数学物理方法第八章-分离变量法课件

1、本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题-本征值问题掌握非齐次方程的本征函数展开法掌握非齐次边界条件齐次化的方法1本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题第八章 分离变量法分离变量法核心：本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题本章层次：2偏微分方程常微分方程齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+非齐次边界条件这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，边界条件也是奇次的。定解问题解：泛定方程：边界条件：初始条件：3研究两端固定的弦的自由振动定解问题1（第一类齐次边界条件）由前面思路，设8.1 有界弦的自由振动高

2、数中结论：2、求解本征值问题5若有二阶常系数线性齐次方程其中p、q为常数，则特征方程为 本方程特征方程r2+=0，由上面结论知，方程的解与的不同取值有关，分情况讨论：6(1) (2) 此时X（x）=0，只有零解，不合题意； 同样只有零解，不合题意；C2是积分常数7非零解(3)则X（x）的一族非零解为 上解称为满足边界条件的固有解（特征解），称为固有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。固得到下面一族解：A、B 是积分常数3、解出时间函数，得到一族解时间函数解8解方程 n=1,2,3 此时要满足初始条件，则 10（4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）6、 分离变量法概要：（1）

3、将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)（2）确定固有值和固有函数（利用边界条件）（3）确定形式解（级数形式解）1214此时边界条件为：相应的特征值问题为： 此时X（x）=0，只有零解，不合题意；(1) 15 同样只有零解，不合题意；(2)非零解(3)16则特征解为将特征值代入T（t）的方程，解出则u（x，t）的特解族为同样很难满足初始条件，由叠加原理得 17此时要满足初始条件，有 18故定解问题的最终解为注意本征函数问题：泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数 k=1,2,3 k=0,1,2,3 21k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 23 设解为：初始状态原因（零输入）外力原因（零状

4、态）24 （零输入响应） （ 零状态响应）26 对W（x，t），如何求？2728想办法把边界条件化为齐次！设法作一代换将边界条件化为齐次的，令所以要求：选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件化为齐次的，即 一般这样的函数是很容易找到的，最简单的如选取关于x的线性函数： 代入w（x，t）要满足的边界条件，可求出：此时关于V的定解问题为因此只要做如下代换，V将满足齐次边界条件。其中关于V（x，t）的问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。 当边界条件不同时，方法一致（关键在与w（x，t）的选取），W（x，t）的形式不同。常用的最简单的w（x，t）形式通过上式可以求出W（x）的形式。注：若f，u1，u2都与t无关，则可选取W（x）（与t无关）， 使V（x，t）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时 W（x）需满足：此时u（x，t）=V（x，t）+W（x），则V（x，t）满足本章小结分离变量法核心：偏微分方程常微分方程（1）基础齐次方程+齐次边界条件（直接变量分离法求解）（2）复杂化非齐次方程+齐次边界条件分解为齐次方程+齐次边界条件+非零初始条件（零输入）（直接变量分离法求解）非齐次方程+齐次边界条件+零初始条件（零状态）（固有函数法求解，设出级数