浙财-不知名老师概率与数理统计24几种离散型分布

1、2.4几种重要的离散型分布分布01分布二项分布超几何分布泊松分布1一、分布 c2 , DX c2PX c 1EX c, EX 2c2 0.二、0-1分布(两点分布)PX 1 p, PX 0 1 pEX p, EX 2 p,p2 p(1 p)2EX p,(1 p).EX c, DX 0.三、n重试验满足下面四个特征：(1)(2)(3)(4)每次试验都是在相同条件下进行的；各次试验是相互独立的；每次试验有且仅有两种结果:事件A和事件A;每次试验的结果发生的概率相同:P( A) p, P( A) 1 p q;的重复进行n次的试验称为n重试验.如：抛一枚硬币n次.有放回地抽取n件产品.3定理：设一次试

2、验中,事件A发生的概率为p(0p1),则在n重试验中,事件A恰好发生k次的概率为P (k) C k pkqnknnn重试验的样本空间包含的样本点的个数为nk 0 C 0C1C n 2nk nCnnn4例:某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求目标次数X的概率分布.解: X的可能取值为0,1,2,3,4,5,设事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai相互独立,PX 0 P( A1 A2 A3 A4 A5 ) 0.45 C 0 0.600.45;5P X 1 P( A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5

3、A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 ) 5 0.6 0.44; C1 0.6 0.44;5于是有PX i C i 0.6i0.45i , i 0,1, 2, 3, 4, 5.55四、二项分布在n重称为二项分布.试验中,事件A发生的次数X的分布,定义:量X的概率分布为：如果随PX k Ck pkqnk (k 0,1, n)n其中0p1, q=1-p, 则称X服从参数为n, p的二项分布,简记作XB(n,p) .其中n为试验次数, p为每次试验中事件A发生的概率.6二项分布中X的可能取值:0,1,2,n;X的取值的概率分布.nnnn! kC p qknkEX k n knk

4、 pkqnkkCp qk knk !(n k)!k 0k 1k 1n (n 1)! pkqnkn n n! pkqnkk1 (k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!k 1nn1nk 1 n1nkknCpqk 1 pk 1qnkk 1 pk 1qnkn1n1k 1k 1k 10 k 1 i n1piqn1i npn1i n1 np( p q)i 0PX k Ck pkqnk (k 0,1,7n)n二项分布的期望与方差为：EX=npDX=npqnnnn! k Ck 1knk kn2kpkqnk2k nkp qk 2 k !(n k)!n!EX 2k Cp qnk 0k 1nn!nk 1kn

5、kkp q(k 1 1)knkp q(k 1)!(n k)!n!(k 1)!(n k)!k 1nn!nknkknkp qp q(k 1)!(n k)!(k2)!(nk)!k 1k 2nnk 2k 2 n2nkk 1 n1nk n(n 1) n(nkkCnp qCpqk 1nk 1 pk 1qnkk 2 pk 2qnkn1n2k 1k 2 n(n 1) p2 npDX EX 2 (EX )2 n(n 1) p2 np n2 p2 np np2 npqPX k Ck pkqnk (k 0,1,8, n)n二项分布主要应用于n重的次数X.试验中,事件A发生例投篮为0.8,若连续投篮5次，求最多投中2

6、次的概率.解:设X为5次投篮中投中的次数,显然XB(5,0.8)P X 2 PX 2 PX 1 PX 0 C 2 0.820.23 C10.810.24 C 0 0.800.255 0.0579255可以看到当n较大时,利用原始的方法计算二项分布的值是比较麻烦的.所以课后有一张表给出了当n(小于等于40)较小,p0.4时服从二项分布的随的分布函数值.量9中率为0.4,连续射击10次,求(1)平例设射击均射中次数; (2)最多射中2次的概率;(3)至少射中2次的概率; ;(4) 射中4次的概率值.解: 设10次中的射中次数为随量X,则XB(10,0.4).(1)EX np 10 0.4 4P X

