矩形性质和判定教师版

1、(完满版)矩形的性质和判断教师版(完满版)矩形的性质和判断教师版13/13(完满版)矩形的性质和判断教师版1.3矩形的性质和判断1.3矩形的性质和判断学习目标：1、学会鉴别矩形；2、掌握矩形的看法、判断和性质，会用矩形的性质和判断解决简单的问题；3、会运用矩形的知识解决有关问题,重点：掌握矩形的性质，并学会应用难点：理解矩形的特别性【知识梳理】1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的性质矩形是特其他平行四边形，它拥有平行四边形的所有性质，?还拥有自己独到的性质：边的性质：对边平行且相等角的性质：四个角都是直角对角线性质：对角线互相均分且相等对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称

2、图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半议论：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得3矩形的判断判断：有一个角是直角的平行四边形是矩形判断：对角线相等的平行四边形是矩形判断：有三个角是直角的四边形是矩形【例题精讲】【矩形的判断】【例1】如图，在四边形ABCD中，ABCBCD90，ACBD，求证：四边形ABCD是矩形【剖析】ABCBCD90，ABCDAD在RtABC和RtDCB中BCCBACBDRtABCRtDCB(HL)ABCD，四边形ABCD是平行四边形BCACBD，四边形ABCD是矩形【例2】如图，已知在四边形A

3、BCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形【剖析】E、F、G、H分别是四边的中点EF、GH为中位线EFGHBD且EFGH1BD2四边形EFGH为平行四边形DEHACOFGB第1页1.3矩形的性质和判断ACDB，EFFG四边形EFGH是矩形【例3】如图，在平行四边形ABCD中，M是AD的中点，且MBMC，求证：四边形ABCD是矩形【剖析】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AD180M是AD的中点，AMMDAMDAMDM在ABM和CDM中MBMCABCDABMCDM()，ADBCSSSA90，四边形ABCD是矩形【例4】设凸四边形ABCD的4个极点满足条

4、件：每一点到其他3点的距离之和都要相等试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。【剖析】这个四边形是矩形由已知得ABACADBABCBDCACBCDDADBDCACADBCBD变换此式有ABADBCCDABACBDCD得ADCB；得ABCD，故知ABCD是平行四边形又得ACBD，因此，四边形ABCD是矩形【例5】如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的均分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形【剖析】四边形ABCD为平行四边形ABCD，ADBCAQ、BN分别是DAB、ABC的均分线BADABC180QPN90同理P

5、QMQMNMNP90四边形PQMN是矩形ADNPMQBC【例6】如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连接BFFA、求证：BDCD、若是ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论【剖析】、AFBC，AFEDCEEE是AD的中点，AEDEBDC第2页1.3矩形的性质和判断AFEDCEAEDEAEFDECAEFDECAFDC，AFBDBDCD（2）四边形AFBD是矩形ABAC，D是BC的中点（利用全等）ADBCADB90AFBD，AFBC四边形AFBD是平行四边形又ADB90四边形AFBD是矩形【例7】已知，如图，在A

6、BC中，ABAC，AD是BC边上的高，AF是BAC的外角均分线，交AF于E，试说明四边形ADCE是矩形【剖析】ABAC，B2又13B2，13，12，AFBCA31又DEAB，ABDE是平行四边形，AEBDABAC，ADBC，BDDCAEDC，四边形ADCE是平行四边形又ADC90，平行四边形ADCE为矩形BD本题也可先说明ACED，再说明四边形ADCE是平行四边形【例8】以下列图，在RtABC中，ABC90，将RtABC绕点C顺时针方向旋转60获取在AC上，再将RtABC沿着AB所在直线翻转180获取ABF连接AD、求证：四边形AFCD是菱形；DEABEF2CDEC点E、连接BE并延长交AD于

7、G连接CG，请问：四边形ABCG是什么特别平行四边形？为什么？【剖析】RtDEC是由RtABC绕C点旋转60获取ACDC，ACBACD60ACD是等边三角形ADDCAC又RtABF是由RtABC沿AB所在直线翻转180获取AGDEFBCACAF，ABFABC90FBC180点F、B、C三点共线第3页1.3矩形的性质和判断AFC是等边三角形AFFCACADDCFCAF四边形AFCD是菱形四边形ABCG是矩形由可知：ACD是等边三角形，DEAC于EAEEC，又AGBCEAGECB，AGEEBCAEGCEB，AGBC四边形ABCG是平行四边形，而ABC90四边形ABCG是矩形【例9】如图，在ABCD

