经济数学（第六版）第6章定积分

1、经济数学 （第六版）1第1章函数2第2章极限与连续3第3章导数与微分4第4章导数的应用5第5章不定积分6第6章定积分目录CONTENTS7第7章多元函数的微积分CHAPTER06第6章定积分在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看做人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。恩格斯06学习目标知识目标了解定积分的概念及几何意义.0102掌握定积分的基本公式和运算法则,以及定积分的计算方法,能利用Mathematica软件计算定积分；能运用定积分解决经济活动中的求总函数、优化、生产者剩余和消费者剩余等问题.03培养学生精益求

2、精、勇于探索的科学精神.技能目标素养目标06PART6.1定积分的概念点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本首先我们从求曲边梯形的面积开始讨论.所谓曲边梯形就是由三条直线与一条曲线所围成的图形,形成其边界的两条直线互相平行且与第三条直线垂直,而两条平行直线中的每一条跟曲线至多相交于一点(如图6-1(a)所示).平行直线中的一条或两条可能会缩成一点(如图6-1(b)、图6-1(c)所示),这些可看成是曲边梯形的特殊情形.如果是矩形或一般的直角梯形,那么我们由直接的公式可以求得其面积.而对于上述这种曲边梯形,我们可以用下面的方法来求得其面积.引例6. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击

3、添加文本点击添加文本引例6. 1. 1【例6-1】求由曲线y=x2,直线x=1以及x轴所围成的曲边梯形(如图6-2所示)的面积A的近似值.解：略点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的定义6. 1. 2在【例6-1】中,我们将求曲边梯形的面积的问题归结为求某种和式的极限.在很多实际问题中,都会出现类似的解决问题的思想方法和步骤.由此我们给出下面的定义.定义6-1设函数f(x)在区间a,b上有定义,用点a=x0 x1x2xn=b将区间a,b任意分成n个小区间xi-1,xi(i=1,2,n),其长度为xi=xi-xi-1,在每个小区间xi-1,xi上任意取一点i(xi-1ixi),

4、作和式 ,如果极限 存在,且此极限与a,b的分法以及i的取 法无关,则称函数f(x)在a,b上是可积的,并称此极限值为f(x)在 a,b上的定积分,记做 ,即:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的定义6. 1. 2关于定积分的定义有三点说明:(1)如果函数f(x)在a,b上可积,则定积分 的值与被积函数f(x)和积分区间a,b有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即:(2)定义中假定ab,如果ba,我们规定 ,特别地,当a=b时,规定(3)若函数f(x)在a,b上连续,或f(x)在a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.点击添加文本点击添加文本点

5、击添加文本点击添加文本定积分的几何意义6. 1. 3将被积函数y=f(x)(axb)看做曲边梯形的曲边方程,当f(x)0时,定积分 f(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)和三条直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积(如图6-3(a)所示);当f(x)0时,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定积分 f(x)dx在几何上表示对应曲边梯形面积的负值(如图6-3(b)所示).若规定x轴上方图形的面积取正值,x轴下方图形的面积取负值,则一般函数y=f(x)在区间a,b上的定积分 f(x)dx在几何上表示x轴上方图形的面积与x轴下方图形的面积的代数和(

6、如图6-3(c)所示).06PART6.2定积分的性质点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本假设函数f(x),g(x)在所讨论的区间上都是可积的.性质1常数因子可以提到积分号前,即:性质2两个函数的代数和的定积分等于它们定积分的代数和,即:性质3如果积分区间a,b被点c分成两个小区间a,c与c,b,即若acb,则:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本性质4当被积函数f(x)为1时,则定积分的值等于积分区间的长度,即:性质5如果在区间a,b上f(x)g(x),则:性质6如果函数f(x)在a,b上的最大值与最小值分别为M和m,则:性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在区间a

7、,b上连续,则在a,b上至少存在一点,使得:06PART6.3定积分和不定积分的关系点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本积分上限函数及其导数6.3.1设函数f(x)在区间a,b上连续,且设x为a,b上的任意一点.显然f(x)在部分区间a,x上可积,考察f(x)在部分区间a,x上的定积分 ,式中,x既表示定积分的上限,又表示积分变量.因为定积分与积分变量的符号无关,为避免引起混淆,我们把积分变量x换成t,于是f(x)在a,x上的定积分改写成:定理6-1如果函数f(x)在区间a,b上连续,则积分上限的函数 在a,b上可导,并且它的导数等于函数f(x),即:点击添加文本点击添加文本点击添

8、加文本点击添加文本积分上限函数及其导数6.3.1【例6-2】【例6-3】点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本牛顿莱布尼兹公式6.3.2定理6-2 (微积分基本定理)设f(x)在闭区间a,b上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,则有:这就是著名的牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibnitz)公式,又称为微积分基本公式.【例6-2】06PART6.4定积分的换元积分法与分部积分法点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本牛顿-莱布尼兹公式给出了一个计算连续函数f(x)的定积分 的有效、简便的方法,即求函数f(x)的原函数在区间a,b上的增量.它反映了定积分计算与不定积分计算有

