单变量最优化

1、单变量最优化第1页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二问题 一头猪重200磅（1磅=0.454kg）,每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分。问题：求出售猪的最佳时间。清晰问题：需要回答，获得最大收益时的出售时 间及其收益。第2页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二1.问题分析与假设、符号说明涉及的变量： 1.猪的重量w(磅)， 2.饲养时间t0(天), 3.t天内饲养猪的花费C(美元)， 4.猪的市场价格p(美元/磅)， 5.售出生猪所获得的总收益R(美元)， 6.我们最终获得的净收益P(美元).第3页，共24页

2、，2022年，5月20日，2点15分，星期二1.问题分析与假设、符号说明涉及的常量： 1.猪的初始重量200(磅)， 2.饲养每天的花费0.45(美元)， 3.生猪增加重量s(=5磅/天)， 4.当前的市场价格0.65(美元)， 5.生猪的价格下降速率r(=0.01美元/磅.天)。第4页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二1.问题分析与假设、符号说明变量之间的关系：假设1：猪的重量从初始的200(磅)按每天s(=5磅)增加，于是有关系： w(磅)=200(磅)+s(磅/天)t(天)假设2：当前的市场价格0.65(美元/磅),生猪的价格下降速率r(=0.01美元/磅.天),那么

3、在t天时出售时生猪的价格为： p(美元/磅)=0.65(美元/磅)- r（美元/磅.天)t(天)第5页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二1.问题分析与假设、符号说明因此，我们有如下关系式： 饲养生猪的总的费用为：C(美元)=0.45(美元/天)t(天) 售出生猪时获得的总收益为：R(美元)=p(美元/磅)w(磅) 最终获得的净收益为：P(美元)=R(美元)-C(美元)小技巧：分析中列出变量的单位有助于检查所列等式是否有意义。 当生猪卖出获得最大收益的时间即为最佳出售时间，因此原问题转化成数学表达就是求P达到最大时的时间t0，其中P的表达式为： P(t)=R(t)-C(t)=

4、pw-0.45t=(0.65-rt)(200+st)-0.45t第6页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二2.建立数学模型 由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下： (2.1)其中，r,s为模型参数，此处取值为s=5,r=0.01.第7页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二3.模型求解 当s=5,r=0.01时，这是一个单变量t的函数的最优化问题，而且P(t)是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解，其求解过程如下：(1)求驻点： P驻点为： t*=(-0.45+0.65s-200r)/2rs (3.1)代入常量参数得到： t*=8(天)，P(8)=

5、133.20(美元)。第8页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二3.模型求解(2)判断是否为极值点： 函数P(t)在区间(0,8)是单调上升的，而在区间(8,+)是单调下降的，因此,P(t)在点t*=8达到全局最大值：133.20,图1为P(t)的图形。 （图1 净收益P(t)关于时间t的曲线） 至此，我们可以回答原来的问题答案，在8天后出售，可以获得最大净收益133.20美元。第9页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二4.灵敏性分析 在实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确的模型，我们也可能采用较简单和易于处理的近似方法，因此我们

6、必须考察数学模型的稳键性：即使数学模型不完全正确，由其导出的结果仍然正确。 在建模过程中我们提出了两种类型的假设： （1）数据假设 （2）其它假设 由于我们很少能够保证这些假设都是完全正确的，因此我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，它是数学建模过程中的一个重要方面，具体问题与所建立的模型以及求解方法有关。 第10页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二4.灵敏性分析： 数据是由测量、观察甚至猜测得到，因此需要考虑数据的不准确的可能性。有些数据的具有相当大的确定性，如生猪当前的重量，生猪现在的价格，每天饲养花费；有些数据的确定性却很低，如猪的生长速率s，价格的下降速率r。

7、 在前面，我们假设s=5(磅/天)，r=0.01(美元/天)。第11页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二1）考虑s不变,r发生变化时,最佳出售时机关于价格下降速率的灵敏性 先对r取几个不同的值做实际计算，观察其变化规律，计算结果见表1。 观察表1可以得到,随着r增加,t*减小。更详细的分析是考察(3.1)式,我们将s=5(磅/天)代入(3.1)中，可得: t*=(2.80-200r)/10r (4.1) 只要t*0,即0r0.014,最佳售出时间由(4.1)确定，它们的关系曲线见图2。第12页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二第13页，共24页，2022

8、年，5月20日，2点15分，星期二2）考虑r不变,s发生变化时,最佳出售时机关于生长速率的灵敏性 先对s取几个不同的值做实际计算，观察其变化规律，计算结果见表2。 观察表2可以得到,随着s增加,t*增加。更详细的分析是考察(3.1)式,我们将r=0.01代入(3.1)中，可得: t*=(65s-245)/2s (4.2) 只要t*0,即s3.77,就可以继续饲养。最佳售出时间由(4.2)确定，它们的关系曲线见图3。第14页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 第15页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二3） 在1）和2）中，我们将灵敏性数据表示成了绝对改变量