8、中，AEBC于E，AFCD于F，AEF的两条高订交于M，AC20，EF16，求AM的长【剖析】过C作CGAD于G，连接EG、FGAEBC，FMAE，FMECECB又EMAF，CDAF，EMCFMF四边形EMFC为平行四边形，MFEC又AEBC，CGAD且BCADADEAGAGCGCEAEC90EC四边形AGCE为矩形BMFECAG，EGAC，MFAG又MFAGAGD四边形AGFM为平行四边形，GFAMAMEF，GFEF，即GFE90GFEG2EF2，AM20216212【例10】已知，如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CEAC，F是AE中点求证：BFDFADMADFFEBCEBC【剖析】延长

9、BF交AD于M，连接DB四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，ACBDMEBF，F是AE中点，AFEF，在AFM和EFB中，第4页1.3矩形的性质和判断MEBF，MFABFE，AFEFAFMEFGAMBE，MFBF，ADAMBCBECEDMCEAC，ACBD，DMDBMFBF，BFDF【矩形的性质及应用】【例11】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE，垂足为F.线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，尔后再加以证明。即DF.(写出一条线段即可)ADADBFCBFCEE【剖析】连接DE.四边形ABCD是矩形，ABCD，AD/BC，C90o

10、.ADEAEC.又ADAE，ADEAED，AEDAEC，又DFEC90o，DEFDEC，DFDC.【例12】如图，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,AD上的点，且BEDF.求证：ABECDF.【剖析】四边形ABCD是矩形AFAD，BD90o.DAB在ABE和CDF中，BC又BEDF，EABECDF.【例13】如图，矩形ABCD的两条对角线订交于点O，AOB60，AB2，则矩形的对角线AC的长是（）A2B4C23D43【剖析】AOB60，AOBO，AOB为等边三角形，AAC4DOCB第5页1.3矩形的性质和判断【例14】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，若是ABC的周长比AOB的周长大10

11、cm，则边AD的长是【剖析】ACAOBO，ADBCABACBCABAOBO10cm【例15】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AEBD于E，DAEBAE31，则EAC_【剖析】DABDAEBAE90DAE67.5，BAE22.5AOBO，EAC67.522.545ADOEBC【例16】如图在矩形ABCD中，已知AD12，是AD边上任意一点，PEBD，PFAC，E、AB5PF分别是垂足，求PEPF的值APDAPD321OEOEMFFGBCBC【剖析】法一：作AGBD于G，PMAG于M，则PEMG又易证123，从而RtPAMRtAPF，AMPF，因此PEPFMGAMAG而AD12，AB

12、5，BAD90，则BD13在ABD中，依照面积公式有11BDAG，ABAD22则AGABAD51260，PEPF60BD131313MAPAPDDOEOEFFBGCBGNC法二：利用面积相等，连接PO并作AGBDSPOD1PE,SAOP1AOPFOD22SAOC1AG，AOOD，OD2SAODSAOPSDOP，AGPFPE第6页1.3矩形的性质和判断AGABAD51260BD1313法三：延长OP过点D作DMOP的延长线，垂足为M，过点D作DNAC于N易证SDMPSDEP，PMPE，由矩形DMFN可知DNMF，DNPFPEBNADDC60,PEPF60AC1313【例17】如图，在矩形ABCD

13、中，BC=2，AEBD于E，若BAE=30，则S四边形ECDA【剖析】ADBC2，BAE30AAE1，DE3ESECDA3B【例18】已知，矩形ABCD和点P，当点P如图地址时，求证：SPBCSPACSPCDPPADADEBCBFC【剖析】如图，过点P作PFAD，分别交AD、BC于E，F两点SPBC111BCEF11EFBCPFBCPEADPEBC22222SPAD1SPCDSPADSADCS矩形ABCD，SPAC2SPAD1S矩形ABCD，SPBCSPACSPCD2【例19】已知矩形ABCD和点P，当点P在矩形ABCD内时，试求证：SPBCSPACSPCDADAEDPPBCBFC【剖析】过点

14、P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点SPBC1BCPF1PE1BC(PFPE)SPADAD222DC第7页1.3矩形的性质和判断1EF1BCS矩形ABCD22又SPACSPCDSPAD1S矩形ABCD2SPBCSPADSPACSPCDSPADSPBCSPACSPCD【例20】以下列图，矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5，求PD的长ADAEDADPFPHPOBCBGCBC【剖析】过P点分别作AD、AB、BC、CD的垂线，垂足分别为E、F、G、H，显然AFPE，EPHD，FBGP，PGCH都是矩形，则APAE2EP2PF2PE2，PC2PG2PH2，PB2PF2PG2，

