 p（ x,y）在 y 轴 上 x=0,y 为 任意 实 数3 关于 x 轴 , y 轴,原点 对 称的点的坐 标 的特点：（ 1）点 p（ x,y）关于 x 轴对 称的点的坐 标为 （ x,-y）. （ 2）点 p（ x,y）关于 y 轴对 称的点的坐 标为 （-x,y）

4、. （ 3）点 p（ x,y）关于原点 对 称的点的坐 标为 （ -x,-y）4 两条坐 标轴 夹角平分在 线 的点的坐 标 的特点：（ 1）点 p（ x,y）在第一、三象限夹角平分在 线 x=y.（2）点 p（x,y ）在其次,四象限夹角平分在 线 x+y=05与坐 标轴 平行的直 线上的点的坐 标的特点：（1）位于平行于 x 轴的直 线上的全部点的 纵坐标相同；（2）位于平行于 y 轴的直 线上的全部点的横坐 标相同；6点到坐 标轴 及原点的距离：（1）点 p（x,y ）到 轴的距离 为 y. （2）点 p（x,y ）到 y 轴的距离 为 x . 22（3）点 p（x,y ）到原点的距离

5、为学习必备 欢迎下载（4）同在 x 轴上的两点 A （x1,0）与 B（x2,0）之 间 的距离 为 AB=|x1-x2| （5）同在 y 轴上的两点 C（0,y1）与 D（0,y2）之 间 的距离 为 CD=|y1-y2| 三函数的 图像函数 图像上的点与其解析式的关系1函数 图 像上任意一点p x,y 中的 x、 y 满意函数关系式,满意函数关系式的一对对应值x,y 都在函数的 图像上；2判定点 p x,y 是否在函数 图像上的方法,将 这个点的坐 标 x,y 代入函数关系式,假如 满意函数关 系式,那么 这个点就在函数的 图像上,假如不 满 足函数关系式,那么,这 个点就不在函数的 图像

6、上；四一次函数（一）一次函数的定 义1定 义:含有自 变量的式子 为 一次整式,即形如式子 ykx+b 其中 k 和 b 为常数, k 0叫做一次函数；正 比例函数：在一次函数 y=kx+b 中假如 b=0 即变为 y=kx 其中 k 0,这样 的函数叫做正比例函数；2留意：（1）由一次函数和正比例函数的定 义可知 ; 函数是一次函数解析式 为 ykx+b 的形式； 函数是正比例函数解析式 为 y=kx 的形式；y=kx+b 的结构特点：（2）一次函数解析式 k 0 x 的次数是 1 常数 b 为任意 实数（3）正比例函数解析式 y=kx 的结构特点 k 0 x 的次数是 1 常数 b=0 3

7、说明：在 y=kx+b 中如 k=0 就 y=b b 为常数 这样 的函数叫做常数函数,它不是一次函数；4正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数；第 2/6 页 一次函数 y=kx+b ,当 b=0 时为 正比例函数 一次函数 y=kx+b ,当 b 0时一般的一次函数（二）一次函数的 图像1一次函数 图像的外形：一次函数 y=kx+b 的图像是一条直 线,通常称 为直线 y=kx+b 正比例函数 y=kx 的图像也是一条直 线,称 为直线 y=kx 2一次函数 图像的主要特点 : 一次函数 y=kx+b 的图像经过 点 0,b 的直 线,正比例函数 y

8、=kx+b 的图像是 经过 原点 0,0 的直 线 留意：点 0,b 是直 线 y=kx+b 与 y 轴的交点； 当 b0 时,此 时交点在 y 轴的正半 轴上, 当 b0 时,此 时交点在 y 轴的负 半轴上, 当 b=0 时 ,此 时交点在原点, 这时 的一次函数就是正比例函数；3一次函数 图像的画法：依据两点能画一条直学习必备欢迎下载图像 时,只要先描线 并且只能画一条直线 ,即两点确定一条直线,所以画一次函数的出两点,在 连成直 线即可；那么,先描出哪两点比 较好呢？选两点 应以运算和描点 简洁为 原就,一般来 说,当 b 0时,一般的一次函数 y=kx+b 的图像, 应选 取b,0

9、；当 b=0 时 ,画正比例函数 y=kx 的图像,通常取 0,0 与 k 22 1,k 两点,个别情形下可以做些 变通,例如画函数 y=x 的图像,可以取 0,0 与 1, 两点,33 它与两个坐 标轴 的交点 0,b 与 - 也可以取 0,0 与 3,2 两点；4直 线 y=kx+b 与坐 标轴 的交点（1） 令 x=0, 就 y=b 所以直 线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐 标为0,b（2） 令 y=0, 就 kx+b=0 所以 x=-b k b,0 留意：此 时 直线 y=kx+b 与 x 轴,y 轴围 成的三角形面积 k 所以直 线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐 标为- S=

10、1b - b 2k 5两直 线 在直角坐 标系内的位置关系 : （1）两直 线的解析式中当 k 相同 时,其位置关系是平行,其中一条直 线可以看作是另一条平移得到的,平移 规律是 “左减右加,上加下减”（2）两直 线的解析式中当 b 相同 时,其位置关系是相交,交点坐 标为0,b . 第 3/6 页（三）一次函数的性质y 随 x 的增大而增大,直线 y=kx 从左到右上升；1正比例函数的性质（1）当 k0 时,图像 经过 第一、三象限,（2）当 k0 时,图像 经过 其次、四象限,y 随 x 的增大而减小,直线 y=kx 从左到右下降；2一次函数y=kx+b 的性 质（1）当 k0 时,直 线

