连续时间系统的时域分析

1、PAGE PAGE 29第二章 连续时时间系统统的时域域分析学习目标标1.理解解0_和和0+时刻系系统状态态的含义义，并掌掌握冲激激函数匹匹配法2.理解解冲激响响应、阶阶跃响应应的意义，掌握其其求解方方法3.掌握握系统全全响应的的两种求求解方法法：自由由响应和和强迫响响应4.熟练练掌握零零输入响响应和零零状态响响应的定定义和求求法；5.会分分辨全响响应中的的瞬态响响应分量量和稳态态响应分分量；教学重点点难点重点掌握握卷积积积分的定定义、代代数运算算规律和和主要性性质，并并会用卷卷积积分分法求解解线性时时不变系系统的零零状态响响应。教学内容容2.11 引言言线性连续续时间系系统的时时域分析析，就

2、是是一个建建立和求求解线性性微分方方程的过过程。一、建立立数学模模型建立数学学模型就就是根据据力学、电学等等物理学学规律，得到输输入和输输出之间间满足的的数学表表达式。数学模型型的建立立过程与与应用系系统的特特性有关关。例如如，对于于经典力力学理论论，主要要是依赖赖于牛顿顿定律；对于微微波和电电磁场而而言，组组要依赖赖于麦克克斯韦方方程；本课程主主要研究究的是由由电阻、电容、电感等等器件构构成的集集总参数数电系统统，它的的数学模模型的建建立主要要有依赖赖于KCCL 和和KVLL方程。在物理理课程和和电路路分析课程中中已经提提供了相相应的理理论和方方法。连续时间间系统处处理连续续时间信信号，通通

3、常用微微分方程程描述，若输入入输出只只用一个个高阶的的微分方方程相连连系，而且且不研究究系统内内部其他他信号的的变化，这种描描述系统统的方法法称为输输入输出或端端口描述述法。eq oac(,S)系统分析析的任务务就是对对给定系系统模型型求系统统的输出出。系统统时域分分析包含含两方面面内容，一方面面是微分分方程的的求解，另一方面面是已知知系统单单位冲激激响应，将冲激激响应与与激励信信号进行行卷积，求出出系统的的响应；同时引引入近代代系统时时域分析析方法，将建立立零输入入响应和和零状态态响应两两个重要要的基本本概念。本章还将将说明微微分方程程的算子子符号表表示法，它使微微分方程程的表示示及运算算简

4、化。最后，简简单介绍绍“分配函函数”的概念念。2.22微分方方程的建建立与求求解为建立线线性系统统的数学学模型，需列出出描述系系统特性性的微分分方程表表达式，现举例例说明微微分方程程的建立立方法。一、复习习R,LL,的的电压电电流关系系。+C+例2-11 ：如如下图所所示为RRLC并并联电路路，求并并联电路路的端电电压与激激励源间间的关系系。+由KCLL得： （1）将以上三三式代入入上方程程（1）得：若组成系系统的文文件都是是参数恒恒定的线线性元件（且且无储能能），则则构成的的系统是是线性时时不变系系统。对于复杂杂系统，设激励励信号为为，响应应为，则则可用一一高阶的的微分方方程表示示 （22）

5、若方程（2）的的及其各各阶导数数都为零零，则方方程称为为齐次方方程 （33）由经典法法可知，方程（2）的的解由齐齐次方程程和特解解两部分分组成。齐次解是是齐次方方程的解解。齐次方程程解的形形式为函数的的线性组组合，将将代入方方程（33）得 （4）方程（44）称为为方程（2）的的特征方方程，对对应的nn个根称为微分分方程的的特征根根。若特征根根无重根根，则若是K阶阶重根，则例1求的的齐次解解例3求的的齐次解解解其特征征方程为为特解的函函数形式式与激励励函数形形式有关关求解方法法是将激励励代入方方程（22）右端端，化简简右端函函数式称称为“自由项项”，根据据自由项项选特解解函数式式，代入入方程后后

6、，求得得特解的的待定系系数，即即可求出特解解激励函数数与特解解的对应应关系，见P446表22-2。例：2-4给定定方程若（1），（22）分别别求两种种情况下下此方程程的特解解解：（11）将代入方方程得：自由项项为故设特解解代入方方程得对比系数数得：（2）当当，可选选，代入入方程后后得于是特解解于是完全全解若给定微微分方程程和激励励信号，在给出出一组求求解区间间内的边边界条件件，便可可确定待待定系数数。若是在tt=0时时刻加入入，则把把求解区区间定为为，通常常取这样样对应的的一组条条件称为为初始条条件。微分方程程的齐次次解称为为系统的的自由响响应，特特征方程程称为系系统的“固有频频率”（自由由频