7、 2 F (2) 0.1673P X 2 1 PX 1 1 F (1) 1 0.0464 0.9536(2)(3)(4)P X 4 PX 4 PX 3 F(4) F(3) 0.6331 0.3823 0.250810对较小的 n, p (一般 n 40, p 0.4)查分布函数表 PX a F(a); PX a 1 PX a 1 F(a); PX a PX a 1 F(a 1);PX a PX a PX a 1 F(a) F(a 1);xm0nmF ( x) p (1 m nmCp)11定理 若X B(n, p),且Y n X ,则Y B(n, q)( p q 1).证明:Y的取值为：0,1,

8、 2,.PY m Pn X m PX n m C nm pnmqm C mqm pnm(m 0,1, 2, n.)nY B(n, q).n推论 若X B(n, p),则Y n X B(n, q),且有P X m PY n m PX m PY n m12X B(5, 0.8),求PX 2 解：令Y 5 X B(5,0.2),PX 2 PY 3 1 PY 2 1 0.9421 0.0579例 一条自动生产线产品的正品率为0.8, 假设各件产品是否为次品相互独立, 连续生产20件, 求正品率不小于90%的概率.解: 设X为20件产品中的正品数,显然XB(20,0.8).令Y 20 X B(20,0.

9、2),于是P X 0.9 P X 18 PY 2 0.20612013X B(5,0.8),求PX 2.车每5分钟有一辆汽车例设一个汽车站某路到达，设乘客的等车时间服从0,5上的均匀分布，计算在车站候车的10位乘客中最少有8人等车时间不超过4分钟的概率.解:设X表示乘客的等车时间,Y为10位乘客中等车时间不超过4分钟的人数.显然 XU0,5,YB(10, p).其中, p表示每位乘客等车时间不超过4分钟的概率.15 4 0.84p PX 4Y B(10, 0.8).dx50令Z 10 Y ,有Z B(10,0.2).于是PY 8 PZ 2 0.677814量X B(n, p), EX 6,X

10、5.例已知随解：由EX 6, DX 4.2得,EX np 6, DX npq 4.2p 0.3,n 20.解得: q 0.7, X B(20, 0.3).于是PX 5 1 PX 4 1 0.2375 0.762515二项分布的最可能值设XB(n,p), X取值为0,1,.,n,使得概率P(X=k)最大的k,记为k0, 称为二项分布的最可能值.其中np+p表示不超过np+p的最大整数.例如:若XB(4,0.8), np+p=50.8=4,所以,P(X=4)和P(X=3)的概率值最大k 2k 1kk +1k +200000若XB(10,0.8), np+p=110.8=8.8,所以,P(X=8)的

11、概率值最大.8.8=816np p和np p 1当np p是整数时 k0 np p其它,求“6点”出现的平均次数及“6例掷四颗点”出现的最可能的次数及相应的概率.解:令X表示四颗中“6点”出现的次数, 显然,XB(4,1/6).“6点”出现的平均次数,即EX np 4 1 2 .63“6点”出现的最可能的次数,np p 2 1 5366np p 0为最可能出现的次数,其概率为 1 0 5 4 5 4P X 0 C 04 6 6 6 17四、超几何分布在n重称为二项分布.试验中,事件A发生的次数X的分布,定义:设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二类(N1+N2=N)

12、. 从N个元素中抽取n个, 令X表示这n个元素中所含第一(或第二)类元素的个数, 则称X服从以n, N1 , N2分布. (此处有,nN1+N2)X的概率分布为:为参数的超几何CmCn mN1N2(m 0,1, 2,P( X m) , n.)CnN18Cm Cn mnnEX mP( X m) mN1N2Cnm 0m 0Nnm 1nN1 ! 1 Cn mm m !( N m)!N2CnN1( N1 1)!N1 Cn m(m 1)!( N m)!N2Cnm 1N1令k m 1则n1NNNCk 0EX n1 k N 2n1 N 1 n 1k1C1CN1 1CnCnNNN19EX n N1 , DX