11、 y=kx+b 从左到右上升,此（2）当 k0 时,直 线 y=kx+b 从左到右下降,此时 y 随 x 的增大而增大；时 y 随 x 的增大而减小；（3）当 b0 时,直 线 y=kx+b 与 y 轴正半 轴相交；（4）当 b0 时,直 线 y=kx+b 与 y 轴负 半轴相交；3直 线 y=kx+b 的位置与 k、b 的符号之 间的关系直线 y=kx+b 的位置是由 k 与 b 的符号打算的,其中 k 打算直 线 从左到右呈上升 趋势仍 是下降 趋势 ,b 打算直线与 y 轴交点的位置是在 y 轴的正半 轴,仍是负 半轴,仍是原点； k 和 b 综合起来打算直 线 y=kx+b 在直角坐标

12、系中的位置共有六种情形： 当 k0,b0 时,直 线经过 第一、二、三象限,不 经过 第四象限； 当 k0,b0 时,直 线经过 第一、三、四象限,不 经过 其次象限； 当 k0, b0 时,直 线经过 第一、二、四象限,不 经过 第三象限； 当 k0,b0 时,直 线经过 其次、三、四象限,不 经过 第一象限； 当 k0,b=0 时,直 线经过 第一、三象限； 当 k0,b=0 时,直 线经过 其次、四象限；学习必备 欢迎下载（四）正比例函数与一次函数解析式的确定1确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式 y=kx k 0 中的常数 k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式 y

13、=kx+b k 0 中的常数 k 和 b,解这类问题 的一般方法是待定系数法；2待定系数法：先设出待求函数关系式 其中含有未知的系数 ,再依据已知条件列出方程或方程 组,求出未知系数,从而得到所求 结果的方法,叫做待定系数法；其中的未知系数也称待定系数,如正比例函数 y=kx 中的 k,一次函数 y=kx+b 中的 k 和 b 都是待确定的系数；3用待定系数法求函数解析式的一般步 骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件 自变量与函数的 对应值代入解析式,得到关于待定系数的方程或方程 组；（3）解方程或方程 组,求出待定系数；（4）将求得的待定系数的 值代回所 设的解析式；第 4/

14、6 页留意：通常正比例函数解析式 设 y=kx ,只有一个待定系数 k,一般只需一 对 x 与 y 的对应值 即可；一次函数解析式 设 y=kx+b ,其中有两个待定系数 k 和 b,因而需要两 对 x 与 y 的 对应值 ,才能求出 k 和 b 的 值；五反比例函数（一）反比例函数定 义1一般的,函数 y=k-1 k 是常数, k 0 叫做反比例函数,反比例函数的解析式也可以写成 y=kx 的形 x 式,其中 k 叫做比例系数；2反比例函数解析式的主要特点：（1）等号左 边是函数 y,右边是一个分式,分子是不为零的常数k,分母中含有自变量 x,且 x 的指数是1,如写成 y=kx 的形式,

15、就 x 的指数是 -1；（2）比例系数 “k 0”是反比例函数定义的重要 组成部分；（3）自 变 量 x 的取 值范畴是 x 0的一切 实数；（二）反比例函数的 图 像反比例函数的 图像是双曲 线,它有两个分支,这 两个分支分别位于第一、三象限或其次、四象限,它 们关于原点成中心 对称；由于反比例函数中自 变量 x 0,函数 y 0,所以它的 图像与 x 轴 和 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐 标轴 ,但永 远不与坐 标轴 相交；（三）反比例函数的性 质1当 k0 时,图像在第一、三象限,在每个象限内,曲 线从左到右下降,也就是在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；2当 k0

16、 时,图像在其次、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内y 随 x 的增大而增大；（四）反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数 y=-1k 中只有一个待定系数,因此只需要一 对 x 与 yx 的对应值 或图像上一个点的坐 标,即可求出 k 的 值,从而确定其解析式；（五） “反比例关系 ”与“反比例函数 ” 的区分与 联系学习必备 欢迎下载反比例关系是学校学 过 的概念：假如 xy=k k 是常数 k 0 ,那么 x 与 y 这两个量成反比例关系,这里 x与 y 既可以代表 单独的一个字母也可以代表多 项 式或 单项 式,例如 y+3 与 x

17、成反比例 就有 y+3= 成反比例, 就 y= 例关系；k,y 与 x2xkk, 成反比例关系不肯定是反比例函数,但是反比例函数y=中的两个 变量必定成反比xx2 第 5/6 页（六）反比例函数 y=k k 0 中的比例系数 k 的几何意 义 x 11S矩形 =|k|； 221如 图 , 过 双曲 线 上一点作 x 轴 、y 轴 的垂 线 PM 、 PN,所得矩形 PMON 面 积为 |k|； 2连结 PO,就S POM= 六 函数的 应 用1利用 图 像比 较 两个函数 值 的大小在同始终角坐 标 系中的两个函数 图 像,假如其中一个函数的 图 像在另一个函数 图 像的上方, 就该 函数 值 就比另一个函数 值大,如在下方,就该 函数 值 就比另一个函数 值 小,而其交点的横坐 标就是分界点；2两个一次函数 图 像的交点与二元一次方程 组 的关系假如两个一次函数的 图 像相交, 就 交点坐 标 必定同 时满 足两个函数解析式,故交点坐 标是有两个函数解析式 组 成的二元一次方程 组的解；3一次函数与方程、不等式的关系（ 1）一次函数y=kx+b 的 图 像与