函数的概念知识点总结

1、1x就不是函数.函数的概念知识点总结本节主要知识点（1）函数的概念.（2）函数的三要素与函数相等.（3）区间的概念及其表示.知识点一函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.函数的近代定义设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作yf(x),xA.其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,函

2、数值的集合yyf(x),xA叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.对函数的近代定义的理解（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.如yx1（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.任意性:集合A中的任意一个元素x都要考虑到.存在性:集合A中的任意一个元素x,在集合B中都存在对应元素y.唯一性:在集合B中,与每一个元素x对应的元素y是唯一的.函数的概念知识点总结第1页当a0时,函数的值域为yy;当a0时,函数的值域为yy.（3）集合B不一定是函数的值域,值域是集合B的子集.在集合B中,可以存在元素在集合A中没有与之对应者.例1.讨论二次

3、函数的定义域和值域.解:二次函数的一般式为yax2bxca0,为整式函数,所以其定义域为R,其值域的确定分为两种情况:4acb24a4acb24a注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R上的,若二次函数的定义域是R的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.知识点二函数的三要素函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了.定义域使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围.确定函数定义域时,要从两个方面考虑:（1）使函数解析式有意义;（2）

4、符合客观实际.对应关系用f表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x施以某种运算,类似于程序的作用.值域在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.例2.讨论反比例函数ykk0的定义域和值域.x解:反比例函数ykk0的定义域为xx0,值域为yy0.xfaaA与fx的区别与联系f(a)表示当xa时fx的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;f(x)函数的概念知识点总结第2页表示自变量为x的函数,它表示的是变量.如f(x)2x表示的是一个函数,f36是它的一个函数值,是常量.知识点三具体函数的定义域的确定方法所谓具体

5、函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R.（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.知识点四函数的相等

6、只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.对函数的相等理解时要注意:（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.如函数f(x)x2与函数f(x)2x的定义域都是R,值域都是R,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.如函数f(x)x21与函数f(

7、t)t21表示的就是同一个函数.（5）对f(x)中x的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f施加关系的对象不同,两个函数也不相等.函数的概念知识点总结第3页如函数f(x)x2和函数f(x1)x2表示的就不是同一个函数.例3.下列各组函数表示同一函数的是【】x（A）f(x)x,g(x)2（B）f(x)x21,gtt21（C）f(x)1,g(x)xx（D）f(x)x,gxx分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.x的定义域为xx0,:解（A）选项中,

8、函数f(x)x的定义域为R,函数g(x)2它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（B）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;（C）选项中,函数f(x)1为常数函数,其图象为一条平行于x轴的直线,其定义域为R,函数g(x)xx的定义域为xx0,它们的定义域不相同,所以它们不是同一2x23x2x11x;函数;（D）选项中,函数f(x)x与函数gxx的定义域均为R,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.选择【B】.例4.求下列函数的定义域:（1）yx;（2）y11x;（3）y3（4）yx235x2.分析:例4给出的三个函数均为具体函数,

9、求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.函数的概念知识点总结第4页x0 x0解:（1）由题意可知:,即1,解之得:x0且x.2x23x20 x2且x212的定义域为xx0且x;函数yx2x23x212（2）由题意可知:,解之得:x1.（3）由题意可知:,即,解之得:x1且x0.11x011x的定义域为xx1且x0;（4）由题意可知:,即x101x0函数yx11x的定义域为xx1;1x0 x1x0函数y3x230 x3或x35x205x5解之得:5x3或3x5.函数yx235x2的定义域为x5x3或3x5.注意:（1）函数的定义域要表示成

10、集合或区间的形式.（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.知识点五区间的概念及其表示设a,b是两个实数,且ab,规定:（1）满足不等式axb的实数x的集合,叫做闭区间,表示为a,b;（2）满足不等式axb的实数x的集合,叫做开区间,表示为a,b;（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为a,b,a,b.这里的实数a,b叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那函数的概念知识点总结第5页一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.区间的数轴表示（几何表示）定义名称符号

11、数轴表示xaxb闭区间a,babxaxb开区间a,babxaxb半开半闭区间a,babxaxb半开半闭区间a,bab实数集R可以用区间表示为,.“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”.把满足不等式xa,xa,xb,xb的实数x的集合,分别表示为a,a,b,b.定义符号数轴表示xaa,axaa,axb,bbxb,bb对区间的概念及其表示的理解:（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合1,2,3就不能用区间来表示.（2）区间的左端点必须小于右端点.函数的概念知识点总结第6页（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.（4）在将连续的数集

12、表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.（6）若a为区间的左端点,b为区间的右端点,则把ba叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.（因为ba）（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.例5.函数f(x)x3的定义域是【】x15（A）3,（B）3,44,（C）3,（D）3,4分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.x30 x3解:由题意可知:,即,解之

13、得:x3且x4.x150 x4且x6函数f(x)x3的定义域用集合表示为xx3且x4,用区间表示为x153,44,.选择【B】.知识点六复合函数与抽象函数复合函数的概念如果y是u的函数,记为yf(u),u又是x的函数,记为ug(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空,那么y通过u的联系也是自变量x的函数,我们称y为x的复合函数,记为yf(g(x).其中u叫做中间变量,ug(x)叫做内层函数,yf(u)叫做外层函数.对复合函数概念的理解函数的概念知识点总结第7页由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定

14、义域.例6.下列函数中,是复合函数的是【】（A）f(x)x2x3（B）f(x)x1（C）f(x)x（D）f(x)2x分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的.解:函数f(x)x1是由函数yu和ux1两个函数复合而成的,是复合函数.选择【B】.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.知识点七求抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:（1）函数f(x)的定义域是自变量x的范围.（2）函数f(g(x)的定义域是自变量x的范围,而不是g(x)的范围.（3）f(x)、f(g(x)两个函数中,x、g(x)在对应关系f下的范围相同.求

