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文档简介

1、第四节重积分的几何应用 1. 平面图形的面积 2. 空间立体的体积 3. 曲面的面积 4. 习题解析 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.对三重积分而言1. 平面图形的面积由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时区域D的面积2. 空间立体的体积设曲面的方程为 则曲顶柱体的体积为由三重积分的物理意义知空间闭区域

2、的体积为所围成的立体的体积解一（用极坐标）解二 是柱形区域，用柱坐标例2例3 求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体积为 V1 ，则所求立体的体积为V1 可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底D 由半圆周及 x 轴围成。用极坐标系表示于是，所求立体体积例5. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为曲面S的面积元素设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得：解曲面的方程为 求半径为R的球面的表面积解曲面方程为（由对称性）例计算圆柱面 被圆柱面 所截的部分的面积解由对称性可知A=16A1 A1 的方程例例. 计算双曲抛物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .1. 平面图形的面积2. 空间立体的体积3. 曲面的面

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