同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章重积分

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢第九章重积分教学目的：1. 懂得二重积分、 三重积分的概念, 明白重积分的性质,知道二重积分的中值定理；2. 把握二重积分的（直角坐标、极坐标）运算方法；3. 把握运算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）运算方法；8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）；教学重点：1、 二重积分的运算（直角坐标、极坐标）；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）运算；3、二、三重积分的几何应用及物理应用；教学难点：1、利用极坐标运算二重积分；二重积分的概念与性质2、利用球坐标运算三重积分；3、物理应用中的引力问题；

2、9 1 一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z fx y 这里 fx y 0 且在 D 上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来争论如何运算曲顶柱体的体积第一 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原先的曲顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点 i i 以 f i i为高而底为 i的平顶柱体的体积为f i i i i 1 2 n 这个平顶柱体体积之和Vinfi,ii1精品文档

3、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢将分割加密只可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值需取极限即x y这里xVlim 0infi,ii1其中是个小区域的直径中的最大值2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D它在点 x y处的面密度为y 0 且在 D 上连续现在要运算该薄片的质量M用一组曲线网把D 分成 n 个小区域 1 2n把各小块的质量近似地看作匀称薄片的质量iii各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值nM i , i ii 1将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量nM lim0 i 1 i , i i其中 是个小区域的直径中的最大值定义 设 fx

4、 y是有界闭区域 D 上的有界函数 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 2 n其中 i表示第 i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点 i i 作和nf i , i ii 1假如当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时 这和的极限总存在 就称此极限为函数fx y在闭区域 D 上的二重积分 记作 f x , y d 即D精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢x y 积分变量D 积分区域积分和fx ,y dlim 0infi,ii1Dfx y被积函数fx yd 被积表达式d 面积元素直角坐标系中的面积元素假如在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D 那么除了包含边界

5、点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域 i的边长为 xi 和 yi 就i xi yi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d 记作 dxdy 而把二重积分记作f x , y dxdyD其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性 当 fx y在闭区域 D 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数 fx y在 D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数 fx y在闭区域 D 上连续 所以fx y在 D 上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义 假如 fx y 0 被积函数 fx y可说明为曲顶柱体的在点 x y处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的

6、体积 假如 fx y是负的 柱体就在 xOy面的下方 二重积分的肯定值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的二 二重积分的性质性质 1 设 c1、c2为常数 就 c 1 f x , y c 2 g x , y d c 1 f x , y d c 2 g x , y dD D D性质 2 假如闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域 就在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如 D 分为两个闭区域 D1 与 D2 就f x , y d f x , y d f x , y dD D 1 D 2性质 3 1 d d 为 D 的面积 D D性质 4 假如在 D 上 fx y gx

7、 y 就有不等式f x , y d g x , y dD D特别地有精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢为 D 的面积就有|fx ,y d|fx ,y | dDD性质 5 设 M、m 分别是 fx y在闭区域 D 上的最大值和最小值mfx ,y dMD性质 6二重积分的中值定理 设函数 fx y在闭区域 D 上连续为 D 的面积就在 D上至少存在一点使得fx,ydf,D9 2 二重积分的运算法一、利用直角坐标运算二重积分X型区域1x y2x a x bDY型区域1x y2x c y dD混合型区域设 fx y 0D x y| 1x y2x a x bz fxy为顶以区域 D 为底的

8、曲顶此时二重积分fx ,y d在几何上表示以曲面D 柱体的体积对于x0ab曲顶柱体在x x0的截面面积为以区间1x02x0为底、以曲线z fx0 y为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为A x 02x0fx 0,y dyx 01依据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为VbA x dxb a 2 xfx ,y dy dxax1即VDfx ,y db a 2x fx ,y dy dx1 x可记为精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢Dfx,y dbdx2x fx,y dya1 x类似地假如区域 D 为 Y型区域D1x y2x c y d就有例 1fx,ydddy2yfx ,y

9、dxc1y D运算xy d其中 D 是由直线 y 1、x 2 及 y x 所围成的闭区域D注解画出区域 D型区域 1 x 2 1 y x于是方法一可把 D 看成是 XDxy d2 1 xxydy dx2 1 xy2x 1dx12x3x dx1x4x 2 1 2912212428积分仍可以写成Dxy d2dxxxydy2xdxxydy1111解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域 1 y 2 y x 2 于是Dxy d2 21 yxydx dy2yx22 ydy22yy3dyy2y42 19121288例 2运算y1x2y2d其中 D 是由直线 y 1、x1 及 y x 所围成的闭区域DDy解画