15、抽象函数或复合函数定义域的方法（1）已知f(x)的定义域为A,求f(g(x)的定义域,其实质是g(x)的取值范围为A,求x的取值范围;（2）已知f(g(x)的定义域为B，求f(x)的定义域,其实质是已知f(g(x)中的x的取值范围为B,求g(x)的范围（值域）,此范围就是f(x)的定义域.（3）已知f(g(x)的定义域,求f(h(x)的定义域,要先按（2）求出f(x)的定义域.例7.已知函数f(x)x3,则函数f(x1)的定义域为【】x（A）xx4,且x1（B）xx2,且x1（C）xx2,且x0（D）xx4,且x1函数的概念知识点总结第8页,解之得:x3且x0.分析:本题需要根据具体函数f(x

16、)的解析式,先求出函数f(x)的定义域,然后再确定抽象函数f(x1)的定义域:函数f(x)中自变量x的取值范围与x1的范围相同,从而列出关于x的不等式（组）,解集即为函数f(x1)的定义域.解:函数f(x)x3xx30 x0函数f(x)x3的定义域为xx3且x0.x对于函数f(x1),则有:x10 x13,解之得:x2且x1.例9.若函数fx1的定义域为,2,则函数fx1的定义域为_.函数f(x1)的定义域为xx2,且x1.选择【B】.例8.已知fx21的定义域为0,3,则f(x)的定义域为_.分析:函数fx21的定义域为0,3,指的是x的取值范围是0,3,而不是x21的范围.先根据x0,3,

17、求出x21的范围,此范围即为函数f(x)的定义域.解:fx21的定义域为0,30 x3,根据二次函数的知识可得:1x218f(x)的定义域为1,8.12分析:本题为已知已知f(g(x)的定义域,求f(h(x)的定义域,要先确定f(x)的定义域.函数的概念知识点总结第9页解:函数fx1的定义域为,212x2,1x1211212x3函数f(x)的定义域为,3.2,解之得:x42函数fx1的定义域为,4.解:（1）f(2)1,g22226;1212对于函数fx1,则有:1x13x1332知识点八求函数的函数值（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;（2）求抽象函数的函

18、数值,常采用赋值法求求解.例10.已知f(x)1x1,g(x)x22.1x（1）求f(2)和g2;（2）求gf2,fg(x);（3）若14,求x.fg(x)分析:函数的本质是对应关系f,f表示的是对括号里的内容施以某种运算.计算ff(a)的值时,应从内到外依次计算.1123（2）gf2g211233199fg(x)111;1g(x)1x22x23函数的概念知识点总结第10页g(x)4（3）1f14,x234,解之得:x1.1x23例11.已知函数fx对任意实数a,b,都有fabfafb成立.（1）求f0,f1的值;（2）若f2p,f3q（p,q为常数）,求f36的值.解:（1）函数fx对任意实

19、数a,b,都有fabfafb令ab0,则有:f0f0f0f00.令a1,b0,则有:f0f1f0f10.（2）f2p,f3qf4f22f2f22f22pf9f33f3f32f32qf36f49f4f92p2q.例12.已知函数fx的定义域为0,对任意正实数x,y都有fxyfxfy,且f42,则f2_.解:fxyfxfy,且f42令xy2,则有:f4f22f2f22,f21.令xy2,则有:f2f22f2f21f21.2函数的概念知识点总结第11页知识点九求函数的值域求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.方法1观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟

20、知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.如函数y11x2,因为x211,所以0y1,即该函数的值域为y0y1.方法2配方法常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域.方法3分离常数法形如ycxdaxb的函数常用分离常数法求值域.分离过程为:caxbdcxdacabcbcdyaaxbaxbaaxba0,ycbcdaxba所以函数的值域为yy.ca方法4换元法形如yaxbcxda0的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令,tcxd（t0）用t表示出x,并标明t的取值

21、范围,并代入函数解析式,将y表示成关于t的二次函数,最后用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.方法5图象法有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.函数的概念知识点总结第12页方法6判别式法形如yax2bxcdx2exf（a,d中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于x的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式0,求出y的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.方法7反表示法根据函数解析式用y表示出x,根据原函数中x的取值范围列出关于y的不等式,不等式的解集即为原函数的值域.例13.求函数

22、yx1的值域.分析:采用观察法求其值域.解:x0（x0）x11函数yx1的值域为1,.例14.求函数yx22x3的值域,其中x0,3.分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解.解:yx22x3x122函数图象的顶点坐标为(1,2)x0,3,10,3函数的最小值为2.f03,f3332336函数的值域为2,6.y654321O1234x例15.求函数y2x1x3的值域.分析:求形如y的函数的值域,常用分离常数法.2x12x377cxdaxb解:y2x3x3x3函数的概念知识点总结第13页7x30,y2函数y的值域为,2

23、2,.2x1x3例16.函数yx2x1的值域为_.分析:形如yaxbcxda0的函数常用换元法求值域.解:令t2x1,则t0 xt21222yyx2x1t0,10tt211t12121y随t的增大而增大4321O12ty,无最大值.当t0时,y1.21min212函数yx2x1的值域为,.12注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,例17.求下列函数的值域:（1）y;（2）yx24x32x24x72x2x1x22x3.分析:对于形如yax2bxcdx2exf（a,d中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.要求会用十字相乘法分解二次三项式.解:方法一（分离常数法）:yx24x32x2x1函数的概念知识点总结第14页12x1212x1x3x371x12x12x12x1222x12y7（x1且x）.70,y当x1时,y13函数的值域为,.122x122211322113322xy3（y）1,解之得:y方法二（反表示法）:由上面的方法得到:y11