7、率，自然频频率）；特解称称为系统统的强迫迫响应，强迫响响应只与与激励函函数的形形式有关关，完全全响应由由系统的的自身特特性决定定的自由由响应和和与外加加激励信信号有关关的强迫迫响应组组成的。2.33 起始始点的跳跳变从到的转换换在系统分分析中，把响应应区间确确定为激激励信号号加入后后，系统统变化区区间，一一般在tt=0时时刻加入入，这样样系统的的响应时时间为，若系统统在激励励信号加加入之前前瞬间有有一组状状态，这这组状态态称为系系统的起起始状态态（状态态）,它包包含了为为计算未未来响应应的全部部“过去”信息。在加入入之后，这组状状态从到到时刻可可能发生生变化。完全响响应表达达式中常常数是由响应

8、应区间内内时刻的的一组状状态确定定的。这组状态态称为初初始条件件（简称称状态）。由此可见见，用时域域经典法法求解系系统的响响应时，为确定定自由响响应部分分常数，还必须须根据系系统的状状态和激激励情况况求出状状态。对于具体体电路，状态就就是系统统中储能能元件的的储能情情况，一一般情况况下，先求求出电容容上的起起始电压压和电感感中的起起始电流流，。当电路中中没有冲冲激电流流（或阶阶跃电压压）强迫迫作用于于电容及及没有冲冲激电压压（或阶阶跃电流流）作用用于电感感，则换换路期间间电容两两端电压压和流过过电感中中的电流流不会发发生突变变，即，然后后根据元元件特性性约束和和网络拓拓扑约束束求得时时刻的其其

9、他电流流或电压压值，下下面以具具体例子子，说明明这种情情况下电电路响应应的求解解方法。例：如图图所示+i+2v4v而将(2)式代入入(1)式子得得令则代入入方程得得而的电压不不能突变变，故将代入，得A=-222-5 例如图图所示电电路，开开关S处处1位置置且已达达到稳定定，当tt=0时时，由11转向22，建立立电流的的微分方方程并求求解在时的变变化。解： （1） （22） （3）消去，得得 （4）.求齐次次方程特征方程程：求特解:当时，代代入（44）式得得故方程 （5）令 代入入（5）式得故系统的的完全解解为 （66）c确定定待定系系数由于无冲冲激电压压，故电电容电压压不能突突变，而d.求在在

10、时的完完全响应应将代入（6）式式得当系统已已经用微微分方程程表示时时，系统统的0-状态到到0+状态有有无跳变变，取决定定于微分分方程在在右端自自由项中中是否包包含d(t)及其各各阶导数数.若包含有d(t)及其各各阶导数数,说明相相应的变变量从00-到0+状态发发生了跳跳变,即此时为为确定等等，可以以用冲激激函数匹匹配法。其原理理根据t=0时刻刻微分方方程左右右两端的的d(t)及其各各阶导数数应该平平衡相等等。下面举一一例子说说明：已知解：由分分析可知知：方程程右边含含，由此此可推断断，而方方程右端端无项，故由于于得出r(t)在在t=00时刻有有存在，若表示示到相对单单位跳变变函数，即上述方程程

11、可用数数学方法描描述设积分一次次有：将代入原原方程得得解得：表示从00-到0+相对单单位发生生跳变函函数即例2-66 用冲冲激函数数匹配法法求解例例2-55的完全全响应rr(t)已知：用冲激函函数匹配配法求42t解：考虑虑方程右右端冲激激函数项项最高次次是因而而设将其代入入原方程程得解得至此可将将求解微微分方程程流程图图见p552图22-52.44 零输入入响应和和零状态态响应由于时域域经典法法求解系系统完全全响应是是把响应应分成自自由响应应和强迫迫响应，为确定定完全响响应中的的常数，往往利利用冲激激函数匹匹配法，把给定定的状态态转换成成状态以以便求解解。另一一种分解解方法是是将总响响应分为为

12、零输入入响应和和零状态态响应。我们先考考察一个个实例例2-77，如图图2-66 所示示RC电电路，电电容两端端起始电电压，激激励源为为e(tt),求求t00时电容容两端电电压。将上式两两端同乘乘以得两边求积积分得：的第一项项只和电电容两端端的起始始储能有有关，与与输入无无关。被被称为零零输入响响应。第二项与与起始储储能无关关，只与与输入有有关，称称为零状状态响应应。一般情况况下，设设系统是是线性时时不变的的，把输输出响应应分成由由激励信信号e(t)引引起的响响应He(tt)，和由系统起起始状态态引起的的响应两两者叠加加，由此此可分别别定义零零输入响响应和零零状态响响应。He(t)(0-)r(t