10、出区域 D可把 D 看成是 X2型区域1 x 1 x y 1于是11|x| 31 dx1x2y2d1 1 dx1y1x2ydy1 31 1 1x 2y231 xdx2x31也可 D 看成是 Y型区域：21 x31 dx1 2于是301 y 11 xy精品文档资料收集于网络yD例 3 运算如有侵权请联系网站删除感谢1x 2y2d1ydyy1x 2y2dx11xy d其中 D 是由直线 y x 2 及抛物线 y 2 x 所围成的闭区域D解 积分区域可以表示为D D 1+D2y1x于是2y 5 dy其中D 1:0 x,1xyxD2:1x,42Dxy d1 0 dxxxydy4dxxxxydyx122

11、 1 y y2 积分区域也可以表示为D1 y 2 y 2 x y 2 于是Dxy d2dyy2xydx2 1 x 2y y22dy1y2y221y44y32y2y62 15524368争论积分次序的挑选例 4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积V1然后再乘以8 就解设这两个圆柱面的方程分别为x 2 y2 2 及 x 2 z 2 2利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积行了第一卦限部分是以Dx y| 0 yR2x2, 0 x 为底以zR 2x2顶的曲顶柱体于是V 8 R 2 x 2 d 8 0 Rdx 0 R 2 x 2R 2 x 2 dy 8 0 R R 2

12、x 2 y 0 R 2 x 2dxD8 0 R R 2 x 2 dx 163 R 3二 利用极坐标运算二重积分有些二重积分 积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较便利 且被积函数用极坐标变量、表达比较简洁 这时我们就可以考虑利用极坐标来运算二重积分精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢fx,y dD按二重积分的定义Dfx ,y dlim 0infi,ii1下面我们来争论这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O 动身的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为 n个小闭区域小闭区域的面积为i1ii 2i12 ii1 2iiii222iiiiiiii2其中i表示相邻

13、两圆弧的半径的平均值在i内取点i,i设其直角坐标为ii就有iicosiiisininn于是lim 0i1fi,iilim 0i1ficosi,isiniiii即fx,y dfc o s,s i nddDD如积分区域 D 可表示为 1 2 sinddd2fcos,sind就fcos,1 D争论 如何确定积分限. d0fcos,sindfcos,sinddDfcos,sindd2d0fcos,sind0D例 5运算ex 2y2dxdy其中 D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区D精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢域于是解在极坐标系中闭区域 D 可表示为d d2a1e2 0

14、ad0a 02Dex 2y2dxdyDe2dd2ae200021 21ea22d1e20注此处积分ex2y 2dxdy也常写成ex 2y2dxdyDx2y 2a20ex 2dx利用ex2y 2dxdy1ea2运算广义积分x2y 2a2设 D1 x y|x 2 y 2 R 2 x 0 y 0D2 x y|x 2 y 2 2R 2 x 0 y 0S x y|0 x R 0 y R明显 D1S D2由于ex2y 20从就在这些闭区域上的二重积分之间有不等式由于ey 2dxdyex2y 2dxdyex2y2dxdyx2D 1SD2x2y2dxdyR 0edxRey2dyRex2dx 2ex 200S又

15、应用上面已得的结果有D 1ex 2y2dxdy41eR 2ex 2y2dxdy41e2R2D2于是上面的不等式可写成41eR2Rex2dx 241e2R20令 R上式两端趋于同一极限4例 6 求球体 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面从而2 ex dx0 22 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体x 2 y的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢V44 a2x2y2dxdyD其中 D 为半圆周y2 ax3x 2及 x 轴所围成的闭区域a22d2在极坐标系中D 可表示为02a cos0d于是V44a22d42d2 acos400D

16、32a221sind32a 22230339 3 三重积分一、三重积分的概念定义 设 fx y z是空间有界闭区域 上的有界函数 将 任意分成 n 个小闭区域v1 v2 vn其中 vi 表示第 i 个小闭区域 也表示它的体积 在每个 vi 上任取一点 i i i 作乘积 fni i i vii 1 2 n并作和 f i , i , i v i 假如当各小闭区域的直径中的最大值i 1趋于零时 这和的极限总存在 就称此极限为函数 fx y z在闭区域 上的三重积分 记作 f x , y , z dv 即nf x , y , z dv lim f i , i , i v i0 i 1三重积分中的有关