13、n N1 N2 N n NNNN 110件产品中有6件合格，4件不合格，例现从中一次任取3件，求这3件中合格品数X的分布.解：X服从以n=3, N1 =6, N2 = 4为参数的超几何分布.CmC 3 m64P( X m) (m 0,1, 2, 3.)C 31020超几何分布与二项分布的关系对固定的 n, N , N1 p 时,有定理NCm CnmN1N2P( X m) Cm pmqnm ( p q 1)nCnNn 5%)时,可用二项分布当 N很大, n 相对于N 较小(N的公式近似计算超几何分布.即X B(n, p)可近似代替X 服从以n, N1 , N2为参数的超几何分布,其中,p N1

14、.当N很大,n较小时,非重复抽样N可近似看做是重复抽样.21超过5000小时的为一例某种灯泡的使用等品,已知某一大批产品中，一等品率为0.2，现随机地从中抽取15只灯泡,试求这15只中最多含有2个一等品的概率.解：设X表示15只灯泡中一等品的数量.因15只灯泡是从一大批产品中抽取出来的,所以这是一个N很大, n相对于N来说较小的超几何分布问题.可以用二项分布近似代替, 其中, n=15,P( X 2) F (2) 0.3980p=0.2.22五、泊松()分布量X的取值为定义设随0,1, 2,且分布为 k .( 0)P X ke, k 0,1, 2,.(k !X服从参数为 的泊松分布,记为X P

15、( )或X ( ).则称xk 利用级数ex,k !k 0 m P Xm 0m 0 m e e 1 em !23 m m 1m 1 e EX me(m 1)!m !m 0令k m 1,则 kk 0EX e e ek !若X P(),有EX , DX .24泊松分布的应用背景泊松分布常见于所谓稠密性中, 如一段时间内,台的呼唤次数, 候车用户对的旅客数, 原子放射粒子数, 织机上断头的次数, 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。另外,对成功率为p的 n重实验,只要n比较大, p较小 (n100, p0.1)时,可以通过随后将介绍的“泊松定理”,转化为近似服从泊松分布而得到解决。所以泊

16、松分布的应用非常广泛。25量X服从泊松分布, EX=5, 查表求例随PX=2, PX=5, PX=20.解 因泊松分布的参数就是它的期望值, 故 =5.即XP(5).查书后附表, 有PX=2=0.084224,PX=5=0.175467, PX=20=0.泊松分布概率值表： k P X k ek !26设X P( ), 且P X 1 P X 2,求P X 4. k 例X p( ), P X k 解ek !由PX 1 PX 2得, 2 ee,1！2！整理得, 2 2 . 0, 2.即, X P(2).4 2 0.090224.于是P X 42e4!27射击,每次命中的概率为0.02,独立射击次数

17、不少于2次的概率.例400次,试求解:设X表示400次中X B(400,0.02) .的次数.显然,n较大，p较小，所以可以用参数为 np 400 0.02 8的泊松分布近似代替.于是, PX 2 1 PX 1 1 P X 1 P X 0查表 1 0.002684 0.000335 0.99698129例 一大批产品的废品率为0.005,从中任取100件,试求废品数不超过2个的概率.解:设X表示100件产品中的废品数.显然,X服从以n 100为参数的超几何分布.其中,N 较大,n较小,可用参数为n 100, p 0.005的二项分布近似代替.另一方面,在该二项分布中,由于p相对于n来说比较小,

18、又可以用参数为 np 100 0.005 0.5的泊松分布近似代替.查表于是, PX 2 PX 0 PX 1 PX 2 0.606531 0.303265 0.075816 0.98561230例某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求:产品的废品率；产品价值的平均值.解:设X表示每件产品表面上的疵点数,Y表示产品的价值.由已知得, X P(),且EX 0.8, X P(0.8).P X 4 1 P X 4(1)查表 1 0.449329 0.3594630.143785 0.03834