9、着密切的联系.因此在一定的条件下,不定积分中的换元法在定积分的计算中同样可以应用.点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的换元积分法6.4.1【例6-2】点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的换元积分法6.4.1一般地,有下面的定理:定理6-3设函数f(x)在区间a,b上连续,令x=(t),如果:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的换元积分法6.4.1由定理6-2及例6-10可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:21用变量代换x=(t)把原来变量x代换成新变量t时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;求出f(t)(t)的一个原函

10、数F(t)后,不需要再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t的上、下限分别代入F(t)中,然后求出增量即可.点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的换元积分法6.4.1【例6-11】点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的换元积分法6.4.1【例6-12】点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定积分的分部积分法6.4.2设函数u=u(x),v=v(x)在区间a,b上有连续导数,则有(uv)=uv+uv,即uv=(uv)-uv,等式两端在a,b上的定积分为 ，即:这就是定积分的分部积分公式.【例6-15】点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加

11、文本定积分的分部积分法6.4.2【例6-16】【例6-17】06PART6.5广义积分点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理论研究还是实际应用中,往往会遇到无穷区间上的函数积分问题和无界函数的积分问题,我们称这种类型的积分为广义积分.本节仅介绍无穷区间上的广义积分.定义6-2点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本【例6-18】【例6-19】06PART6.6定积分的应用点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平面图形面积的计算6.6.11)曲边梯形的面积由定积分的几何意义可知,曲线y=f(x)(f(x)0),

12、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形(如图6-3(a)所示)的面积为:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平面图形面积的计算6.6.1【例6-21】计算由曲线y=-x2+4x-3与x轴所围成的平面图形的面积.解:由曲线y=-x2+4x-3与x轴所围成的平面图形如图6-5所示,求出曲线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0).所求面积为:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平面图形面积的计算6.6.12)两条曲线所围成的平面图形的面积若平面图形是由两条连续曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)以及直线x=a,x=b所围成(如图6-9所示),则其面积的计算公式

13、为:即所求平面图形面积可看做由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积与由曲线y=g(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积之差.点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平面图形面积的计算6.6.1【例6-24】计算由曲线y=x2+1,直线y=2x-2,x=-1和x=2所围成的平面图形的面积.解:所求平面图形如图6-10所示.根据(6.13)式,f(x)=x2+1,g(x)=2x-2,可知所求平面图形面积为:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本经济上的应用6.6.2在第4章中,我们介绍过边际函数及其在经济上的应用.例如,收益函数R(

14、Q)的导函数R(Q)为边际收益,成本函数C(Q)的导函数C(Q)为边际成本.由于积分运算与微分运算的互逆关系,定积分在经济以及商务上的应用也相当广泛.这里我们就定积分在已知边际函数求原经济函数、已知边际函数求最大利润以及消费者剩余和生产者剩余等问题上的应用作一些简单的介绍.1)已知边际函数求原经济函数的问题利用牛顿-莱布尼兹公式 ,我们可以对已知的边际函数F(x)在区间0,x求定积分,从而得到原经济函数:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本经济上的应用6.6.2【例6-28】已知生产某产品x个单位时的边际收益为R(x)=100-2x(元/单位),求生产40个单位时的总收益,并求出再

15、增加生产10个单位时所增加的总收益.解:由(6.17)式可知,生产40个单位时的总收益为:再增加生产10个单位时所增加的总收益为:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本经济上的应用6.6.22)已知边际函数求最大利润问题【例6-31】设某生产企业的固定成本为20,边际成本为C(x)=0.4x+2,边际收益为R(x)=18,试求其最大利润.解:首先求出获得最大利润的产量.由利润最大化原则可知,边际收益与边际成本相等,即R(x)=C(x).所以有18=0.4x+2,解得x=40.由于L(x)=R(x)-C(x)=18-(0.4x+2)=16-0.4x,L(x)=-0.40,又因为仅有一个

16、极值点,所以在x=40时,企业获得最大利润,最大利润为:点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本经济上的应用6.6.23)消费者剩余与生产者剩余前面我们曾介绍过市场经济中的需求曲线和供给曲线,它表示生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线来描述.对大多数生产者和消费者来说,商品的价格必定是被看做自变量的,因为它一般是由总的市场来确定的,生产者和消费者都无法改变它.于是,供给量和需求量就被看做依赖于价格的.换言之,数量被当成是价格的函数.可是,虽然在这里我们把价格当成是一个自变量,但经济学上习惯于把价格作为纵轴,而把商品数量作为横轴.图6-15给出了典型的需求曲线与供给曲线的图形.06PART6.7Mathematica软件介绍点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本本节介绍在Mathematica软件中如何求定积分. 命令格式:Integrate