专题解析二次函数的应用(附带例题分析)

1、典型例题分析 1 ：某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元 / 件，试营销阶段发现： 当销售单价 25 元 / 件时，每天的销售量是 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件（1 ）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w （元）与销售单 价 x （元）之间的函数关系式；（2 ）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3 ）商场的营销部结合上述情况，提出了 A 、B 两种营销方案： 方案 A ：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B ：每件文具的利润不低于为 25 元且不高于 29 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由解：（ 1

2、 ）由题意得，销售量 =250 10 （x 25 ）= 10 x+500 ， 则 w= （x 20 ）（ 10 x+500 ）= 10 x2+700 x 10000 ；（2 ）w= 10 x2+700 x 10000= 10 （x 35 ）2+2250 10 0 ，函数图象开口向下， w 有最大值，当 x=35 时， w 最大 =2250 ，故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大；（3 ）A 方案利润高理由如下：A 方案中： 20 x30，故当 x=30 时， w 有最大值，此时 wA=2000 ；B 方案中：故 x 的取值范围为：45x49，函数 w= 10 （x 35 ）2+2250

3、 ，对称轴为直线 x=35 ，当 x=35 时， w 有最大值，此时 wB=1250 ，wA wB ，A 方案利润更高考点分析： 二次函数的应用；一元二次方程的应用题干分析：（1 ）根据利润 = （销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2 ）根据（ 1 ）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3 ）分别求出方案 A 、B 中 x 的取值范围，然后分别求出 A 、B 方案的 最大利润，然后进行比较。这是一道与二次函数有关的实际应用问题，贴近生活，考生能学习生活 知识，同时更帮助学生理解数学知识和生活之间的关系。研究题目，吃 透题型是数学学习最有效，最实际的学习探究行为。从题目中挖掘知

4、识 点和方法技巧，提炼解题方法，概括题型，这样数学学习才能越学越有 效，越学越轻松。现代数学教育要求学生能体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意 识，提高运用数学知识和方法技巧解决问题的能力。在近几年的中考数 学试题中，经常出现与二次函数有关的实际应用问题，此类题型，有时 候因其条件多，题目长，很多同学无从下手 , 难以快速找到解题思路。 典型例题分析 2 ：星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙， 另外三边用长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米（如图所示），设 这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米（1 ）若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的

5、函数关系式及其 自变量 x 的取值范围；（2 ）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求 出这个最大值；（3 ）当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图象，直接 写出 x 的取值范围则 S=xy=x （30 2x ）= 2x2+30 x ，S= 2 （x 7.5 ）2+112.5 ，由（ 1 ）知，6x 15 ，当 x=7.5 时， S 最大值 =112.5 ，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为 7.5 米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为 112.5 （3 ）这个苗圃园的面积不小于 88 平方米，即 2 （x 7.5 ）2+112.588，4x11x 的取值

6、范围为 4x11考点分析：二次函数的应用。题干分析：（1 ）根据题意即可求得 y 与 x 的函数关系式为 y=30 2x 与自变量 x 的取值范围为 6x 15 ；（2 ）设矩形苗圃园的面积为 S，由 S=xy ，即可求得 S 与 x 的函数关系 式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；（3 ）根据题意得 2 （x 7.5 ）2+112.588，根据图象，即可求得 x 的取值范围。解题反思：此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次 函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可。典型例题分析 3 ：某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x

7、 件 （1 ） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1 万元、 y2 万元，直接 写出 y1 、y2 与 x 的函数关系式；（2 ）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3 ）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由已知产销两种产品的有关信息如下表：解：（ 1 ） y1=(6-a)x-20 （0 x200）， y2=- 0.05x+10 x -40 （0 x80）；（2 ）甲产品：3a5，6 -a 0 ，y1 随 x 的增大而增大当 x 200 时， y1max 1180 200a （3a5）乙产品： y2=- 0.05x+10 x -40 （0 x80）当 0 x80 时，

8、 y2 随 x 的增大而增大当 x 80 时， y2max 440 （万元）产销甲种产品的最大年利润为 (1180-200a) 万元，产销乙种产品的最 大年利润为 440 万元；（3 ）1180 200 440 ，解得 3a 3.7 时，此时选择甲产品；1180 200 440 ，解得 a=3.7 时，此时选择甲乙产品；1180 200 440 ，解得 3.7 a5 时，此时选择乙产品当 3a 3.7 时，生产甲产品的利润高；当 a=3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同；当 3.7 a5 时，上产乙产品的利润高考点分析： 二次函数的应用，一次函数的应用题干分析：（1 ）y1=(6-a)x-20 （0 x200）， y2=- 0.05x+10 x -40 （0 x80）；（2 ） 产销甲种产品的最大年利润为 (1180-200a) 万元，产销乙种产品 的最大年利润为 440 万元；（3 ）当 3a 3.7 时，选择甲产品；当 a=3.7 时，选择甲乙产品；当 3.7 a5 时，选择乙产品。在