13、)=He(t)+H(0-)零输入响响应:没有激激励作用用,只有起起始状态态所产生生的响应应。记为为，它满满足方程程及起始状状态的解解。可见见它是齐齐次解的的一部分分。由于没有有外界激激励作用用，因而而即Azikk可以由由确定。零状态响响应:起始状状态等于于零时,由系统统的外加加激励信信号所产产生的响响应，记记为。它它满足方方程及起始状状态其形形式为下题讲授授时为便便于学生生接受，可先将将去掉使使问题简简化例给定方方程当，求=？解: 11.先求求rzi(tt)因为零输输入响应应，故ee(t)=0,原方程程兑变为为其特征方方程为，a1=-11 ,aa2=-22，代入起始始状态得得2再求求将代入原原

14、方程得得设代入上方方程得：得:当时，满满足方程程设特解 代入上上方程得得 代入得注意：为为使计算算思路清清晰，可可将求解解与求初初始条件件的顺序序对调一一下。对响应的的另一种种区分是是瞬间响响应和稳稳态响应应。零状态响响应的另另一种求求法：求的零状态态响应。解：由于于零状态态，故又由于解解的区间间为，故故当时，上方程程蜕变为为设代入方方程（22）得求分析：含含有，含有，含有对方程（1）从从积分得得将初始条条件代入入（3）式：注：直接接用代入入方程此此方法是是不正确确的。瞬态响应应：当时,响应趋趋于零的的那部分分响应分分量，稳态响应应：保留下下来的那那部分响响应分量量。在建立了了零输入入响应和和

15、零状态态响应的的概念后后，进一一步说明明系统的的线性和和时不变变问题。由下图图可知，对外加加激励信信号e(t)和和它对应应的响应应的关系系而言，若,则则用常系系数线性性微分方方程描述述的系统统是线性性和时不不变的，若起始始状态，由于响响应中零零输入分分量的存存在，导导致系统统响应对对外激励励e(tt)不满满足叠加加性和均均匀性，也不满满足时不不变性，因而是是非线性性时变系系统，同同时由于于零输入入分量的的存在，使响应应的变化化不可能能发生在在激励之之后，因因而系统统又是非非因果的的。He(t)x(0-)r(t)=He(t)+Hx(0-)然而，若若把起始始状态等等效成系系统的激激励，则则对零输输

16、入响应应而言，也满足足叠加性性和均匀匀性。响应的可可分解性性：系统统响应可可以分解解为零输输入响应应和零状状态响应应。零状态线线性：当当起始状状态为零零时，系系统的零零状态响响应对于于外加激激励信号号呈线性，称为零零状态线线性。例1某某LTII系统，其初始始状态一一定，当当激励为为时，其全全响应为为；若初初始状态态不变，激励为为，其全全响应，求初始化化状态不不变，激激励为时时系统的的全响应应。LTIe(t)x(0-)解：根据线性性不变的的性质例2某某LTII系统，初始状状态为，。已知知当，时，其零零输入响响应为当，时，其零输输入响应应为当，时，而输入入为e(t)时时，其全全响应求当，时时，输入

17、入为2ee(t)时的全全响应解： LTI e(t)X1(0-)，X2(0-)当，时，而输入入为e(t)时时，其全全响应根据线性性时不变变系统的的性质零输入线线性：当当外加激激励为零零时，系系统的零零输入响响应，对对于各起起始状态态呈线性关关系，称称为零输输入线性性。2.55 冲激激响应与与阶跃响响应对于线性性时不变变系统，冲激响应应h(tt)的性性质，可可以表征征系统的因果性性和稳定定性，hh(t)的变换换域表示示更是分分析时不不变系统统的重要要手段，因而冲冲激响应应h(tt)的分分析是系系统分析析中极为为重要的的问题。冲激响应应h(tt)定义义：系统统在单位位冲激信信号的作作用下，产生的的零

18、状态态响应。阶跃响响应g(t)定定义：系系统在单单位阶跃跃信号uu（t）作用下下，产生生的零状状态响应应。，若将ee(t)作用下下冲激响响应为hh(t)的线性性时不变变系统，则系统统的响应应。即：零状状态响应应是激励励e(tt)与冲冲激响应应h(tt)的卷卷积积分分LTI对于LTTI系统统，它的的h(tt)满足足下微分分方程及起始状状态，由由于及其其各阶跃跃导数在在时都等等于零，因而在在时方程程（1）的自由由项恒等等于零，因此冲激激响应hh(t)与齐次次解的形形式相同同，且在在nmm时，hh(t)可以表表示为若，则表表达式还还将含有有及其相相应阶的的导数等等，其中中，常数数，可以以通过冲冲激函

