大一下高数11对面积的曲面积分

1、1例1. 计算曲面积分 d S , 其中是球面 x2 y2 z 2 z a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部.zho Da yxyx三、对面积的曲面积分的计算法z定理: 设有光滑曲面 : z z(x, y), (x, y) Dxyf (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分oy f (x, y, z) dS 存在, 且有x Dxy f (x, y, z) dS( k ) x y (k ,k , k ) Df (x, y, z(x, y)xy1 zx 2 (x, y) zy 2 (x, y)dxd y记为 f ( x, y, z)dS .n即 f ( x, y, z)dS lim

2、 f (i ,i , i )Si 0 i 1其中 f ( x, y, z)叫被积函数， 叫积分曲面.2.对面积的曲面积分的性质若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则 f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS .1 2二、对面积的曲面积分的定义1.定义 设曲面是光滑的, 函数 f ( x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si （Si 同时也表示第i 小块曲面的面积）,设点(i ,i , i )为Si 上任意取定的点,作乘积 f (i ,i , i ) Si ,n并作和 f (i ,i , i ) Si , 如果当各小块曲面i 1的直径的最大值

3、0时, 这和式的极限存在,则称此极限为函数 f ( x, y, z)在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.一、概念的引入实例若曲面 是光滑的, 它的面密度为连续函数( x, y, z ), 求它的质量.所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.第四节 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法x2解 1 2 3其中1： z 0,2： z x 2,3： x 2 y2 1.投影域D1： x 2 y 2 1显然 xdS xdxdy 0,1D1 xdS x 1 1dxdy 0,2D1例3 计算 xdS , 其中是圆柱面 x

4、 2 y 2 1,平面z x 2及z 0所围成的空间的表面.例2. 计算 xyzd S, 其中 是由平面 x y z 1 与坐标面所围成的四面体的表面.z解: 设1, 2 , 3, 4分别表示 在平面1x 0, y 0, z 0, x y z 1 上的部分, 则o11 y原式 = xyz dSx1234 xyz d S44 : z 1 x y, (x, y) Dxy : 0 y 1 x 0 x 1 31 x dx 1 x y(1 x y) d y 300120例2. 计算 xyzd S, 其中 是由平面 x y z 1 与坐标面所围成的四面体的表面.z1o11 y 3120类似若曲面： y y

5、(z , x)则 f ( x, y, z)dS f x, y( x, z), z 1 yx yz dxdz;22Dxz若曲面 ： x x( y, z)则 f ( x, y, z)dS f x( y, z), y, z 1 x 2 x2dydz.yzDyz例1. 计算曲面积分 d S , 其中是球面 x2 y2 z 2 z a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部.解: : z a2 x2 y 2 , (x, y) DzxyDxy : x2 y 2 a2 h222ao Da y1 zx zy xya2 x2 y 2x d S a dxd y a 2 da2 h2 rd r zDxy a2

6、 x2 y200a2 r 2 2 a 1 ln(a2 r 2 ) a2 h2 a202 a ln hh3四、小结1、 对面积的曲面积分的概念;n f ( x, y, z)dS lim f (i ,i , i )Si 0 i 12、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况分为三种）1： x y z a, 即z a x ydS 1 z 2 z 2 dxdy 3dxdyxy ( x 2 y2 z 2 )dS 8 ( x2 y2 z2 )dS1 8 x2 y2 (a x y)2 3dxdyDxy 2 3a4 .例4 计算 ( x 2 y2 z 2 )dS , 其中为

7、内接于球面x 2 y2 z 2 a 2的八面体| x | | y | | z | a表面.解 被积函数 f ( x, y, z) x 2 y2 z 2 ,关于坐标面、原点均对称 ,积分曲面也具有对称性 ,故原积分 8 ,1(其中1表示第一卦限部分曲面)例4 计算 ( x 2 y2 z 2 )dS , 其中为内接于球面x 2 y2 z 2 a 2的八面体| x | | y | | z | a表面.2 2 x 1 xdxdzD1 x 2xz1 xx 2 21 1 x2 dx0 dz , xdS 0 0 .3时, 将投影域选在xoz 上.（注意： y 1 x 2 分为左、右两片）（左右两片投影相同）

8、 xdS xdS xdS33132 2 x 1 yx yz dxdz22Dxzxoz4练习 求 ds 其中是界于平面z 0及z Hx 2 y 2 z 2之间的圆柱面x 2 y 2 R 2；2 arctan HR练习题27642二、1、；2、2a4.三、 .四、(6 3 1).415615二、计算下列对面积的曲面积分:1、(2 xy 2 x 2 x z)ds,其中为平面2 x 2 y z 6在第一卦限中的部分；2、( xy yz zx)ds,其中为锥面z x 2 y 2 被柱面x 2 y 2 2ax 所截得的有限部分 .三、求抛物面壳z 1 ( x 2 y 2 )(0 z 1)的质量,此壳2的面

9、密度的大小为 z .四、求抛物面壳z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1)的质量，此2壳的面密度的大小为 z.二、1、 27；2、64 2a4.三、.四、2 (6 3 1).4156151、 已知曲面的面积为a , 则 10ds ；2、 f ( x, y, z)ds = f ( x( y, z), y, z)_dydz ；Dyz3、 设为球面x 2 y 2 z 2 a 2 在 x Oy 平面的上方部分,则 ( x 2 y 2 z 2 )ds ；4、 3zds , 其 中 为 抛 物 面z 2 ( x 2 y 2 )在xoy 面上方的部分；5、 ( x 2 y 2 )ds , 其 中 为 锥 面 z x 2 y 2 及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面.xx1111 21 10a ；2 1 ( )2 ( )2 ；3 2a4；4；5yz102思考题解答cos(n, z) 1dS 是曲面元的面积,1 z2 z2xy故 1 z2 z2 是曲面法线与 z轴夹角的余弦xy的倒数.思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 1 z2 z2 , 试说明xy这个因子的几何意义.5作业P219. 3,5,6(1,3)Green公式作业P213. 2,3,5,6练习. 计算曲面积分 I (x y)