数学物理方法 第8章 分离变数法课件

1、第八章分离变数法分离变数法在数学物理方程中的地位:分离变数法是求解数学物理定解问题的基本方法，是贯穿数学物理方程内容的主要线索，本章以分离变数法为主线，结合傅里叶级数法研究求解一维自由波动方程、一维无源输运方程、直角坐标系中二维无源稳定场方程的方法。引言8.1分离变数法详析一、分离变数法介绍长为 、两端固定的均匀弦的自由微小横振动的定解问题 ,为常数又由边界条件：T(t)：X(x)：X(x)：T(t)：讨论：（1）考虑边界条件得：不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解 (2)考虑边界条件得：不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解 (3)由要有非零解，必须：由于泛定方程是线性齐次

2、方程，因此这些特解的线性叠加，仍然是泛定方程满足给定的边界条件的解。 一般解取决于初始状态综上，长为 、两端固定、均匀弦的自由微小横振动问题的解： 2 .行波的一般表示 时刻 时刻P1P2 表示以速率 沿 正向传播的行波 3 .本征解是驻波解其中4 .驻波形成条件驻波的波长只能取特定值 。驻波的波长只能取某些特定值驻波的相位传播速率驻波的角频率基波 高次谐波 三、分离变数法的适用范围分离变数法仅适用于求解具有齐次泛定方程和齐次边界条件的定解问题。 若定解问题的泛定方程非齐次，或边界条件非齐次，必须用其它办法将边界条件和泛定方程转换成齐次的，然后应用分离变数法求解。四、分离变数法求解定解问题的基

3、本步骤线性齐次的偏微分方程分离变数常微分方程1常微分方程2齐次边界条件分离变数条件解1解2 本征解（解1解2）本征值本征函数初始条件确定叠加系数与采用分离变数法所得结果一致。 8.2直角坐标系中有界空间上的齐次泛定方程例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题由初始条件 ， 例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为 ，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。解: 不妨设 端为温度保持零度的端，即 端与外界绝热，即 本导热问题可表示为: 【解法一】分离变数法令当 时齐次方程组只有零解 无意义。 当 时齐次方程组有非零解 【解法二】付里叶级

4、数法把限制在上得满足边界条件的傅里叶级数展开为傅里叶级数 代入一维无源热传导方程得： 解得则与分离变数法相同 【讨论】， 的解本征值问题的解本征值问题 的微分方程分离变数边界条件泛定方程本例（热传导问题）两端固定的弦的横振动例3：细杆导热问题。杆的初始温度 是均匀的，保持杆的一端的温度为不的 ，至于另一端则有强度恒定的热流 流入。解： ， 因边界条件非齐次，必须将其转换为齐次边界条件，才能应用分离变数法。 设是满足 的特解 令此时泛定方程是齐次的、边界条件也是齐次的 令 的定解问题转换为 的定解问题例4：如图所示，散热片的横截面为矩形，它的一边 处于较高温度 ，其他边 , 和 则处于冷却介质中

5、因而保持较低的温度 。试求解这横截面上的稳定温度分布 。 xyOaUbu0u0解：本问题是二维无源稳定温度分布，其定解问题可表为【方法一】叠加法 令 和 的定解问题均是齐次的泛定方程，且一个变量的边界条件是齐次边界条件，均可用分离变数法求解。【方法二】温标移动法令（ 为新温标的零点） 根据边界条件： 把 展开为傅里叶正弦级数，即 代入 得：求叠加系数 因此散热片内的稳定温度分布为【讨论】 的解本征值问题的解本征值问题 方程分离变数边界条件泛定方程本例（矩形域稳定场问题）两端固定的弦的横振动本章小结 本章研究当边界条件是齐次边界条件时，一维自由波动方程、一维无源输运方程、矩形域无源稳定场方程的求解。分离变数法是基本方法，傅里叶级数法是辅助方法。1. 直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）分离变数法求解定解问题的基本步骤，本征值问题的求解方法。2. 驻波解的物理意义。3. 直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）分离变数法适用的定解问题。4. 直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）一些基本定解问题的解。有12种基本类型如下表所示。 表：直角坐标系中有限区间上(或矩形