抽象函数问题的处理策略

1、抽象函数问题的处理策略霍邱一中 余其权抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1、线性函数型抽象函数f（x）kxx（k0）-ff（xy）f（x）f（y）例1、已已知函数数对任意意实数xx，y，均有有

2、，且当当时，求在区区间2，11上的的值域。解：设，则，当时，即，为增函函数在条件中中，令yyx，则，再再令xy0，则，故故，为奇函函数，又又，的值域域为4，22。例2、已已知函数数f（x）对任任意实数数x、y均有f（xy）22f（x）f（y），且且当x0时，f(x)22，f(3) 55，求不不等式的的解.分析：先先证明函函数f（x）在RR上是增增函数（仿例11）；再再求出ff（1）3；最后脱脱去函数数符号.2、二次次函数型型抽象函函数二次函数数型抽象象函数即即由二次次函数抽抽象而得得到的函函数若抽象函函数满足足，总有有，则可可用二次次函数为为模型引引出解题题思路；例3、 已知知实数集集上的函函

3、数恒满满足,方方程=00有5个个实根,则这55个根之之和=_分析：因因为实数数集上的的函数恒恒满足,方程=0有55个实根根，可以以将该函函数看成成是类似似于二次次函数为为模型引引出解题题思路，即函数数的对称称轴是，并且函函数在，其余的的四个实实数根关关于对称称，解：因为为实数集集上的函函数恒满满足,方方程=00有5个个实根，所以函函数关于于直线对对称，所所以方程程的五个个实数根根也关于于直线对对称，其其中有一一个实数数根为22，其它它四个实实数根位位于直线线两侧，关于直直线对称称，则这这5个根根之和为为103、指数数函数型型的抽象象函数f（x）ax-f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例4、

4、设设f (x)是定定义在RR上的偶偶函数。其图象象关于直直线yx对称，对任意意x1，x2，都有有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且且f (1)a0 ()求及； ()证明明f (x)是周周期函数数；()记，求求 ()解：可可以考虑虑指数函函数的模模型指导导解题的的思路，例如运运用函数数由知：0，xx0，1，f (11)aa0，()证证明：依依题设yyf (x)关于于直线xx1对对称，故f(x)f (111x)，即即f (x)f (22x)，xR又由f (x)是偶偶函数知知f (x)f (x)，xR将上式中中x以x代换，得f (x)f (x2)，xR这表明ff (x)是R上的周周期函数数

5、，且22是它的的一个周周期()解解：由()知f (x)00，x0，1f (x)的一一个周期期是2，因此此例5、设设函数ff(x)的定义义域为RR，对于于任意实实数m、n，总有有，且时。（11）证明明：f(0)=1，且且x11；（2）证明明：f(x)在在R 上单单调递减减；（ 3 ）设，若若，确定定a 的范范围。（1）证证明：令，已知时时，设，即当xx11（2），则f(x)在R 上单单调递减减。（3）f(x)在R上单调调递减（单位位圆内部部分）（一条直直线）例6定定义在RR上的函函数满足足：对任任意实数数，总有有，且当当时，（1）试试求的值值；（2）判判断的单单调性并并证明你你的结论论；（3）设

6、设，若，试确确定的取取值范围围（4）试试举出一一个满足足条件的的函数解：（11）在中中，令得：因为，所所以，（2）要要判断的的单调性性，可任任取，且且设在已知条条件中，若取，则已知知条件可可化为：由于，所所以为比较的的大小，只需考考虑的正正负即可可在中，令令，则得得时， 当时时，又，所以以，综上上，可知知，对于于任意，均有函数数在R上上单调递递减（3）首首先利用用的单调调性，将将有关函函数值的的不等式式转化为为不含的的式子，即由，所以以，直线线与圆面面无公共共点所所以，解得：（4）如如点评：根根据题意意，将一一般问题题特殊化化，也即即选取适适当的特特值（如如本题中中令；以以及等）是解决决有关抽

7、抽象函数数问题的的非常重重要的手手段；另另外，如如果能找找到一个个适合题题目条件件的函数数4、对数数函数型型的抽象象函数f（x）loogax（a0且且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（）f（x）f（y）例7、已已知函数数满足定定义域在在上的函函数，对对于任意意的，都都有，当当且仅当当时，成立立，（1）设设，求证证；（2）设设，若，试试比较与与的大小小；（3）解解关于的的不等式式分析：本本题是以以对数函函数为模模型的抽抽象函数数，可以以参考对对数函数数的基本本性质解解题证明：（1），（2），即当且仅仅当时，成立，当时，（3）令令代入得，关于的的不等式式为，由（2）可可知函数数在定义义域上是

8、是减函数数，由得，当时，此时时成立；当时，此时时成立；当，此时时成立。练习：1、函数数f(xx)的定定义域为为，对任意正正实数xx,y都都有f(xy)= ff(x)+f(y)且f(44)=22 ，则则（）2、函数数f(xx)的定定义域为为R上的的偶函数数，对都都有成立立，若，则=（ ）（B） A）20005 BB）2 C）1 DD）03、定义义在R上上的函数数Y=ff(x)有反函函数Y=f-1(xx)，又又Y=f(x)过过点（2，11），YY=f(2x)的反反函数为为Y=f-1(2x)，则则Y=f-1(16)为（）（A）A）B）C）88 D）16总之，因因为抽象象函数与与函数的的单调性性、奇偶偶性等众众多性质质联系紧紧密，加加上本身身的抽象象性、多多变性，所以问问题类型型众多，解题方方法复杂杂多变.尽管如如此，以以特殊模模型代替替抽象函函数帮助助解题或或理解题