利用导数研究函数的极值、最值

1、(2)证明：当ae时，f(x)0.(2)证明：当ae时，f(x)elnx1.时，f(x)0；0，若a0，则当xa高中数学：利用导数研究函数的极值、最值1(2018全国卷)已知函数f(x)aexlnx1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；11解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexx.1由题设知，f(2)0，所以a2e2.111从而f(x)2e2exlnx1，f(x)2e2exx.当0 x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增1exexex1设g(x)elnx1，则g(x)ex.当0 x1时，g(x)1时，

2、g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.1因此，当ae时，f(x)0.2(2015全国卷)已知函数f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围1解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)xa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增1第1页共4页当xa，时，f(x)0.上单调递减0，所以f(x)在a上单调递增，在a当a0时，f(x)在xa处取得最大值，最大值为falna1aalnaa1.因此fa2a2等价于lnaa10.0时，f(x)在xa处取得最大值，最大值为falnaa1

3、a因此fa2a2等价于lnaa1.当a1时，f(x)的最大值falnaa1a12a2.0时，f(x)在xa处取得最大值，最大值为falnaa1a111(2)解法一：由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)无最大值；11111令g(a)lnaa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)解法二：由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a1111lnaa1.1当a1时，lnaaa1；当0a1时，lnaaa1.因此，a的取值范围是(0,1)解法三：由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当

4、a1111lnaa1.当0a1时，因为f(1)0，所以f(x)的最大值大于2a2；1因此，a的取值范围是(0,1)第2页共4页当a0时，x0，2a时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x2a，时，函数g(x)单调递减当a0时，g(x)的单调增区间为0，2a，单调减区间为2a，.当0a1，由(1)知f(x)在0，2a内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在1，2a内单调递增3(2016山东卷)设f(x)xlnxax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解：(1)由f

5、(x)lnx2ax2a，可得g(x)lnx2ax2a，x(0，)112ax则g(x)x2ax.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；11所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；11(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，ff所以当x(0,1)时，(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意11111所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意11当a2时，2a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意第3页共4页当x2a，1时，f(x)0，f(x)单调递增，当x