15、PD2PE2PH2，PA2PC2PE2PF2PG2PH2PB2PD2，PD2PA2PC2PB232524218，PD32另解：以下列图，连接AC、BD交于点O，连接PO因为AOOC，BODO，故OP21PA21PC21AC2（中线定理），224OP21PB21PD21BD2224而ACBD，故2222，则PD2524232PAPCPBPD3【例21】如图，O是矩形ABCD的对角线交点，过点O作EFAC分别交AD、于、，若AB2cm，BCFEBC4cm，求四边形AECF的面积【剖析】由ABCD为矩形可知，OAOC又ADBC，CADBCAAFD又EFAC，AOFCOE故OEOF从而可知AECF为菱

16、形，AECEO又BEBCCE4CE，AB2BEC在直角ABE中，由勾股定理有，(4CE)222CE2解得CE5故四边形AECF的面积为255(cm2)22第8页1.3矩形的性质和判断【例22】如图，将矩形ABCD沿AC翻折，使点B落在点E处，连接DE、CE，过点E作EHAC，垂足为H、判断ACED是什么图形,并加以证明；、若AB8，AD6求DE的长；、四边形ACED中，比较AEEC与ACEH的大小【剖析】等腰梯形；易证得ACDCEA，DEAC，结论易得过点D作DFAC，垂足为FEDCACED为等腰梯形DAFECHADCEDAFECHAFCHHDE/AC，DFAC，EHACDEFHAB8，AD6

17、AC10ABSACE1EHAC1AECEEH24，CH62(24)21822555DE101821455由可知，AEECACEHAECEAE2CE2AC2AE2EC22AEECAC22ACEH(AEEC)2AC22ACEHAC22ACEHEH2(ACEH)2AEECACEH【例23】以下列图，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若ABBF，求证：MNCFEEAMDAMDBNCBNCFF【剖析】ABBF，BFDE，ABDEAE90o，AMBEMDAMBEMD，BMMDDMNB，BMND，BMDN是平行四边形又BMMD，BMDN是菱形连接BD，则BDMN，NBND，NBDNDB从而证得BNFDNC，N

18、FNC，NFCNCF第9页1.3矩形的性质和判断NFCNDB，BDFC，MNBD，MNFC【例24】矩形ABCD中，延长CB到E，使CECA，F是AE的中点，求证：BFDFADADFFEBCEBC【剖析】解法一：如图，连接FCCECA，AFEF，FC是AE的中垂线AFC90又在RtAEB中，F为斜边AE的中点，FBAF，FABFBA又FAD90FAB，FBC90FBA，FADFBC而ADBC，AFBF，AFDBFC，AFDBFC又AFDCFD90，BFCCFD90BFDF解法二：如图，连接BD交AC于O，连接FO则AOCO，ACBD又AFEF，FO1CE2而CEACBD，FO1BD2又BODO

19、，BFD是直角三角形故BFDF解法三：如图，延长DA、BF交于G，连接BDAGBE，GAFBEF又AFGEFB，AFBFAGFEBF，AGBE，GFBFADBC，DGCECECABD，DF是BG的中垂线BFDF解法四：如图，延长DF、CE交于G，连接BDGADFOEBCGADFOEBCADFOEBC第10页1.3矩形的性质和判断ADEG，FADFEG又AFDEFG，AFEF，AFDEFGADEG，FDFG又ADBC，CECACEBGBD，BF是DG的中垂线BFDF【例25】已知，如图，矩形ABCD中，CEBD于E，AF均分BAD交EC于F，求证：CFBDADADEE12OM3CCBBFF【剖析

20、】连接AC交BD于O，四边形ABCD为矩形，OA11BD，BAD90AC，ODBD，AC22OAOD，OADODAAF均分BAD，FAD45，2FADOAD45ODA3FADODA，345ODACEBD，F390，F90(45ODA)45ODA2，CFAC，CFBD第11页1.3矩形的性质和判断【例26】在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且BE2AE，BD是EBC的均分线点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQBD交直线BE于点Q当点P在射线ED上运动时（如图1），请你猜想BE、PD、3PQ三者之间的数量关系，并证明你的猜3想；若BC6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为极点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；在的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PFQC，垂足为F，PF交BD于点G（如图2），求线段PG的长A