9、的形式，但实际中相对改变量或者百分比改变的形式更加使用。 例如:r的10%的下降导致了t的39%的增加，而s的10%的下降导致t的34%的下降。 如果t的改变量为t,则t的相对改变量为t/t，百分比改变量为100t/t； 如果r的改变量为r,导致t有t的改变量，则相对改变量的比值为： 令r0,按照导数的定义，我们有 称这个极限值为t对r的灵敏性，记为S(t,r),即有第16页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 将r=0.01,t=8代入(4.4)式右端，得 S(t,r)=-7/2 （4.5）即若r增加2%，则t下降7%。 类似地， 将s=5,t=8代入(4.6)式右端，得

10、S(t,s)=3.0625 （4.7）即生猪的生长率增加1%，会导致多等待3%的时间再将生猪售出。注： 通常只需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏性分析，对灵敏性系数的解释还依赖于参数的不确定程度，这会影响我们对答案的自信度。第17页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二5.稳定性与稳健性 前面我们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确定性数据的稳定性；现在我们来看看其他类型的假设。它们可能来自于数学处理的方便和简化的目的，在回答问题之后，应该考察这些假设是否过于特殊，以致使结果无效。 在前面的假设中，极为重要的假设就是：猪的重量和每磅的价格都是时间的线性函数，这样做显然过于简

11、单化，不可能严格满足。 （模型失效）例如，根据这些假设，从现在起的一年后，猪的重量将是w=2025磅，而卖出所得的收益为p=-3.00美元/磅。第18页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 因此，一个更实际的模型应该既考虑这些函数的非线性性，并且考虑到随着时间推进的不确定性的增加。如果假设是错的，模型又怎能给出正确的答案呢？虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的，一个更确切的说法数学模型力求接近完美。一个好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但足够近似从而可以在实际问题中应用。 现在让我们来考虑售猪问题中的线性假设，其基本方程为： P(t)=p(t)w

12、(t)-0.45t 第19页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 如果模型的初始数据和假设没有与实际相差太远,则售猪的最佳时间应该由P(t)=0确定。经过简单计算可得： p(t)w(t)+ p(t)w(t)=0.45 （5.1） 其中（5.1）左端是每天利润的增值，右端是每天投入的资金（饲养费）。模型告数我们，只要利润的增值比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。 此外，利润的增值包含两个方面： （1） p(t)w(t)代表因价格下降而损失的价值； （2） p(t)w(t)代表由于猪增重而增加的价值。 更一般的模型(5.1)在应用中会遇到许多实际问题，我们无法知道p(t)

13、,w(t)的具体形式，它们是否有意义。生猪是否可以在明天凌晨3点出售？猪价是否可以为无理数等等.第20页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 看看一个具体的情况:一个农民有一头重量大约为200磅的猪，在上一周猪每天增重约5磅。5天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅，他应该怎么办? 显然应该以这些数据(w=200,w=5,p=0.65,p=0.01)为依据确定何时出售，我们建立的模型正是这样做的。我们知道p和w记在未来几周内不会保持常数，因此，p和w也不会是时间的线性函数。但是，只要p和w在这段时间内的变化不太大，由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。 第

14、21页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 下面我们给灵敏性分析的结果一个更一般化的解释。 由于S(t,s)=3,假设在下几周内猪的实际增长率在每天4.5到5.5磅之间，即为预期值的10%内，则最佳售猪时间会在8天的30%之内变化，即5到11天。我们来考察仍在第8天卖出所导致的收益损失。 收益:P(t)=(0.65-0.Olt)(200+st)-0.45t 最佳出售时间：t*=(65s-245)/2s,计算结果见表3 . 由表3可得，最坏的两种情况损失均不超过1美元，这说明在短期内假设它们是线性的而导致的误差就不会太大。第22页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二 在考虑价格。设我们认为今后几周内价格的改变为p=-0.01,即每天下降1美分时最糟糕的情况。价格很有可能在今后会下降很慢，甚至达到稳定(p=0)。现在我们能说的只是至少要等8天再出售。对较小的p(接近0),模型暗示我们等较长的时间再出售。但我们的模型对较长的时间不再有效。因此，解决这个问题的最好的方法是将猪再饲养一周的时间，然后重新估计p,p,w,w，再用模型重新计算。(完)第23页，共24页，2022年，5月20日，2点15分，星期二第一次讨论作业题： 一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。现在的价格为每周1.5美元。据估计如果每周提高订价10美分