17、术语积分号 fx y z被积函数 fx y zdv被积表达式 dv 体积元素 x y z积分变量积分区域在直角坐标系中 假如用平行于坐标面的平面来划分 就 vi xi yi zi 因此也把体积元素记为 dv dxdydz 三重积分记作精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢fi,i,iv i是存在的fx,y ,z dvfx ,y ,z dxdydz当函数 f x y z在闭区域上连续时极限lim 0in1因此 fx y z在上的三重积分是存在的以后也总假定fx y z在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如1c 1fx ,y ,z c 2gx ,y ,z dvc 12fx ,

18、y,z dvc 2gx,y,z dvfx,y,z dvfx ,y ,z dvfx ,y,z dv21dvV其中 V 为区域的体积二、三重积分的运算1利用直角坐标运算三重积分设空间闭区域可表为三重积分的运算三重积分也可化为三次积分来运算z1x y z z2x y y1x y y2x a x b就fx ,y,z dvDz 2 x,yfx ,y ,z dz dx ,y z 1bdxy 2 x z 2x ,y fx ,y ,z dz dy即fx ,ay 1 x z 1x ,ybdxy 2x dyz 2x ,y fx ,y ,z dzay 1x z 1x ,y y ,z dvb a dxy2x dyz

19、2 x,yfx ,y ,z dzx ,y y 1x z 1 其中 D : y1xy y2x a x b它是闭区域在 xOy 面上的投影区域提示设空间闭区域 可表为z1x y z z2x y y1x y y2x a x b运算fx ,y ,z dv基本思想精品文档资料收集于网络 如有侵权请联系网站 删除 感谢对于平面区域 D y1x y y 2x a x b 内任意一点 x y 将 fx y z只看作 z 的函数 在区间z1x y z2x y上对 z 积分 得到一个二元函数 Fx yz 2 x , y F x , y z 1 x , y f x , y , z dz然后运算 Fx y在闭区域 D

20、 上的二重积分 这就完成了 fx y z在空间闭区域 上的三重积分z 2 x , y b y 2 x z 2 x , y F x , y d z 1 x , y f x , y , z dz da dx y 1 x z 1 x , y f x , y , z dz dyD Dz 2 x , y 就 f x , y , z dv f x , y , z dz dz 1 x , y Db y 2 x z 2 x , y a dx y 1 x z 1 x , y f x , y , z dz dyb y 2 x z 2 x , y a dx y 1 x dy z 1 x , y f x , y ,

21、z dzb y 2 x z 2 x , y 即 f x , y , z dv a dx y 1 x dy z 1 x , y f x , y , z dz其中 D : y1x y y2x a x b 它是闭区域 在 xOy 面上的投影区域例 1 运算三重积分 x dxdydz 其中 为三个坐标面及平面 x 2y z 1 所围成的闭区域解 作图 区域 可表示为 : 0 z 1 x 2y 0 y 1 1 x 0 x 121 1 x 1 x 2 y于是 x dxdydz 0 dx 0 2 dy 0 xdz0 1xdx 0 12 x1 x 2 y dy1 1 x 2 x 2 x 3 dx 14 0 4

22、8争论 其它类型区域呢 . 有时 我们运算一个三重积分也可以化为先运算一个二重积分、再运算一个定积分设空间闭区域 x y z|x y D z c1 z c2 其中 D z是竖坐标为 z 的平面截空间闭区域精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站x ,删除感谢x2y2z21所围成的空间闭所得到的一个平面闭区域就有y ,z dxdyfx ,y ,z dvc2dzzfc 1D例 2 运算三重积分z2dxdydz其中是由椭球面222abc区域于是解 空间区域可表为 : cz cdxdyabc1z 2c 2z 2 dz4 15abc 3x2y21z 2c 2a2b2z 2dxdydzcz 2dzccD

23、z练习1将三重积分If x ,y ,z dxdydz 化为三次积分其中 其1是由曲面 z 1 x2 y 2 z 0 所围成的闭区域2是双曲抛物面xy z 及平面 x y 1 0 z 0 所围成的闭区域3其中是由曲面 z x2 2y2 及 z 2 x 2 所围成的闭区域2将三重积分Ifx,y,z dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式就这中由曲面 z 1 x 2 y2 z 0 所围成的闭区域2利用柱面坐标运算三重积分设 Mx y z为空间内一点并设点 M 在 xOy 面上的投影P 的极坐标为P样的三个数、 z 就叫做点 M 的柱面坐标这里规定、 z 的变化范畴为0 02z坐标面0 0 z z0的意义点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系xcosxcosysinz zys