高中数学必修二 8.6 空间直线、平面的垂直新（精炼）（含答案）

1、8.6 空间直线、平面的垂直（2）（精炼）【题组一 线线角】1（2021河南驻马店市高一期末）在底面为正方形的四棱锥中，底面，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为四棱锥中，底面，所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示： 连结PE、BE，则PEAC，所以EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.而EPB为正三角形，所以EPB=.故选：.2（2021河南焦作市高一期末）如图所示，为正方体的两个顶点，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）A30B45C60D90【答案】C【解析】作如图所示的辅助线，由于，为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，

2、所以即为异面直线与所成的角（或补角），易得，所以.故选：C3（2021浙江高一期末）已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)中，则直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【解析】设正四面体的棱长为3，则,过作交于点,则与所成角即为与所成角，,在中，,即,同理,所以.故选：A.4（2021全国高一课时练习）正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图：，直线与直线所成角为，是等边三角形，平面，直线与平面所成角为，是等腰直角三角形，故选：D.5（2020全国高一单元测试）如图，在三棱柱中，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【

3、解析】在三棱柱中，异面直线与所成的角为或其补角，连接，底面，平面，又，平面，又平面，由，可得，又，在中，即异面直线与所成角的余弦值为故选：A6（2020浙江高一期末）在正方体中，和分别为，和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【解析】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知，所以是异面直线和所成的角或其补角，设异面直线和所成的角为，设正方体的边长为，则.故选：A.7（2020浙江高一期末）已知在底面为菱形的直四棱柱中，若，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】A【解析】连接，四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，四边形为正方形.连接交于点 ，（或

4、其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为90.故选：A.8（2019西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，取的中点，连接、，、分别为、的中点，所以，为异面直线与所成的角，设，则，由，可知，即异面直线与所成的角等于.故选：B.9（2021浙江高一期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，.（）若是与的交点，求证：平面；（）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（1）连接与交于点，连.，且是和的中点，,和为平面内的两条相交直线，

5、平面.（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据题意得所以，所以，故10（2021六盘山高级中学高一期末）已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】【解析】连接，在正方体中，易知，所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，又，所以.即异面直线与所成角的余弦值为.【题组二 线面角】1（2021全国高一课时练习）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】证

6、明：(1)为圆O直径ACB=90即ACBCPA面ABC，PABCACPA=ABC面PAC.(2)BC面PAC，BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形中，在直角三角形中，,在直角三角形中，tanBPC=.故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.2（2020浙江高一期末）如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）过P作PECD，交CD于点E，连接BE，所以CE=2，又因为,且所以BEBCADBE又因为平面平面且PEBCADPEAD面PEB（2）与平面所成角即为EC与平面所成角过E作EFPB，交PB于

7、F点，连接CF，易知EF平面PBC所以ECF为与平面所成角，因为PE=2，根据等面积法得到所以与平面所成角的正弦值为.3（2020浙江高一期末）如图，在四棱锥中，E是的中点，平面平面（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由已知可得在直角梯形中，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，.（2）由（1）得平面，平面，平面平面，过点在平面内作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，即为直线与平面所成角，中，所以，且，直线与平面所成的角的正弦值为.4（2020江苏高一期中）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，.且为中点，与相交于点（1）

8、求证：平面；（2）求直线与底面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连，则又面，面，平面；（2）连，取中点，连，则由面与底面垂直，且面，可得面则为直线与底面所成角设，则；，则；，即则直线与底面所成角的大小为5（2021河南洛阳市高一期末）如图.在三棱锥中,平面,于点,于点,.(1)求；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：平面,平面.又,平面.平面平面.又平面平面,平面,平面.又平面,.(2)由(1)知平面,连结,则就是在平面内的射影.就是与平面所成的角.,.在中,.与平面所成角的正弦值为.6（2021浙江高一期末）在三棱

9、锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，.（）求证：平面；（）求直线与平面所成的角.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）连接交于，连接.则点为的重心，有.因为，所以，且平面，平面，所以平面.（）因为，所以，故，所以，且，平面，所以平面.过作的平行线，交于.则平面.所以直线与平面所成角为.且，所以，得.所以直线与平面所成的角为，即直线与平面所成的角为.7（2021全国高一课时练习）如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.（）求证：；（）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析（）【解析】（）作的中点,连接,因为三棱柱所有的棱长均为1 ,又四

10、边形为正方形，,面 又四边形是菱形，所以面 （）作因为三棱柱,由题知,所以是等边三角形，是等边三角形，,面 , 面，所以，面 , 是面的垂线，是平面的斜线 ,即为所求角.在三角形中由平面几何知识得 故直线和平面所成角的正弦值为【题组三 面面角】1（2021河南高一期末）如图，在长方体中，底面是正方形，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）证明：设，连接，则是中点，又是中点，又平面，平面，平面（2）平面，平面，同理，又正方形中，平面，平面，又平面，平面平面；（3）平面，平面，是二面角的平面角，由已知

11、，而，分别是中点，即二面角的大小为2（2021浙江高一期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，OE分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取中点，连接，因为是中点，且，又是矩形，是中点，是平行四边形，而平面，平面，平面（2）取中点，连接，是矩形，是中点，则，又，而平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，而平面，（或其补角）是二面角的平面角设，则，二面角的大小为3（2021宁夏银川市银川一中高一期末）如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，.（1）求证：；（2）若二面角的

12、平面角的余弦值为，求侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故；（2）证明：在底面中，.， ，又因为侧棱底面，则底面面，又，面过点作于，连接，则是二面角的平面角，则，故，设，则，故，故4（2020浙江高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.（1）求直线PA与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：PB平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）60.【解析】（1）因为侧棱平面，所以为直线在平

13、面上的射影，故即为直线PA与平面ABCD所成的角，又，所以，所以直线PA与平面ABCD所成的角为；（2）证明：因为侧棱平面，平面，所以，又，所以平面，由可得，又，所以平面，因为，所以平面；（3）由（2）知，所以为二面角的平面角，不妨设，则，在中，由余弦定理得，所以二面角的大小为60.5（2020浙江杭州市高一期末）如图，三棱柱的棱长均相等，平面平面，分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】证明：（1）取的中点，连接，于是，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而面，面，所以直线平面；（2）连接， 四边形为菱形，为的中点，平面平面，且平面平面，平面平面，且平面平面，平面，又，就是二面角的平面角，设棱长为2，则，二面角的大小为.6（2020浙江杭州市高一期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取线段中点，连接、，则，且，从而或其补角就是直线与所成的角.平面，平面，同理可得，为的中点，则，为的中点，则，则，由余弦定理可得，因此，异面直线与所成角的余弦值为；（2）可知二面角的平面角与二面角的平面角互补.在平面内作直线于，连接，平面，平面，同理可得，平面，平面