19、数数匹配法法，求出出值，从从而求得得各值。例：由例例2-55求得微微分方程程表示为为，求h(t)=?当故当时，方方程自由由项为00，上方方程蜕化化为齐次次方程利用冲激激函数匹匹配法求求，和，由由于方程程右端自自由项最最高阶导导数为，所以设设代入方程程后得：代入h(t)得得由分析可可知，hh(t)含有方法2：根据方方程可设代入上方方程可得 具体解法法用此方法法必须注注意，齐齐次解后后必须带带u(tt),否否则结果果不正确确。方法3：利用LLTI系系统的线线性微分分性，先先求的解h11(t)再利用求求出h(t)解：由当t00时，上上方程为为将h1(t)代代入方程程（2）得由对比系系数法得得：方法4

20、：分析：由由于方程程等号右右端含,故对上方程程两端同同时由进进行积分分得由于，由于，将将初始化化条件代代入中得：系统的阶阶跃响应应g(tt)微分分方程及起始状状态，可可以看出出方程右右端的自自由项含含有及其其各阶导导数，同同时还包包含阶跃跃函数uu(t)，因而而阶跃响响应中，除含齐齐次解形形式之外外，还应应增加特特解项。例：求系系统的阶阶跃响应应 g(t)=?解：当ee(t)=u(t)时时，则ii(t)=g(t),g(tt)满足足的方程程为及。当，上上方程蜕蜕化成其解的形形式为设特解为为gp(t)=B,对代入入方程利用冲激激函数匹匹配法求求常数AA1，A2代入原方方程得代入方程程得当然g(t)

21、也也可由求求得。2.66 卷积卷积的定定义：任任意两个个信号f1(t)和f2(t)的卷积积定义为为设系统的的激励信信号为e(tt)，冲激响响应为 h(tt)，则则系统的的零状态态响应为为卷积的几几何解释释：卷积的运运算有55个步骤骤。换自变量量：将两信号号的时间间变量t换为t反折：把把其中的的一信号号反折移位：将将反折后后的信号号做位移移，移位位量是tt,t0时，图形右右移；tt0时时图形左左移相乘：两两信号重重叠部分分相乘积分：完完成相乘乘后图形形的积分分计算积分分的方法法有1.公式法法2.图图形法例1用公公式法求求以下两两个函数数的卷积积t例2：用用图形法法求以下下两个函函数的卷卷积t22

22、11t22t22t11t11t-t11tt（1）当t0时，与无交叠，故（2）当0t1时，（3）当1t2时，（4）当2t3时， t2123tt2.77 卷积积的性质质卷积运算算具有某某些特殊殊性质，这些性性质在信信号与系系统分析析中有重重要作用，利用用这些性性质可以以使卷积积运算简简化。一、卷积积代数1、交换换律：h(t)e(t)2、分配配律：h(t)e(t)+3、结合合律：结合律用用于系统统分析，相当于于串联系系统的总总的冲激激响应，系统组组成串联联系统的的各子系系统冲激激响应的的卷积。h1(t)h2(t)）4、卷积积的微分分与积分分即两函数数卷积后后的导数数，等于于其中一一函数之之导数与与另

23、一函函数之卷卷积证明：5、与冲冲激函数数或阶跃跃函数的的卷积。 函数数与单位位冲激函函数卷积积结果仍仍是本身身。注意与的的区别与信号相相卷积的的结果，相当于于把函数数本身延延迟利用卷积积的微分分，积分分特性不不难得到到下结论论式中表示示求导或或取重积积分的次次数，取取正整数数时表示示导数阶阶次，取取负整数数时为重重积分的的次数。2.8 用算子子符号表表示微分分方程在连续系系统时域域分析法法中，求求解的是是一个高高阶微分分方程或或一组联联系微分分方程，如果把把经常出出现的微微分，积积分用下下述算子子符号表表示 ， 则 （1）可表示为为：或简简化为： （22）若令 则（2）式可化化为： （3）这是高阶阶微分方方程的算算子符号号表示。二、算子子符号的的基本规规则。算子多项项式仅是是一种运运算符号号，代数数方程中中的运算算规则，有的适适用于算算子多项项式，有有的不适适用。1.算子子多项式式可以进进行因式式分解，但不能能进